高中数学《曲线与方程》自测试题.docx

答案：1.A 2.y ＝x 3.   ＋y2＝122015 年高中数学《曲线与方程》自测试题【梳理自测】一、曲线与方程1．f(x ，y )＝0 是点 P(x ，y )在曲线 f(x，y)＝0 上的( )0 0 0 0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0 表示的是( )A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线C．两个点 D．以上答案都不对答案：1.C 2.C◆以上题目主要考查了以下内容：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、直接法求轨迹方程PM   PN1．若 M，N 为两个定点，且|MN|＝6，动点 P 满足→·→＝0，则 P 点的轨迹是( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线AP   BP2．已知点 A(－2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足→·→＝x2－6，则 P 点的轨迹方程是________．N3．过圆 x2＋y2＝4 上任一点 P 作 x 轴的垂线 PN， 为垂足，则线段 PN 中点 M 的轨迹方程为________．x24◆以上题目主要考查了以下内容：(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤①建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标．②写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}．③用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0.④化方程 f(x，y)＝0 为最简形式．⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．(2)两曲线的交点由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．【指点迷津】1．一个核心问题通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题．2．二个检验方向求出轨迹方程后，从两个方面检验①曲线上所有点的坐标都适合方程；②方程的解表示的点都是曲线上的点．3．五种方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示 x ，y ，再将 x ，y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x，条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x ，y )的变化而变化，并且 Q(x ，y )又在某已0 0 0 00 0 0 0y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．考向一 直接法求轨迹方程MP   MN   PM   PN   NM   NP例题 1 已知两点 M(－1,0)，N(1,0)，且点 P 使→·→，→·→，→·→成公差小于零的等差数列，求点 P 的轨迹方程．【审题视点】 首先设出点 P 坐标为(x，y)，然后计算各个数量积，根据题目已知直接表示等量关系，整理求得点 P 的轨迹方程．MP→ MNMP   MN【典例精讲】 设点 P(x，y)，则→＝(x＋1，y)，NP＝(x－1，y)，→＝(2,0)．故→·→＝2(x＋1)，→ PN   MP   NP→ NPPM·→＝→·→＝(x＋1)×(x－1)＋y2＝x2＋y2－1，NM·→＝－2(x－1)＝2(1－x)．MP   MN   PM   PN   NM   NPNM   NP   MP   MN∵→·→，→·→，→·→成公差小于零的等差数列，∴2(x2＋y2－1)＝2(x＋1)＋2(1－x)．且→·→－→·→＝2(1－x)－2(x＋1)＝－4x＜0，整理得 x2＋y2＝3(x＞0)．故点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝3(x＞0)．【类题通法】 运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．变式训练1．如图所示，已知 F(1,0)，直线 l：x＝－1，P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为QP   QF   FP   FQ点 Q，且→·→＝→·→.求动点 P 的轨迹 C 的方程．例题 2 已知点  Aç－  ，0÷，点 B 是圆 F：çx－  ÷2＋y2＝4(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平FP QP QF QP   QF解析：设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)，→＝(x－1，y)，→＝(x＋1,0)，→＝(2，－y)，由→·→FP   FQ＝→·→，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得 C：y2＝4x.考向二 用定义法求轨迹方程æ 1 ö æ 1öè 2 ø è 2ø分线交 BF 于点 P，求动点 P 的轨迹方程．【审题视点】 由线段的垂直平分线定义转化为椭圆的定义，求椭圆方程．∴ P 点轨迹为以 Aç－  ，0÷，Fç  ，0÷为焦点，长半轴长为 1 的椭圆．1   b2又∵c＝  ，a＝1，∴b2＝a2－c2＝  .故 P 点的轨迹方程为 x2＋  y2＝1.圆圆心 M 的轨迹方程．所以|MC |－|MC |＝|BC |－|AC |＝3－1＝2.这表明动点 M 到两定点 C 、C 的距离的差是常数 2，且小于|C C |＝6.根据双曲线的定义，动点  M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C 的距离大，到 C 的距离小)，这里 a＝1，c＝3，则 b2＝8.设点 M 的坐标为(x，y)，y2其轨迹方程为  x2－   ＝1(x≤－1)．例题 3  设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点 P 在 y 轴上运动用 x、y 表示 x 及 y 代入 x 与 y 的关系式．【典例精讲】   设 M(x  0)，P(0，y )，N(x，y)，∴(x ，－y )·(1，－y )＝0，∴ x ＋y2＝0.【典例精讲】 如图，连接 PA，依题意可知|PA|＝|PB|.∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2＞1.æ 1 öè 2 øæ1 öè2 øx2 y2其方程可设为 ＋ ＝1.1 32 443【类题通法】 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围．变式训练2．已知圆 C ：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C 及圆 C 相外切，求动1 2 1 2解析：如图，设动圆半径为 r.|MC |＝r＋1，|MC |＝r＋3，1 22 1 2 12 1 1 2218考向三 相关点(代入)法求轨迹→ → → →时，求点 N 的轨迹方程．【审题视点】 设 N(x ，y)，M(x 0)，P(0，y )，由已知条件，建立 x ，y 与 x，y 之间的关系：1 0, 0 0 00 0 0 00, 0PM   PF   PM PF∵→⊥→，→＝(x ，－y )，→＝(1，－y )，0 0 00 0 00 0→ MP由MN＝2→得(x－x ，y)＝2(－x ，y )，0 0 0ìx－x0＝－2x0îy ＝  y∴íîy＝2y0ìx0＝－x，即í 10 2.∴－x＋   ＝0，即 y2＝4x.y24故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x.【类题通法】 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x ，y )；1 1(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式ìx1＝f x，y ，îy ＝g x，y ；í1(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．变式训练3．已知△ABC 的两个顶点为 A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点 C 在曲线 y＝3x2－1 上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．解析：设△ABC 的重心 G(x，y)，C(x ，y )，则0 0ìïx＝x －2，íïîy＝y －2，ìx0＝3x＋2，0033即íîy0＝3y＋2.∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1，整理得 y＝9x2＋12x＋3.典型例题   (2014·山东高考专家原创卷)已知抛物线  y2＝2px 经过点 M(2，－2   2)，椭圆   ＋   ＝2|OQ|又椭圆的离心率为  ，所以 a＝2，可得 b2＝4－1＝3，故椭圆的方程为   ＋   ＝1.(2)设 Q(x，y)，其中 x∈[－2,2]，设 P(x，y )，因为 P 为椭圆上一点，所以   ＋ 0＝1，解得 y2＝∵点 C 在 y＝3x2－1 上，∴y ＝3x2－1.0 0∴△ABC 重心的轨迹方程为 y＝9x2＋12x＋3.求曲线方程的规范解答x2 y2a2 b211 的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为 .(1)求抛物线与椭圆的方程；|OP|(2)若 P 为椭圆上一个动点，Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点， ＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．【审题视点】 根据抛物线及椭圆的性质求其方程，利用直接法求 Q 点轨迹方程．【思维流程】代入法求 P.利用离心率的定义及 a、b、c 之间的关系，求 a 与 b，写椭圆方程．设 Q 点，进而设 P 点，并转换两点坐标．把 Q、P 点坐标代入已知等式，并整理方程．根据 x2 的系数为正数、负数、零讨论曲线特征．【规范解答】 (1)因为抛物线 y2＝2px 经过点 M(2，－2 2)，所以(－2 2)2＝4p，解得 p＝2………………2 分所以抛物线的方程为 y2＝4x，其焦点为 F(1,0)，即椭圆的右焦点为 F(1,0)，得 c＝1.1 x2 y22 4 3……………………6 分x2 y20 4 3 04     |OQ|        |OQ|2x2＋3－  x2。