(人教A版必修第一册)5.7函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质-(教师版).docx

函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质1 性质(1) 简谐运动可用函数y=Asinωx+φ，x∈[0,+∞)表示，A是振幅，周期T=2πω ，频率 f=1T=ω2π ，相位ωx+φ ，初相φ.(2) A,ω,φ对f(x)=Asinωx+φ的影响A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置. 2 函数的变换 (1) 平移变换① y=fx⟶ y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；② y=fx⟶y=fx± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).PS f(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)， 而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].(2) 伸缩变换① y=fx⟶ y=A fxA>0将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).② y=fx⟶ y=fω xω>0将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω>1缩短，ω<1伸长)；问题 怎么理解呢？例：若将fx=3sinx+π3图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那得到的函数是fx=3sin2x+π3还是fx=3sin12x+π3呢？解析 我们把fx=3sinx+π3的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T=2πω,T与ω成反比)，即变换后的函数应该是fx=3sin2x+π3. 【题型一】函数图象的变换【典题1】 将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)＝2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-2π3，2kπ+π3](k∈Z) C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3 D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到h(x)＝Asin[2ω(x-π3)+π6]＝Asin(2ωx+π6-2πω3)的图象．与g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2)比较 (利用诱导公式转化同函数名)又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，则f(2π3)取不到最值，∴x=2π3不是对称轴，∵f(2π3)≠0，∴(2π3,0)不是对称中心，即C，D错误．故选：B．巩固练习1(★) 将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为(　　)A．y=sin(2x+π4) B．y=sin(12x+3π4) C．y=sin(12x+π4) D．y=sin(2x+3π4)【答案】D 【解析】函数y=cosx=sin(x+π2)，其图象先左移π4个单位，得y=sin(x+3π4)的图象；再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y=sin(2x+3π4)的图象；所以函数y的解析式为y=sin(2x+3π4)．故选：D．2(★) 将函数f(x)=3sin(12x-φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(π3)=32，则φ=(　　)A．-π4 B．-π3 C．π6 D．π3【答案】 C 【解析】将函数f(x)=3sin(12x-φ)(|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位长度，可得g(x)=3sin[12(x+π3)-φ]=3sin(12x+π6-φ) 的图象，因为g(π3)=32，所以3sin(π3-φ)=32，即sin(π3-φ)=12，所以π3-φ=2kπ+π6(k∈Z)或π3-φ=2kπ+5π6(k∈Z)．因为|φ|＜π2，所以，φ=π6，故选：C．3(★★) 为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象(　　)A．向右平移π4个单位 B．向左平移π4个单位 C．向右平移π8个单位 D．向左平移π8个单位 【答案】 D 【解析】为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x=sin(2x+π2)的图象向左平移π8个单位,sin(2(x+π8)+π2)=sin(2x+3π4)．故选：D．4(★★) 已知函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y=sin(ωx+φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为(　　)A．3π4 B．π4 C．0 D．-π4【答案】B 【解析】函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω=2，现将y=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个g(x)=sin(2x+π4+φ)为偶函数，则φ+π4=kπ+π2(k∈Z)，整理得φ=kπ+π4(k∈Z)，当k=0时，φ=π4．故选：B．5(★★) 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f(x)的图象(　　)A．关于点(5π12,0)对称 B．关于直线x=π6对称 C．在[-π12，5π12]单调递增 D．在[π12,7π12]单调递减 【答案】 C 【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴T=2πω=π，得ω=2，此时f(x)=sin(2x+φ)，图象向右平移π12个单位后得到y=sin[2(x-π12)+φ]=sin(2x+φ-π6)，若函数为偶函数，则φ-π6=kπ+π2，k∈Z，得φ=kπ+5π6，∵|φ|＜π2，∴当k=－1时，φ=-π6，则f(x)=sin(2x-π3)，则f(5π12)=sin(2×5π12-π3)=sinπ2≠0，故f(x)关于点(5π12,0)不对称，故A错误，f(π6)=sin(2×π6-π3)=sin0≠1，故关于直线x=π6不对称，故B错误，当-π12≤x≤5π12时，-π6≤2x≤5π6，-π2≤2x-π3≤π2，此时函数f(x)为增函数，故C正确，当-π12≤x≤7π12时，-π6≤2x≤7π6，-π2≤2x-π3≤5π6，此时函数f(x)不单调，故D错误，故选：C．6(★★★) 将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)=2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z) C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3 D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【答案】 B 【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到：g(x)=Asin(2ωx+π6-2πω3)的图象．与g(x)=2cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π2)比较，又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．故sin(2x-π2)=cos(2x－π)=cos(2x+φ)，得到φ=2kπ－π,k∈Z，所以：f(x)=2sin(x+π6),g(x)=－2cos2x．故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，可得C,D错误．故选：B．【题型二】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式【典题1】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分图象如图所示，下述四个结论：①ω=2；②φ=-π3；③f(x+π12)是奇函数；④f(x-π12)是偶函数中，其中所有正确结论的编号是 .【解析】由函数图象的最值可得A=1，由34T=π6-(-7π12)=3π4，解得T=π，所以ω=2πT=2，此时fx=sin⁡(2x+φ) 代入(-7π12,1)得f(-7π12)=sin(-7π6+φ)=1，∴-7π6+φ=π2+2kπ⇒φ=5π3+2kπ，又∵0<|φ|<π2，∴φ=-π3，∴f(x)=sin(2x-π3)，∴①、②正确；∵f(x+π12)=sin[2(x+π12)-π3]=sin(2x-π6)不是奇函数，∴③错误；∵fx-π12=sin2x-π12-π3=sin2x-π2=-cos2x，∴f(x-π12)为偶函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．【点拨】由函数y=Asinωx+φ+B(A>0,ω>0)的部分图象求解析式的方法(1) 求A,B：通过函数最值求解，由fmax=A+Bfmin=-A+B得A=fmax-fmin2， B=fmax+fmin2；(2) 求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出ω；(3) 求φ：求出A, ω后代入函数图象一最值点，求出φ.【典题2】 已知函数f(x)=sin⁡(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(0)=f(29π)=-f(π3)，且f(x)在(π6, 4π9)上单调，则函数y=f(x)的解析式是 .【解析】 对于函数fx=sinωx+φ (ω>0,0<φ<π)，由f(0)=f(2π9)，可得函数的图象关于直线x=12(0+2π9)=π9对称；又f2π9=-f(π3)，可得函数的图象关于点(2π9+π32，0)对称，即(5π18,0)；∴T4+kT=5π18-π9=π6，k∈Z, 解得T=2π3(4k+1)，∴ω=2πT=3(4k+1)；∵f(x)在(π6, 4π9)上单调∴T2≥4π9-π6，解得T>5π9，(由单调区间得到周期范围)∴0<ω≤185，又ω=2πT=34k+1， ∴ω=3，∵(5π18，0)是对称中心，∴f5π18=0，即sin3×5π18+φ=0，又∵0<φ<π ∴φ=π6，∴f(x)=sin⁡(3x+π6).【点拨】① 对于函数y=Asin( ωx+φ)，若fa=f(b)，则x=a+b2是其对称轴；若fa=-f(b)，则(a+b2,0)是其对称中心；② 处理三角函数f(x)=Asin( ωx+φ)，多注意其对称性，结合图象进行分析.巩固练习1(★) 函数f(x)=Asin( ωx+φ)(其中A>0, ω>0，|φ|<π2)的图象如图，则此函数表达式为 .【答案】 f(x)=3sin(12x+π4) 【解析】如图所示，A=3，T4=π，可得T=4π，2πω=4π，解得ω=12，所以f(x)=3sin(12x+φ)，因为函数过(3π2,。