高中数学章末检测卷三北师大版选修12.docx

章末检测卷（三）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1 .由 1 = 12,1 + 3= 22,1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42,…，得到 1 + 3+ …+ （2 n — 1） = n2用的是（）/\A.归纳推理 B .演绎推理、C.类比推理 D .特殊推理答案 A2 .对大于或等于2的自然数的正整数塞运算有如下分解方式：22=1+3\32=1+3+542=1+3+5+723=3 + 533=7 + 9+1143= 13+ 15+ 17+ 19根据上述分解规律，若m=1 + 3+5+…+ 11, n3的分解中最小的正整数是21,则 Mn等于（）A510 B . 11C. 12 D . 13答案 B2 1+11解析 ,.1 m= 1 + 3+ 5+…+ 11= 2-X 6= 36,m= 6.、/3 3\/. 2 =3+5,3 =7 + 9+ 11,43= 13+15+17+19,\/31 ・5 =21 + 23 + 25+27+29,2 •.n3的分解中最小的数是21,\/n3= 53, n=5,ml- n=6+5=11.3 .用反证法证明命题“ 亚+也是无理数”时，假设正确的是（）A.假设，2是有理数B.假设噩是有理数/C.假设小或J3是有理数/\D.假设卡+斓是有理数答案 D//\\解析 应对结论进行否定，则 出十43不是无理数，\即、、必十，3是有理数.\4 .求证：$-1>F-p\证明：要证明-1>甲-啊只要证/+第〉0+1,即证 7+ 2^7X5 + 5>11 + 2/ + 1 ,即证小5>/，即证35>11,,「35>11恒成立，，原式成立.以上证明过程应用了 ()A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法答案 B解析 由分析法的特点可知应用了分析法.2fx.一 5.已知 f(x+1) = f-, f(1) =1(xC N+),猜想 f(x)的表达式为()f x I 2答案 B2f 122解析 当 x= 1 时，f (2) = f 1 + 2 = 3= 2+1，tI2f222当 x = 2 时，f(3) =f-2~+2 = 4= 3+ 1 ；/212f322当 x=3 时，f(4)=FV^=5=477；、/2故可猜想f(x)=xq^,故选b.6.已知 “*+丫)= ”刈+”丫)且£(1) =2,则 f(1) +f(2) +…+ f(n)不能等于()A.B.f(1) +2f(1) +…+ nf(1)f(nn+ 1~r~C. n( n+ 1)f⑴答案 C解析 f (x+y) = f (x) +f(y),令 x = y=1, f(2) =2f(1),令 x=1, y=2, f(3) =f(1) +f(2) =3f(1)f (n)= nf(1)，• ・f (1) +f(2) +…+ f(n) = (1 +2+ …+ n)f(1)n n 12-f(1) .・•・A、D正确;又 f (1) +f(2) +…+ f(n) =f (1 +2+ …+ n)=f (n+ 12•••B也正确，故选C.7 .对“a, b, c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a—b) 2+ ( b—c) 2+ (c—a)2w0；②a = b与b= c及a= c中至少有一个成立；/③awc, bwc, awb不能同时成立.其中判断正确的个数为()A. 0 B.1 C . 2 D . 3 1/答案 B解析若(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2=0,则a=b=c,与"a,b,c是不全相等的正数”矛盾，故①正确.a= b与b= c及a = c中最多只能有一个成立，故②不正确.由于“a, b, c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确.8 .我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.下列几何体中，一定属于相似体的有()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥.A. 4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个/\答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体.\\9 .定义在R上的函数f(x)满足f( —x) = —f(x+4),且f(x)在(2, +8)上为增函数.已知Xi+X2<4 且(xi —2) • (x2—2)<0 ,贝U f(xi)+f(x2)的值()\A.恒小于0 B .恒大于0C.可能等于0 D .可正也可负\答案 A解析 不妨设xi-2<0, x2—2>0,则 xi<2, x2>2,2 —f (4 -xi),从而—f(x2)> -f(4 -xi)=f(xi),f (xi) + f(x2)<0.10 .黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是()A. 4n+2 B , 4n—2C. 2n+4 D . 3n+3答案 A解析 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个, 因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以' 6为首项，公差是4的等差数列的第n项”.故第n个图案中有白色地面砖的块数是/ 4n+ 2.13.观察下列等式:二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知数列｛a｝满足 a1 = w，an+1 = 1— —,则 a2 013 =2 an答案 2一— 1斛析 --- a1 = 2,1an+ 1 = 1 ,ana2= 1 — — = — 1日a5= 1 ——= — 1a4,a3 = 1 一 — = 2 a2生=1 一 一= 2,a5an+3k= an( n€ Nl+, k€ Nk).a2 013= a3+3X670 = a3= 2.12 .从 1 = 12,2 + 3 + 4 = 32,3 + 4+ 5+ 6+ 7= 52 中2答案 n+(n+1) + (n+2)+…+ (3 n- 2) = (2 n- 1)解析 通过观察可以得规律为 n+(n+1) + (n+2) + -••+ (3 n-2) = (2 n-1)2.(1 +1)=2X1(2 + 1)(2 +2) =22X1X3X 3(3 + 1)(3\+ 2)(3 +3) = 2X1X3X5照此规律，第n个等式可为答案(n+1)(n+ 2) •••( n+n) = 2nx 1 x 3X -•x (2 n-1)解析 由已知的三个等式左边的变化规律,得第 n个等式左边为已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为为可得到一般规律(n+ 1)( n + 2) •••( n+ n),2n与n个奇数之积,2nx1X3x---x (2 n-1).14.在平面几何中，△ ABC勺内角平分线CE分AB所成线段的比为AE ACAE= A＞把这个结论类比到EB BC空间：在三棱锥 A-BC阴（如图所示），面DE评分二面角 A-C斗B且与AB相交于E,则得到的类比的结论是答案AE & ACDEB 及 BCD解析 CE平分/ ACB而面CDEFF分二面角 A- CF BAC S^A ACD•1•后可类比成人—, BC S/\ BCDAE SaACD故结论为AE=—.EB Sa bcd15.已知Sk= 1 + 2+ 3+…+ n ,当k= 1,2,3 ,…时，观察下列等式:S = 2n2 + 1nS2=1n3 + 1n2+1n3 2 6o 1 41 31 2S3=4n+2n+4n，1 21 41 31S4=5n+2n +3n -30n，C 61 55 42&= An + 2n + 12n + Bn ,可以推测，A— B=.答案14一 . 1—，一一.解析 由S, S2, S3, S4, 4的特征，推测 A=7又各项的系数和为1, 6/151• -A+ 2+ 石+B= 1,则 B=—石./111因此推测A— B= 1+^=4.\/三、解答题（本大题共6小题，共75分）16. 1,淄，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由.解 假设1,短，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d,则1=>/3-md,2=^3+nd,/\m, n为两个正整数，消去 d得m= (]3+1)n.：m为有理数，(q3 + 1)n为无理数，，m^(.心+ 1) n.\••・假设不成立.即1, 3^2 2不可能为同一等差数列中的三项.\17.设 a, b 为实数，求证：y/a2+b2n*(a+b).'、证明 当 a+bwo 时，.「“+ b2>0,a，+ b b ^2~( a + b)成立•当a+b>0时，用分析法证明如下：\要证1a2+ b2>平(a + b),只需证((a2+b2)-乎 a+b ：即证 a2+ b2> 2( a2 + b2+ 2ab),即证 a2+ b2>2ab.••• a2+b2>2ab对一切实数恒成立，'1•1a2 + b2 > 半■( a+ b)成立.综上所述，对任意实数 a, b不等式都成立.18 .已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证三个方程ax2+2bx+c=0, bx2+2cx + a=0,cx2+ 2ax+ b= 0至少有一个方程有两个相异实根.证明反证法：\/假设三个方程中都没有两个相异实根，则 A 1 = 4b2- 4ac<0, A 2= 4c2- 4ab<0, A 3= 4a2- 4bc< 0.相加有 a2 —2ab + b2 + b2 —2bc+ c2+ c2— 2ac+ a2< 0,(a—b)2+(b—c)2 + (c—a)2wo.①1/由题意a、b、c互不相等，，①式不能成立./••・假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.112、…19 .设 a, b, c为一个二角形的二条边，s=2(a+b + c),且 s =2ab,试证：s<2a.证明 要证s<2a,由于s2=2ab, 2所以只需证s<3,即证b5,求证：［a — 5 —^a— 3<^a— 2 — ^s. 证明要证 4a- 5 — 013— 3<^a— 2 — 4^,只需证 7a— 5 + gv^a- 3 + 4―2,只需证(亚三+qa)2<(Ma" +板=2)2, 只需证 2a — 5 + 2 色2 —5a <2 a - 5 + 2^ a2— 5a+ 6, 只需证 、a2_ 5a <山2— 5a+ 6,。