lixinglian离散型随机变量的均值与方差(一)ppt.ppt

藁城市第二中学藁城市第二中学 李兴联李兴联1.理解取有限个值的离散型随机变量均值理解取有限个值的离散型随机变量均值的概念．的概念．2.能计算简单离散型随机变量的均值，并能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题能解决一些实际问题. 2．两点分布的分布列是．两点分布的分布列是X01P1－－pp复习回顾复习回顾 1．离散型随机变量．离散型随机变量X的分布列及性质的分布列及性质思考思考: : 关于关于平均的意义平均的意义, , 1. 1.某商场要将单价分别这某商场要将单价分别这1818元，元，2424元，元，3636元每元每千克的千克的3 3种糖果按需分种糖果按需分3 3：：2 2：：1 1的比例混合销售，对的比例混合销售，对混合糖果怎样定价才合理混合糖果怎样定价才合理? ? 它是对三种糖果价格的一种它是对三种糖果价格的一种加权平均加权平均 由于平均在每由于平均在每1kg的混合糖果中的混合糖果中,3种糖果的质量种糖果的质量分别是第一种分别是第一种1/2kg, 第二种第二种1/3kg,第三种第三种1/6kg,每公斤这种糖果的价格为每公斤这种糖果的价格为:2.如果混合糖果中每一颗糖果的质量如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等相等,你能解释权数的实际含义吗你能解释权数的实际含义吗?•现在混合糖果中任取一个，它的实际价现在混合糖果中任取一个，它的实际价格用Ｘ表示，Ｘ取值的分布列为：格用Ｘ表示，Ｘ取值的分布列为：　　　　　　ＸＸ　　　　1818　　　　　　24 3624 36ＰＰ合理价格合理价格=18× +24× +36× =18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)代表代表X的平均取值的平均取值数学期望的定义数学期望的定义若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为：的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称：则称： E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望或或均值均值。

•它反映了离散型随机变量取值的平均水平它反映了离散型随机变量取值的平均水平 X… … P… … 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为所以所以Y的分布列为的分布列为 Y… … P… … 线线性性性性质质结结 论论 结论：结论：若若X服从两点分布，则服从两点分布，则E(X)＝＝p例例例例1. 1. 1. 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1 1 1分，罚不中分，罚不中分，罚不中分，罚不中得得得得0 0 0 0分．已知某运动员罚球命中的概率为分．已知某运动员罚球命中的概率为分．已知某运动员罚球命中的概率为分．已知某运动员罚球命中的概率为0.70.70.70.7，则他罚球，则他罚球，则他罚球，则他罚球1 1 1 1次的得分次的得分次的得分次的得分X X X X的期望为的期望为的期望为的期望为 ．．．．0.70.7( (详细解答过程见课本例详细解答过程见课本例1)1) 1.1.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 3 个红球和个红球和2 2个黄球，个黄球，从中同时取从中同时取2 2个，则其中含红球个数的数学期望是个，则其中含红球个数的数学期望是 . .1.21.2 2.2.（（1 1）若）若 E(E(X)=X)=4.54.5, ,则则 E(E(－－X)=X)= . . （（2 2））E(E(X X－－E EX)=X)= . . -4.5-4.50 03．若随机变量．若随机变量X的分布列如表，则的分布列如表，则E(X)＝＝ (　　　　)X012345P2x 3x 7x2x 3xx∴∴E( X )=0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + 　　　　　　…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0∵∵P(X=k)= Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + 　　　　Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np X 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0(∵∵ k Cnk =n Cn-1k-1)结论：若结论：若X~B(n，，p)，，则则E(X)= np1 1、随机变量、随机变量X X的分布列是的分布列是X135P0.50.30.2(1)E(X)= . 2 2、随机变量、随机变量X X的分布列是的分布列是2.4(2)若若Y=2X+1，，则则E(Y)= . 5.8X47910P0.3ab0.2E(X)=7.5,则则a= b= .0.40.13．．某某人人进进行行射射击击，，每每次次中中靶靶的的概概率率均均为为0.8，，现现规规定定：：若若中中靶靶就就停停止止射射击击；；若若没没中中靶靶，，则则继继续续射射击击，，如如果果只只有有3发发子子弹弹，，则则射射击击次次数数X的的数数学学期望为期望为(　　　　)A．．2.14 B．．4.12C．．1.24 D．．2.41解：解：射击次数射击次数X的分布列为的分布列为∴∴E(X)＝＝0.8××1＋＋0.16××2＋＋0.04××3＝＝1.24.答案：答案：CX123P0.80.160.04练习练习三三 某运动员投篮命中率为某运动员投篮命中率为p＝＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数求一次投篮时命中次数X的均值；的均值； (2)求重复求重复5次投篮时，命中次数次投篮时，命中次数Y的均的均值值解：解：（（1）投）投篮篮一次命中次数一次命中次数X的分布列的分布列为为下下表，且表，且E(X) =p＝＝0.6 X X01P0.40.6(2)由由题题意，重复意，重复5次投次投篮篮，命中的次数，命中的次数Y服从二服从二项项分布，分布，即即Y～～B(5,0.6)．．则则E(Y)＝＝np＝＝5×0.6＝＝3.【【误误区区】】　　对对于两点分布，找清成功于两点分布，找清成功率率p，本，本题题分布列不可写分布列不可写为为下表，下表，对对于于二二项项分布关分布关键键找找对试验对试验次数．次数．X X01P0.60.4•技技巧巧：：　　(1)随随机机变变量量的的数数学学期期望望等等于于该该随随机机变变量量的的每每一一个个取取值值与与取取该该值值时时对对应应的的概概率率乘乘积的和．积的和．•(2)均均值值(数数学学期期望望)是是随随机机变变量量的的一一个个重重要要特特征征数数，，它它反反映映或或刻刻画画的的是是随随机机变变量量取取值值的的平平均均水水平平，，均均值值(数数学学期期望望)是是算算术术平平均均值值概概念念的的推广，是概率意义下的平均．推广，是概率意义下的平均．•(3)E(X)是是一一个个实实数数，，即即X作作为为随随机机变变量量是是可变的，而可变的，而E(X)是不变的．是不变的．•提提醒醒：：若若随随机机变变量量X服服从从二二项项分分布布，，即即X～～B(n，，p)，则可直接使用公式，则可直接使用公式E(X)＝＝np. 不一定不一定, ,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多次类似的测试中, ,他的平均成他的平均成绩大约是绩大约是9090分分例例2 2. .一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成个选择题构成, ,每个选择题有每个选择题有4 4个选个选项项, ,其中有且仅有一个选项正确其中有且仅有一个选项正确, ,每题选对得每题选对得5 5分分, ,不选或选不选或选错不得分错不得分, ,满分满分100100分分. .学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9,0.9,学学生乙则在测验中对每题都从生乙则在测验中对每题都从4 4个选项中随机地选择一个个选项中随机地选择一个. .求求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. .解解: :设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题的设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题的个数分是个数分是X X和和Y Y, ,则则 X X～～B(20B(20, ,0.9)0.9), ,Y Y～～B(20B(20, ,0.25)0.25)，，所以所以E(X)E(X)＝＝2020×0.90.9＝＝1818，，E(Y)E(Y)＝＝2020×0.250.25＝＝5 5．． 由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这次测验分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是中的成绩分别是5X5X和和5Y.5Y.这样，他们在测验中的成绩的这样，他们在测验中的成绩的期望分别是期望分别是E(5X)E(5X)＝＝5E5E（（X X）＝）＝5 5×1818＝＝9090，， E(5Y)E(5Y)＝＝5E5E（（Y Y）＝）＝5 5×5 5＝＝2525．．思考思考: :学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗? ?他的他的均值为均值为9090分的含义是什么分的含义是什么? ?•随随机机变变量量的的均均值值与与样样本本均均值值的的关关系系是是怎样的？怎样的？•提提示示：：随随机机变变量量的的均均值值是是一一个个常常数数，，样样本本均均值值是是一一个个随随机机变变量量，，随随观观测测次次数数的的增增加加或或样样本本容容量量的的增增加加，，样样本本的的均均值值趋趋于于随机变量的均值。

随机变量的均值例题例题3.根据气象预报根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率某地区近期有小洪水的概率为为0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有该地区某工地上有一台大型设备一台大型设备,遇到大洪水时要损失遇到大洪水时要损失60000元元,遇遇到小洪水时要损失到小洪水时要损失10000元元,为保护设备为保护设备,有以下有以下3种方案种方案:方案方案1.运走设备运走设备,搬运费为搬运费为3800元元;方案方案2.建保护围墙建保护围墙,建设费为建设费为2000元元,但围墙只能但围墙只能防小洪水防小洪水方案方案3.不采取措施不采取措施,希望洪水不发生希望洪水不发生.试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好?并说明理由并说明理由.•解解：用：用X X1 1 、、X X2 2和和X X3 3分别表示三种方案的损失．分别表示三种方案的损失．•采用第采用第1 1种方案，无论有无洪水，都损失种方案，无论有无洪水，都损失3 800 3 800 元，即元，即X X1 1 = 3 800 . = 3 800 . •采用第采用第2 2 种方案，遇到大洪水时，损失种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 2 000 + 60 000=62 000 元；元；没有大洪水时，损失没有大洪水时，损失2 000 2 000 元，即元，即 •同样，采用第同样，采用第 3 3 种方案，有种方案，有 • EXEX1 1＝＝3 800 , 3 800 , • EX EX2 2＝＝62 00062 000××P (XP (X2 2 = 62 000 ) + 2 000 = 62 000 ) + 2 000××P (XP (X2 2 = 2 000 ) = 2 000 ) •= 62000= 62000××0. 01 + 20000. 01 + 2000××(1-0.01) = 2 600 , (1-0.01) = 2 600 , • EX EX3 3 = 60000 = 60000××P (XP (X3 3 = 60000) + 10 000= 60000) + 10 000××P(XP(X3 3 =10 000 ) + =10 000 ) + 0 0×× P (X P (X3 3 =0) =0) •= 60 000= 60 000××0.01 + 100000.01 + 10000××0.25=3100 . 0.25=3100 . •采取方案采取方案2 2的平均损失最小，所以可以选择方案的平均损失最小，所以可以选择方案2 . 2 . •值得注意的是，上述结论是通过比较值得注意的是，上述结论是通过比较““平均损失平均损失””而得出的．一般地，而得出的．一般地，我们可以这样来理解我们可以这样来理解““平均损失平均损失””：假设问题中的气象情况多次发生，：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案那么采用方案 2 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 2 也也不一定是最好的不一定是最好的思考思考2 2. .某商场的促销决策：某商场的促销决策： 统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2 2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利1010万元；如万元；如万元；如万元；如遇下雨可则损失遇下雨可则损失遇下雨可则损失遇下雨可则损失4 4万元。

万元6 6月月月月1919日气象预报端午节下雨日气象预报端午节下雨日气象预报端午节下雨日气象预报端午节下雨的概率为的概率为的概率为的概率为40%40%，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？解解: :因为商场内的促销活动可获效益因为商场内的促销活动可获效益2 2万元万元设商场外的促销活动可获效益设商场外的促销活动可获效益X X万元万元, ,则则X的分布列的分布列PX10 －－40.60.4所以所以E(X)=10×0.6＋＋(-4) ×0.4=4.4因为因为4.4>2,所以商场应选择在商场外进行促销所以商场应选择在商场外进行促销. .思考思考3.3. 有有场场游游戏戏，，规规则则如如下下：：如如掷掷一一个个骰骰子子，，出出现现1 1，，你你赢赢8 8元元；；出出现现2 2或或3 3或或4 4，，你你输输3 3元元；；出出现现5 5或或6 6，，不不输输不不赢赢．．这这场场游戏游戏对你是否有利对你是否有利? ?•1．离散型随机变量的均值．离散型随机变量的均值•若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2… xi… xnPp1p2… pi… pn知识梳理：知识梳理：x1p1＋＋x2p2＋＋……＋＋xipi＋＋……＋＋xnpn数学期望数学期望平均水平平均水平称称 E(X)＝＝为为随机变量随机变量X的均值或的均值或 ，，它它反反映映了了离离散散型型随机变量取值的随机变量取值的．．•2．均值的性质．均值的性质E(aX＋＋b)＝＝.•3．两点分布与二项分布的均值．两点分布与二项分布的均值•(1)若若X服从两点分布，服从两点分布，E(X)＝＝ •(2)若若X～～B(n，，p)，，E(X)＝＝ ．．•4.求离散求离散离散型随机变量均值的步骤离散型随机变量均值的步骤①①确定所有可能取值；确定所有可能取值；②②写出分布列；写出分布列； ③③求出均值求出均值aE(X)＋＋bnpp学习至此，请做课后作业学习至此，请做课后作业彩球游戏彩球游戏准备一个布袋，内装准备一个布袋，内装6 6个红球与个红球与6 6个白球，除颜色个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6 6个球，输赢的个球，输赢的规则为：规则为： 6 6个全红个全红 赢得赢得100100元元5 5红红1 1白白 赢得赢得5050元元4 4红红2 2白白 赢得赢得2020元元3 3红红3 3白白 输输100100元元2 2红红4 4白白 赢得赢得2020元元1 1红红5 5白白 赢得赢得5050元元6 6个全白个全白 赢得赢得100100元元你动心了吗你动心了吗? ? •(1)写出写出ξ的分布列；的分布列；•(2)求数学期望求数学期望E(ξ)．．•故故ξ的分布列为的分布列为•(1)求该学生考上大学的概率；求该学生考上大学的概率；•(2)如如果果考考上上大大学学或或参参加加完完5次次测测试试就就结结束束，，记记该该生生参参加加测试的次数为测试的次数为ξ，求，求ξ的分布列及的分布列及ξ的数学期望．的数学期望．•则则ξ的分布列为：的分布列为：。