2016年广东省适应性考试理科数学精细解析(省一模).doc

2016年广东省适应性考试理科数学精细解析（省一模） （黄开鹏解析）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】， 所以2．若为纯虚数，其中R，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】为纯虚数，3．设为数列的前项的和，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】法①：；，所以法②：，经代入选项检验，只有C符合4． 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】法①：法②：5．三角函数的振幅和最小正周期分别是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A． 　　 　　 B． 　　 　C． 　　 D．【答案】D【解析】7．设、是两个命题，若是真命题，那么（ ）A．是真命题且是假命题 　B．是真命题且是真命题 　 C．是假命题且是真命题 D．是假命题且是假命题 【答案】D【解析】是真命题为假8．从一个边长为的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这个点中任取两个点，则这两点间的距离小于的概率是（ ）A． 　B． 　 C． D．【答案】A【解析】两点间的距离小于共有3种情况，分别为中心到三个中点的情况，故9．已知平面向量、满足，，则（ ）A． 　B． 　 C． D． 【答案】D【解析】∴10．的展开式中，常数项等于（ ）A． 　B． 　 C． D．【答案】D【解析】，∴∴常数项为11．已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于，则双曲线的方程是（　 ）A． B． 　 C． D．【答案】D【解析】∴双曲线的顶点为， ∴12．如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：①；②；③；④，其中“函数”的个数是（ ）A． 　 B． 　 C． D．【答案】C【解析】①，，不符合舍去；②③，因为故恒增；④，不符合舍去；综上所述，其中“函数”是②，③，个数是2.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的取值范围是 ．【答案】【解析】作图知为封闭型可行域，显然；①当时，由与可行域知，在点处取得最大值，与条件矛盾；②当时，，z最小即直线截距最大，当直线与边界重合时，截距最大，那么将直线绕点顺时针旋转至斜率不存在时均满足条件，此时斜率越来小，故14．已知双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则 ．【答案】【解析】，由抛物线的准线为，所以15．已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意的N，均有，，成等差数列，则 ．【答案】【解析】∵，，成等差数列 ∴（1）当时， 又 ∴（2）当时，，∴∴ 又 ∴ ∴是等差数列，其公差为1 由（1）知 ∴16．已知函数的定义域为R，直线和是曲线的对称轴，且，则 ．【答案】2【解析】法①：直线和是曲线的对称轴∴ ∴法②：直线和是曲线的对称轴，且∴三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的中，角、、的对边分别为、、，且．（1）的值；（2）若，求的面积．【答案】（1） （2）【解析】（2）由（1）知 ∴ 又外接圆半径∴∴∴∴18．（本小题满分12分）某单位共有名员工，他们某年的收入如下表：员工编号12345678910年薪（万元）33.5455.56.577.5850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取人，此人中年薪收入高于万的人数记为，求的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为万元、万元、万元、万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式：，，其中、表示样本均值．【答案】（1）， （2） （3）【解析】（1）该单位员工当年年薪的平均值为（万元）该单位员工当年年薪的中位数为（万元）（2）高于万的人数为6人，不高于万的人数为4人， 的可能取值为0，1，2。

所以的分布列为012所以的期望是（3）设员工年薪收入为y，工作年限为x，，∴∴∴线性回归方程为∴当答：预测该员工第五年的年薪为万19．（本小题满分12分）如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，．（1）证明：面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值．【答案】（1）略 （2） 【解析】（1）∵在中，，∴ ∴又 ∴∴ ∴∵为直二面角，∴平面 又是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，AB为两平面交线∴ 又∴ 又∴面（2）20．（本小题满分12分）已知抛物线：，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点，和点，，线段，的中点分别记为，．（1）求面积的最小值；（2）求线段的中点满足的方程．21．（本小题满分12分）设函数（）．（1）求的单调区间；（2）求的零点个数；（3）证明：曲线上没有经过原点的切线．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，是半圆的直径，，垂足为，，与、分别交于点、．（1）证明：； （2）证明：．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为点．（1）求直线的参数方程；（2）求的值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时有，求的取值范围．内部资料 切勿外传 2016年适应性测试理科数学答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数. 选择题不给中间分.一．选择题（1）B （2）C （3）C （4）C （5）B （6）D （7）D （8）A （9）D （10）D （11）D （12）C二．填空题（13） （14）4 （15） （16）2 三．解答题（17）解：（Ⅰ），由正弦定理得：，………6分……又，.（Ⅱ）由，由.由余弦定理 .………12分…….………4分……（18）解：（Ⅰ）平均值为10万元，中位数为6万元.（Ⅱ）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；取值为0，1，2. ，，，所以的分布列为012………8分……数学期望为.（Ⅲ）设分别表示工作年限及相应年薪，则， ………12分……由线性回归方程：. 可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元. （19）解：（Ⅰ）,， ， ；又因为，， ，而.………6分…….平面.（Ⅱ）过作，分别交于，的补角为与所成的角.连接，.………12分……所以异面直线与所成的角的余弦值为.向量法：（Ⅰ）以为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.，，，，，.，.，.，，，………6分…….（Ⅱ），，记与夹角为，则………12分…… .（20）解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为，.联立，消去并整理得. (*) (*)关于的一元二次方程的判别式. 设，，则是方程(*)的两个不等实根， 经计算得． 设，则． 类似地，设，则． 所以， ， 因此． 因为，所以，………8分 当且仅当，即时，取到最小值4．（Ⅱ）设线段的中点，由（1）得 ，消去后得．………12分∴线段的中点满足的方程为．（21）解：（Ⅰ）的定义域为，.令，得.（1）当，即时，，所以在内单调递增.（2）当，即时，由解得，，且，在区间及内,，在内，，…4分所以，在区间及内单调递增，在内单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在内单调递增，所以 最多只有一个零点.又因为，所以，当且时，；当且时，，故有且仅有一个零点.当时，因为在及内单调递增，在内单调递减，且而，（），，由此知，又因为当且时，，故在内有且仅有一个零点.………8分综上所述，当时，有且仅有一个零点.（Ⅲ）假设曲线在点（）处的切线经过原点，则有，即，化简得：（。