实数完备性定理证明和应用.doc

实数完备性定理的证明及应用学生姓名：XXX 学号：20085031072数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导老师：XXX 职称：副教授摘 要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的 理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实 数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的 进一步的认识和理解.并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.关键词：完备性；基本定理；等价性Testification and application about Real NumberCompletenessAbstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval.Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence引言在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学 分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理.在此，我们以实数连续性 为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实 数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.1. 基本定义⑴定义I设s是中的一个数集.若数〃满足：⑴对一切x e S , W X < Z；,即〃是S的上界;（2）对任何qv"，存在兀wS,使得x> a ,即〃又是S的最小上界，则称数7；为数集S的上确界，记作〃二supS・定义2设S是/?中的一个数集.若纟满足：（1） 对一切xgS,有兀即§是S的下界；（2） 对任何0〉§,存在xe5，使得无<§,即§又是S的最大下界，则称数g为数集S的下确界，记作g = infS・定义3设闭区间列｛［色,仇］｝具有如下性质：（1） ［陽+M+J,斤=1,2,；（2） lim@“ 一％） = 0,则称｛［心仇］｝为闭区间套，或简称区间套.定义4⑵ 设S为数轴上的点集，歹定点（它可以属于S,也可以不屈于S）.若 §的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称§为点集S的一个聚点.其等价定义：对于点集S,若点§的任何F邻域内都含有S中异于歹的点，即 U （^,6'） SH0，则称g为S的一个聚点.定义5设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的一个元素都是形如 （久0）的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的 一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的 一个无限（有限）开覆盖.2. 六个定理及证明定理1维尔斯特拉斯聚点定理（Weierstrass聚点定理）直线上的有界无限点集S至少有一个聚点.定理2柯西收敛准则（又叫实数完备性定理）数列｛色｝收敛的充要条件是：对任给的正数£，总存在某一个自然数"，定理3确界原理有上（下）界的数集必有上（下）确界.定理4单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限.定理5区间套定理若｛［。

‘乞］｝是一列闭区间，（比= 1,2,）,又设⑴［第丿订二［色+1，亿+J，5 = 1,2,）；（2） lim（/?n-^） = O,"TOO则存在唯一的0 = 1,2,）・定理6有限覆盖定理（也叫海涅•波莱尔定理）设［⑦列是闭区间，H为［⑦切的一个开覆盖，则在H中必存在有限个开区间, 它构成国列的开覆盖.3・六个定理等价的证明以上定理，虽然表述各异，其实质都是描述实数集完备性的定理，下面将以 循环证明方式，证明其等价性.维尔斯特拉斯聚点定理n柯西收敛准则n确界原理n单调有界定理n区间 套定理=> 有限覆盖定理=> 维尔斯特拉斯聚点定理.3.1维尔斯特拉斯聚点定理d柯西收敛准则证明 若对▽ £ >0, 3 N >0,当 n^n W 时,\atl -am < s ・取 £ = 1 ・则 3N｝ >0,当n> N、时，有卜“-伽<1,则\alt \ <14- aN［・令 则对V n,都有oo(2)若｛色｝构成无穷点集，由聚点定理｛%｝必有一个聚点§・由聚点定义2,必存在｛%｝u｛d“｝,且则0”胡斗“一％|+|% —剧 <£•即 1 i切=& •HT83.2柯西收敛准则=>确界原理证明 设S为非空有上界实数集，由实数的阿基米德性，对任何正数在整数©，使得九*, q为S的上界，而Aa-a = (ka-l)a不是S的上界,即在af e S ,使得a'>(ka-l)a.分别取4=丄,斤=1,2,….则对每一个正整数，存在相应的人，使得人为S的 n上界，而\ 不是S的上界，故存在ar e S使得n">&-丄. (1)n又对止整数加，几是s的上界.故有心n”结合⑴式得& _ 人” < --n同理有 九-血 <丄，m从而得. , (1 1 \I 九一& 丨 < 14, - 4 0,存在N>0,使得当m』> N时，有肉厂人<£由柯四收敛准则，数列｛人｝收敛，记1 i mlZ2 = A现在证明久就是s的上确界.首先，对任何6/eS和正整数〃，有Q52,由(2)式得即2是S的一个上界.其次，对任给的5>0,由丄一0 5 n1 3—< — n 2-8)及(2)式，对充分大的〃同时有又因为A,--不是s的上界，故存在“ws,使 n结合上式af>A---- = A-32 2所以久为S的上确界.同理可证S为非空下界数集，则必存在下确界.3.3确界原理=> 单调有界定理证明 不妨设｛色｝为有上界的递增数列.由确界原理，数列｛%｝有上确 界.a = sup[an].下面证明a就是｛色｝的极限.事实上，任给£〉0,按上确界的定义，存在数列｛劣｝中某一项乐，使得Vd” •又由匕｝的递增性，当刃' N时有a-s N f 时有 + 这就证得 lima” =a.77 —>00同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.3.4单调有界定理=> 区间套定理⑺证明 由闭区间列｛[%,仇]｝的性质知，a. ^ , 0 = 12 ）； ,?T8 n—>00综上 an<^ 有限覆盖定理证明 用反证法.假设有限覆盖定理的结论不成立，即不能用H中有限个开 区间来覆盖［°,列，将［⑦列等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个区间为国0］,则［如q］u［d0］,且 ^-6/,=—・再将［qQ］等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能 用H中有限个开区间来覆盖，记这个区间为［a2,b2］f贝叽色厶］u ,且. h-ab2~a2 二 W °重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列｛［£,〃”］｝•它满足［色,乞］=>［%,$+J, （h = 1,2,）； 仇一色=爭—05 — 00）, 即｛［〜，仇］｝是区间套，且其中每一个闭区间都不能用丹中有限个开区间来覆盖・ 由区间套定理,存在唯一的一点§可色也］,（日,2,）；由于H是［%］的一个 开覆盖，故存在开区间（a,0）wH,使gw（a,0）・于是，由区间套定理的推论， 当斤充分大时有［cin,bn］ u（Q,0）・这表明只须用H中的一个开区间（q,0）来覆盖，与挑选[色,仇]时的假 设“不能用丹中有限个开区间来覆盖”相矛盾.以而证得必存在属于H的有限个 开区间能覆盖3.6有限覆盖定理=>聚点定理证明 若S为/?上的有界无穷点集，则存在M〉0,使Su[-M,M]・对任意xe ,任意£ >0,记*(坷,£)X. ,显然H覆盖了 [-M,M]・由有限覆盖定理，存在FT =w [-= 1,2…上}也覆盖了 [-M,M]・即u（形，F）o [-M.M] zd S ・/=|由于s是无穷点集，至少有一个％,使得“（％,町含有s中无穷多个点.则％ 是S的聚点.4.实数完备性定理的应用以上我们对实数完备性定理进行了循环证明，下面我们将对其在闭区间上连 续函数性质的应用做一些举例证明.例1证明有界性定理.证明（应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性，对没一点兀引⑦切， 都存在领域U{x-s,)及止数M,,使得|/(x)||/(x)| <