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恐龙捕食问题摘要本文对恐龙的捕食追击问题做出了一系列合理的假设，用物理学中的旋转坐标系法和运动学原理建立追击模型我们分析了两种情况：一、单只恐龙追击二、两只恐龙追击两种情况下，分别考虑了大恐龙对小恐龙转弯的反应时间 ＝0 和 ≠0 的情形tt对于单只恐龙追击问题，＝0 时等价为直线追击问题这时，小恐龙能否逃生完全由两只恐龙之间的初始距离 决定的当 时，小恐龙可以逃脱，否则，小恐龙将0d0d76.5m被大恐龙捕获≠0 时，若 （ 为小恐龙的转弯时间）, 在不同的初始转弯距离t1t>下，我们通过计算机模拟可以得到不同的 BB 的可逃生角度范围，即如果1()dBB 选择这个范围内的一个角度，然后持续以这个角度进行转弯逃跑，即可逃生若 ，如果认为两只恐龙之间的初始距离即为小恐龙的初始1t15 8.32 7.46 11.61 12.89 14.19上表显示了三只恐龙在不同初始位置是所对应的追击时间由表中的数据可以看出，当 AA1，AA2 距离 BB 的距离 固定时，他们的垂直距离 越大，0d1h追击所需的时间越短，AA1 和 AA2 越有可能追上 BB这一点可以在定理二的证明过程中得到解答。

即 BB 与 AA1，AA2 其中任意一个的速度夹角都为 ，则 BB 对每个得相对速度都为 ，而 得取值由三者的初始位置决定，cos21v且 越小， 越大，则相对速度 越大，追击时间越短1h假设 BB 有一定的感知范围，当有 AA 进入其感知范围时，BB 能够发现 AA并逃走这里假设 BB 的感知范围为以 BB 位置为圆心，50m 为半径的圆形区域当 BB 的感知范围一定的时候，AA1 和 AA2 的最佳追逐策略应该是在 BB的两边同时开始追逐 BB，即使 BB 在 AA1 和 AA2 连线上如下图所示图九）阶段二： ，BB 拐弯假设 BB 朝着 AA1 方向拐弯，那么 BB 与1d()tAA1 的距离会减小，与 AA2 的距离会增大，我们可以忽略 AA2 对 BB 逃跑策略的影响则问题二可以简化为问题一，即只考虑 AA1 追击 BB，只是 AA1 的追击持续时间这时缩短至 应用问题一中的方法可以给出余下过程的解答30t模型分析1、 灵敏度分析1) BB 可逃生角度范围差 随着第一次拐弯时距离 的增大而增大，D1()d但递增速率逐渐减小并趋于 0从大量数据我们可以得出结论，第一次拐弯时 BB 与 AA 的距离越大，则 也越大，且间距由小变大时， 首先递增较快，而当距离较大时，D递增速率趋于 0。

2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 420406080100120拐弯初始间距 ()m初始间距与可逃生角度范围的曲线（图十）2) 在 BB 可逃生的角度范围 内，BB 选择的 越大，则到达 15 秒时，DAA 与 BB 最终的距离将越大2td/m1 1.2 1.4 1.6 1.8 224681012/radAA,BB 最终距离与转弯角度的关系曲线（图十一）3) 在 相同的情况下，AA 速率的变化引起的 的变化1d D在 AA 的速率分别为 （红色） 、 （黑色）时和2/ms20/s（蓝色）时， 随 AA 与 BB 初始距离变化的曲线8/msDD2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 420406080100120 1d()m（图十二）由曲线我们可以看出，随着 AA 速率的较小时， 则越大；反之，DAA 速率增大时， 将减小D4) 在 相同的情况下，AA 的拐弯半径 越小，则最终 AA 与 BB 的距离1d1r也将越小，反之，则 AA 与 BB 的最终距离越大/tm0.5 1 1.5 2 2.5 312345 /rad（图十四）5) 在 AA 与 BB 的初始距离相同 的情况下，AA 的反应时间 越小，1dt则 越小。

D最终距离 ()td/m0.5 1 1.5 2 2.5 30.511.522.533.54 /rad（图十五）在 AA 与 BB 初始距离为 的情况下（其他速率和拐弯半径不变） 3m当 ＝ 时，D＝ t0.2s[2,4]o当 ＝ 时，D＝ 185912、 模型的优缺点缺点：本题所给的条件很少，为了有效的模拟恐龙的捕食行为，我们根据动物的捕食和逃生的特点，做出了一系列假设，有些假设能充分反映捕食的实际情况，如（1） ， （4） ， （5） 有些假设的提出是为了简化实际比较复杂的情形，如（2） ， （3） ， （6） 实际中的动物捕食是很复杂的，追击区域不是平坦的，加速需要时间，转弯半径、速度会不断变化因此，分析得到的结果的误差是明显的 优点：我们运用了旋转坐标系建立了追击问题的模型，定义出了被捕食的区域，将复杂的捕食问题转化为简单的质点运动问题，建立了运动的微分方程，便于将模型推广．根据实际捕食行为，又将问题分为两种情形： ＝0 和t≠0，将各个情形分三个阶段：转弯前，转弯和转弯后处理这些分阶段的t分析都是符合实际情形的模型扩展一．在现实中动物转弯时为了更快的转弯，都要通过减小转弯速度来减少转弯半径。

转弯半径跟速度存在一定的关系假设恐龙在转弯时速度跟转弯半径都会发生变化，且转弯半径跟转弯速度的平方成正比关系，这里用 分别表示ＡＡ与ＢＢ的转弯时的)(,)(,2121trtv速度与转弯半径这样上面的模型可以扩展为：121121()()sinco()()vtdxyttrvtvtdr设 ， ，则上式可以简化为：211)()(tvktr2)(tkt21121()sinco()()()dxyvtt tktdtrt模型扩展之后，可以看到，ＢＢ可以在转弯时适当的减小速度，来获得一个小的转弯半径，从而更有利于逃脱，而ＡＡ也可以通过获得小的转弯半径来更好的捕捉猎物二．在模型一中，假定每次ＢＢ转弯角度都是相同的事实上，ＢＢ可以通过调整每次的转弯角度来拉大与ＡＡ的距离，这可以看作是一个动态规划的模型，每求解一步，计算来找到一个最佳的转弯角度三．在模型二中，只考虑了 BB 出现在 AA1 和 AA2 的中垂线上这种简单的情况，实际上，通过分析相对速度与追逐时间，可以求解出三者在任意位置关系时的追逐时间将 BB 逃生的过程离散化，BB 奔跑时不断地选择最优逃跑方向。

假设在任意时刻，BB 到 AA1 和 AA2 的距离分别为 和 ，BB 速度与 AA1 和1d2AA2 速度方向夹角分别为 和 ，BB 的逃生方向可以由 共同确定，12 21和且 的选择应使21和取得最大值：}cos,cos{2121vdvdMin即最优逃生方向是使 AA1 和 AA2 追逐 BB 所用时间最长的方向如下图所示： （图十六）参考文献[ 1 ]姜启源，数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003[ 2 ]胡运权，运筹学教程（第二版）[M]北京：清华大学出版社，2003[ 3 ]张三慧，大学物理学（第一册） （第二版） ，北京：清华大学出版社， 1999[ 4 ] [美 ]D.尤金，Mathematica 使用指南，北京：科学出版社，2002 [ 5 ][美]斯蒂芬·沃尔夫雷姆，Mathematica 全书，西安：西安交通大学出版社，2002。