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第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（非常重要）（非常重要）2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 与与（AND）或或（OR）非非(NOT)例：三种不同因果关系的电路 逻辑代数的基本运算：与（与（ANDAND）、或（）、或（OROR）、非）、非(NOT)(NOT)逻辑“与”决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才会发生Y=A AND B =A&B=AB=AB以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；A BY0 000 101 001 11真值表真值表电路电路图形符号图形符号逻辑“或”决定事物结果的全部条件之一具备，结果就会发生Y=A OR B =A+B以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；A BY0 000 111 011 11逻辑“非”决定事物结果的条件不具备，结果就会发生Y=A=NOT A以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；A Y 0 1 1 0几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算与非 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算或非 A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算与或非几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算异或Y=AB+AB=A BA BY0 000 111 011 10几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算同或Y=AB+AB=A BA BY0 010 101 001 11 有关概念：逻辑变量逻辑函数原变量，反变量逻辑函数表达式真值表逻辑符号2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式2.3 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式和常用公式和常用公式2.3.1 基本公式基本公式根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式序号序号公公 式式序号序号公公 式式10 0 A=0 010 1=0;0=121 A=A111+A=13A A=A120+A=A4A A=013A+A=A5A B=B A14A+A=16A (B C)=(A B)C15A+B=B+A7A (B+C)=A B+A C16A+(B+C)=(A+B)+C8(A B)=A+B17A+B C=(A+B)(A+C)9(A)=A18(A+B)=A B证明方法：推演 真值表公式（公式（17）的证明（公式推演法）：）的证明（公式推演法）：求求证:A+BC=(A+B)(A+C)证明明:右右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ;=A+A(B+C)+BC ;AA=A=A(1+B+C)+BC ;=A 1+BC ;1+B+C=1=A+BC ;A 1=A=左左边公式（公式（17）的证明（真值表法）：）的证明（真值表法）：A B C BCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0 0 0000000 0 1000100 1 0001000 1 1111111 0 0011111 0 1011111 1 0011111 1 1111112.3.2 若干常用公式若干常用公式序 号公 式21A+A B=A22A+A B=A+B23A B+A B=A24A(A+B)=A25A B+A C+B C=A B+A CA B+A C+B CD=A B+A C 吸收吸收规则:1.原原变量的吸收：量的吸收：A+AB=A证明：明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用利用该运算运算规则可以可以对逻辑式式进行化行化简。

例：例：吸收是指吸收多余（冗余）吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子，多余（冗余）因子被取消、去掉被取消、去掉 被消化了被消化了2.反反变量的吸收：量的吸收：证明：明：3.混合混合变量的吸收：量的吸收：证明：明：例：例：吸收吸收2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理代入定理 -在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立由此可得摩根定律的推广式由此可得摩根定律的推广式2.4.1 代入定理代入定理应用举例：式（17）A+BC =(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.4.2 反演定理反演定理 对任意一个逻辑式对任意一个逻辑式Y Y，若将其中所有的，若将其中所有的“”换换成成“+”+”，“+”+”换成换成“”，0 0换成换成1 1，1 1换成换成0 0，原，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是果就是YY变换规则：变换规则：先括号、然后乘、最后加；先括号、然后乘、最后加；不属于单个变量上的反号应保留不变。

不属于单个变量上的反号应保留不变2.4.2 反演定理应用举例：l l 变换规则：变换规则：先括号、然后乘、最后加；先括号、然后乘、最后加；不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变变换规则：变换规则：先括号、然后乘、最后加；先括号、然后乘、最后加；不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变2.4.2 反演定理变换规则：变换规则：先括号、然后乘、最后加；先括号、然后乘、最后加；不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变2.4.2 反演定理可以用列真可以用列真值表的方法表的方法证明：明：德德 摩根摩根(De Morgan)定理：定理：2.4.2 反演定理例：证明已知二变量的德例：证明已知二变量的德 摩根定理也适用于多变量的情况摩根定理也适用于多变量的情况证明：已知二变量的证明：已知二变量的德德 摩根定理是摩根定理是 (A+B)=A+B (A+B)=A+B 和和 (AB)=A+B(AB)=A+B 今以（今以（B+CB+C）代入左边等式中）代入左边等式中B B的位置，同时以的位置，同时以(BC)(BC)代入右边等式中代入右边等式中B B的位置，得到：的位置，得到：(A+(B+C)=A(A+(B+C)=A(B+C)=ABC(B+C)=ABC(A(BC)=A+(BC)=A+B+C(A(BC)=A+(BC)=A+B+C以此类推，德以此类推，德 摩根定理也适用于更多变量的情况。

摩根定理也适用于更多变量的情况2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.4.3 对偶定理对偶定理 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等对任意一个逻辑式对任意一个逻辑式Y Y，若将其中所有的，若将其中所有的“”换换成成“+”+”，“+”+”换成换成“”，0 0换成换成1 1，1 1换成换成0 0，得，得到的结果就是到的结果就是Y Y对偶式对偶式Y YD D例如：(AB)=A+B(AB)=A+B2.5.1 逻辑函数逻辑函数 若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定输入/输出之间是一种函数关系Y=F(A,B,C,)在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值0/12.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.2 逻辑函数的表示方法（逻辑函数的表示方法（重点重点）真值表逻辑函数式逻辑图波形图卡诺图 各种表示方法之间的相互转换 真值表真值表输入变量A B C输出Y1 Y2 列出所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值A BY0 000 101 001 11逻辑函数式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑函数式。

逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形各种形式的相互转换：真值表真值表 逻辑式逻辑式例：Y=AB+BC+CAY=ABC+ABC+ABC+ABCAB CY00000010010001111000101111011111（重要内容）（重要内容）真值表真值表 逻辑函数式的一般方法：逻辑函数式的一般方法：A.真值表真值表表达式表达式1.找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量3.将这些变量相加即得 YB.表达式真值表把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y值，列表即可逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图 A.逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符B.逻辑图逻辑式从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式真值表真值表 波形图波形图Q1Q2Q3Y0000001001000110100010101101n 变量逻辑函数的最小项 m：m是包含n个因子的乘积项n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次对于对于n变量函数变量函数有有2n个最小项个最小项2.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 1、最小项之和 2、最大项之积通过前面的例子引出最小项之和表达式，即通过前面的例子引出最小项之和表达式，即标准与或式标准与或式最小项举例：最小项举例：两变量A,B的最小项三变量A,B,C的最小项最小项的编号：最小项的编号：最小项取值A B C对应十进制数编号0 0 0 0m00 0 1 1m10 1 0 2m20 1 1 3m31 0 0 4m41 0 1 5m51 1 0 6m61 1 1 7m7最小项的性质最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。

全体最小项之和为1任何两个最小项之积为0两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子相邻：仅一个变量不同的最小项 如 例：例：利用公式利用公式可将任何一个函数化为可将任何一个函数化为例：最大项：最大项：n变量逻辑函数的最大项M是包含n个因子的相加项；n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次如：两变量A,B的最大项同样的，任意一个逻辑函数同样的，任意一个逻辑函数也都可以写成也都可以写成最大项之积最大项之积的形式的形式同样任意一个逻辑函数也可以同样任意一个逻辑函数也可以表示为最大项之积的形式表示为最大项之积的形式自学最大项的性质最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；任何两个最大项之和为1；只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和最大项的编号：最大项的编号：最大项取值对应编号A B C十进制数1 1 17M71 1 06M61 0 15M51 0 04M40 1 13M30 1 02M20 0 11M10 0 00M02.6 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法逻辑函数的最简形式 最简与或式：-包含的乘积项最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。

2.6.1公式化简法公式化简法反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子例：另举两例：板书另举两例：板书2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图表示法卡诺图：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图二变量卡诺图4变量的卡诺图 三变量的卡诺图注意变量取值顺序用卡诺图表示逻辑函数1.将函数表示为最小项之和的形式 2.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数例：用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数依据：具有逻辑相邻性的最小项相加合并，可以消去有关变量因子在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来即：几何相邻的最小项在逻辑上也具有相邻性可见：可见：两个相邻最小项可合并为一项，消去一个因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两个因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三个因子例如：见下页两个相邻最小项可合。