分离变量法齐次方程齐次边界条件.ppt

数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法、分离变量法的基本思想和解题步骤 有界弦的自由振动、圆柱体稳态温度分布、一般格式、固有值问题、非齐次问、非齐次方程的解法、 非齐次边界条件的处理、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数•适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等•特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法令代入方程：令代入边界条件一 求两端固定的弦自由振动的规律 、分离变量法的基本思想和解题步骤数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程：特征方程：特征方程：根的三种情况：根的三种情况：得常系数微分得常系数微分方程的通解：方程的通解：附录附录: :数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。

数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法2 解的性质 x=x0时：其中：这表示在任意一点处都作简谐振动t=t0时：这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，其振幅随不同的时间而不同数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法振幅: 频率: 初位相: 波节: 波腹:驻波法 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法于是我们可以说u(x,t)是由一系列频率不同(成倍增长)、位相不同、振幅不同的(固有振动)驻波叠加而成的所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相的差异，由初始条件决定，而频率(nπa)/l与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率中最小的一个中最小的一个 称为称为基频，相应的相应的称为称为基波． 称为谐频， 相应的称为谐波基波的作用往往最显著． 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法第一步第一步: : 分离变量分离变量令 适合方程和边界条件，从而 定出所适合的固有值问题，以及 适合的常微分方程. 　　第二步　　第二步: : 解固有值问题，的分离变量形状的解。

解固有值问题，的分离变量形状的解求出全部特征值和特征函数.并求出相应的 的表达式. 第三步第三步: : 叠加定系数叠加定系数将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定常数. 　　综上所述，分离变量法的解题步骤可以分成三步： 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例(1) : 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法解：例(2) 求下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法初始条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例(3) 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。

研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题 解: 设并代入方程得 用用 遍除各项即得遍除各项即得 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法关于关于 T 的方程的方程 关于关于 X 的方程的方程 分分离为离为(iii)(i) λ< 0(ii) λ＝＝0无意义无意义( C0 为任意常数）为任意常数）先确定积分常数先确定积分常数 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法否则方程无解，否则方程无解，固有函数固有函数 把把λ＝＝0 与与λ> 0 情况的固有值、固有函数情况的固有值、固有函数 合在一起：合在一起：固有值固有值只有只有 ( C1为任意常数）为任意常数）傅里叶余弦级数的基本函数族傅里叶余弦级数的基本函数族数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法当当λ  0 时，将时，将本征值代入本征值代入 T 的方程：的方程：其解其解其中其中A0 、、B0 、、An 、、Bn 均为独立的任意常数均为独立的任意常数代回代回傅里叶余弦级数的基本函数族傅里叶余弦级数的基本函数族数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法由初始条件由初始条件所有本征振动的叠加所有本征振动的叠加—— 一般解一般解 系数系数A0 、、B0 、、An 、、Bn由初始条件确定由初始条件确定得得数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法把右边的函数展成傅里叶余弦级数把右边的函数展成傅里叶余弦级数, , 比较两边的系数比较两边的系数, ,得得 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法定解问题定解问题 答答 案案数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法*例(4) 求下列定解问题令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例(5) 研究细杆导热问题, 初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端温度为 u0，杆上温度梯度均匀, 零度的一端保持温度不变, 另一端跟外界绝热,试求细杆上温度的变化。

解解杆上温度满足下列泛定方程和定解条件杆上温度满足下列泛定方程和定解条件 泛定方程和定解条件都是齐次的，可以应用分离变量法泛定方程和定解条件都是齐次的，可以应用分离变量法设设代入方程和边界条件得代入方程和边界条件得 关于关于 T 的方程的方程 本征值问题本征值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法仅讨论仅讨论 的情况：的情况：(i) λ< 0 或＝或＝0：：无意义无意义固有值固有值 只有只有相应的固相应的固有函数有函数 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法关于关于 T 的方程的方程 由初始条件确定系数由初始条件确定系数数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法可以看出可以看出:t<0时，随着时，随着t的增大，级数发散，无意义的增大，级数发散，无意义t>0时，随着时，随着t 的增大级数解收敛得很快的增大级数解收敛得很快, t 越大越大, 级数收级数收敛越快t→∞时，时，u(x,t) →0，，即细杆内的温度从开始时的分布趋向即细杆内的温度从开始时的分布趋向于均匀的零摄氏度，热量从左端一处，体系从热力学非平于均匀的零摄氏度，热量从左端一处，体系从热力学非平衡态趋向于热力学平衡态。

衡态趋向于热力学平衡态答案答案数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例(6) 一长度为l的均匀细杆，其侧面与左右两端都保持绝热，杆内初始时刻的温度分布是不均匀的，求杆内温度随时间的变化解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法分离变量流程图数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法常用本征方程 齐次边界条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法•拉普拉斯方程–矩形区域问题–圆形区域问题三 稳定场方程(拉普拉斯方程)的定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法拉普拉斯方程 矩形区域•定解问题•未知函数分离•泛定方程分离•X边界条件分离•分离解•叠加•Y边界条件要求数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法2 圆域内的拉普拉斯问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例9 圆柱体稳态温度分布解：(1)设数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法欧拉方程(2)解固有值问题1）2）3）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法欧拉方程令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法级数解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法常用本征方程 周期边界条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法拉普拉斯方程 圆形区域•定解问题•未知函数分离•泛定方程分离•自然边界条件•分离结果•固有值问题求解•固有值•固有函数数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法拉普拉斯方程 圆形区域•径向方程求解•分离解•叠加•边界条件要求数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例10 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法欧拉方程 令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法其它为零数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例12 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法欧拉方程 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法其他为零数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法、一般格式、固有值问题 一般格式和问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法第一步，分离变量。

第二步，解固有值问题，得分离变量形状特解第三步，叠加定系数1)固有值是否存在；2)如果存在的话，固有函数系是否正交数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法 固有值问题的施图姆–刘维尔(Sturm-Liouville)定理一般的二阶齐次线性常微分方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法下面就施图姆–刘维尔(Sturm-Liouville)方程讨论固有值问题以上称为正则的施图姆–刘维尔(Sturm-Liouville)的固有值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法有如下结论：1) 可数性2) 非负性数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法3) 正交性4) 完备性数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例1 解固有值问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例2 解固有值问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例3 解固有值问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法另解：设想能不能通过变量代换将方程化成最简单的S-L 型方程，即消除一阶导项。

令：代入方程：0数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例 求满足双调和方程定解问题的所有分离变量形状的解解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法代入Y的方程，其特征方程为：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项附录：附录： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法有两个二重根故解得相应的问题的全部分离变量形状解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法例 求长方体内稳恒温度分布解：这是我们遇到的第一个高维问题，仍试着用分 离变量法求解数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法以及常微分方程解两个固有值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2章分离变量法章分离变量法、非齐次问题 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题。