(精)函数的表示、定义域与值域——复习归纳__第二讲_(教师用).doc

DSE金牌化学专题系列 精典专题系列第2讲 函数的表示、定义域、值域一、导入：冷笑话《冷血杀手》二、知识点回顾：1．函数与映射的概念函　数映　射两集合A、BA、B是两个非空 A、B是两个非空 对应关系f：A→B按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的 一个数x，在集合B中有 的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的 一个元素x在集合B中有 的元素y与之对应记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射 2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素： 、 和 ．3．相等函数 如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有： 、 和 ．5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．6．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母 ．(2)偶次根式函数被开方式 .(3)一次函数、二次函数的定义域均为 .(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为 .(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为 ．(6)y＝tanx的定义域为 ．(7)函数f(x)＝x0的定义域为 ．(8)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．7．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 .(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 ；当a<0时，值域为 ．(3)y＝(k≠0)的值域是 ．(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是 ．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是 .(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是 ．(7)y＝tanx的值域是 .三、专题训练：专题一求函数的解析式(1)已知f(x－3)＝x2＋1，求f(x)；(2)已知f(x＋)＝x2＋，求f(x＋1)；(3)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)．[自主解答]　(1)法一：(换元法)设x－3＝t，则x＝t＋3，∴f(x－3)＝f(t)＝(t＋3)2＋1＝t2＋6t＋10，∴f(x)＝x2＋6x＋10.法二：(配凑法)∵f(x－3)＝x2＋1＝x2－6x＋9＋6x－8＝(x－3)2＋6x－8＝(x－3)2＋6(x－3)＋10，∴f(x)＝x2＋6x＋10.(2)法一：(换元法)设x＋＝t(t≥2或t≤－2)，则(x＋)2＝t2，∴x2＋＝t2－2，∴f(t)＝t2－2，∴f(x)＝x2－2，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－2＝x2＋2x＋1－2＝x2＋2x－1(x≥1或x≤－3)．法二：(配凑法)∵f(x＋)＝x2＋＝(x＋)2－2，∴f(x)＝x2－2，故f(x＋1)＝(x＋1)2－2＝x2＋2x－1(x≥1或x≤－3)．(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，故设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∴f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b.又∵f[f(x)]＝4x＋3，∴k2x＋kb＋b＝4x＋3，故解得或∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.思考：求f(x).解：2f(x)＋f()＝3x，　①把①中的x换成，得2f()＋f(x)＝，　②①×2－②，得3f(x)＝6x－，∴f(x)＝2x－.变式训练：(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴解得∴f(x)＝2x＋7.(2)法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．专题二分段函数问题(1)已知f(x)＝且f(a)＝3，求a的值．(2)已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－1，求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．[自主解答]　(1)①当a≤－1时，f(a)＝a＋2，由a＋2＝3，得a＝1，与a≤－1相矛盾，应舍去．②当－10时，x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝2时“＝”成立；当x<0时，x＋＝－(－x－)≤－4，当且仅当x＝－2时“＝”成立．∴y∈(－∞，－4]∪[4，＋∞)，函数无最值．(3)法一：设＝t(t≥0)，得x＝，∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤(t≥0)，∴y∈(－∞，]．∴函数有最大值，无最小值．法二：∵1－2x≥0，∴x≤，∴定义域为(－∞，]．∵函数y＝x，y＝－在(－∞，]上均单调递增，∴y≤－ ＝，∴y∈(－∞，]．∴此函数有最大值为，无最小值思考：若将y＝x＋；改为y＝x－；如何求解？解：∵y＝x－，∴y′＝1＋>0恒成立，∴y＝x－在(0，＋∞)和(－∞，0)上均为增函数，∴函数的值域为(－∞，＋∞)，既没有最大值也没有最小值．变式训练：求下列函数的值域．(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log3x＋logx3－1.解：(1)y＝＝＝－，∵≠0.∴函数的值域为{y|y≠，y∈R}．(2)y＝＝1－x2－x＋1＝(x－)2＋≥∴0<≤，∴－≤y<1.(3)y＝log3x＋－1令log3x＝t，则y＝t＋－1(t≠0)，当x>1时，t>0，y≥2 －1＝1，当且仅当t＝即log3x＝1，x＝3时，等号成立，当00，g(x)＝ax－2在[－2,2]上是增函数，g(x)∈[－2a－2,2a－2]，任给x1∈[－2,2]，f(x1)∈[－，－2]∪[－，]，若存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则[－，－2]。