易拉罐形状和尺寸的最优设计--实践周(10软件).doc
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易拉罐形状和尺寸的最优设计生活小像可口可乐、青岛啤酒这类饮料量约355毫升的易拉罐拥有相同的形状和尺寸, 考虑到其销量可能大至儿亿，甚至儿十亿,那么我们认为指定形状后的最优设计就是最省料 的设计本文建立模型解决圆柱形及I员I柱圆台组合形易拉罐的最优设计问题，并在节省材料 和人性化的基础之上设计出一种新的易拉罐.1对实际易拉罐的测量与统计取一个牛活中常见的355毫升的易拉罐，采用15次测量求平均值的方法对真值进行估 计，并根据样本数据取置信度为0.85,得到均值和置信区间如表1所示.总高11圆柱高h圆柱外直径D圆台内 直径d圆台高1壁厚b下底厚度c上盖厚度a均值和置123.38102.5466. 0056. 3612. 800. 130. 130.30信区间±0.034±0.029±0. 037±0. 035±0.036±0.013±0.015±0.014表1所测易拉罐的尺寸大小 /mn圆柱形易拉罐的最优设计模型一2・1模型建立：此时易拉罐的形状见图1,易拉罐的体积是一定的，现将易拉罐分成侧面、 上底而和下底而三部分（下底而与侧壁同厚、上顶而厚度记为0b）,分别计算三部分的用 料体积并得出总体枳为（注意到:bYYR, h YY h ,由此可得到川料的近似值）：V(/?,/2)=匕主侧 + 匕页 + V底=[疋(/? + b)2 — 7TR2 ] [h + (1 + Q)叭 + 卩以R2 +b兀R? = 2兀Rh + 2兀心 1 + P)Z?2 + hTTb2 + tt(1 + P)Z?3 + (1 + 卩)b优化模型q 2兀Rhb + tf7?2(1 十 p)Z?又因为易拉罐的容积V—定，即nR2h = V ,所以建立以下条件极值廿标函数： min V(R,h)7lR2 h = Vh(R)) = 27rRR>0, h>0约束条件：图1圆柱形易拉罐V2.2模型求解：将/? = —^代入V（R,h）得V（R,令鴛问（1+叽一2/7 厂解得R =V(1+卩)龙因此〜（农迈i7T V V）2=（i + p）（3d2V—-—) = (l + p)/?,由于二二>0，故所得 (1 + P)7T dR・唯一驻点使目标函数取得最小值⑵.综上所述，当355毫升易拉罐简化为圆柱体时，从用料 最省的角度进行易拉罐尺寸的最优化设计，其设计方案为：/? = 32.48mm, /? = 107.18/?™ , 此时使用的原材料最少，为4262.83"“？.对比实测数据易知，将易拉罐简化为圆柱形进 行最优设计所得尺寸与实测数据有一定的差异.3圆台与圆柱组合形易拉罐的最优设计——模型二及模型三3・1模型二的建立：此时易拉罐的中心纵血图见图2,现将易拉罐分成圆柱部分的侧血、圆 台部分的侧面、上底面和下底面四部分，分别计算三部分的川料体积并得出总体积为(注意 到：bYYR,bYYh,由此可得到用料的近似值):柱侧志$顶+V +V=1兀(R + 疔-兀/?2][〃 +(] + 0)方]+ pb兀r1 +h7rR2+ -7ul [(/? + bf +(r + b)2 + (/? + /?)(r + /7)]--ttI(R2 + r2 + Rr)=7rR2b + 7ir2 /3b + 7ib2h + 7tb' + IrcRbh + 2/rRb2 + 7rbl(R + 厂 + b)u 7iR2b + Tir2/3b + 2兀Rbh + 7ilRb + Ttlrb又因为易拉罐的容积U —定，即疋/?2力+£.疋Z (尺2 +尺厂+厂2)= w所以建立如下条件极值优化模型：廿标函数： min V(R,r,h,l)/?>0・ /i>0.r>0,/>0约束条件： 7iR2h + 丄加(F +/?r + r2) = v3图2圆台形纵血图V--^-Z(/?2 + r2 + 7?r)3. 2模型二求解:将力=—2 代入V(R”h,/)得到：/ D 7 7 / D 八\ D壮 2 g 2Z?V 27Tbl(R2 +r2 + Rr)V yR.rJ JiyR.rJjj =兀Rrb + 兀广/3b 7rlb(R + r)R 3R…亠，宀口 zn dV 2兀b(R，+『+ Rr) J z、 Tib ,“ e、『对/求偏吕，得: —— H兀b(R +厂)=—(R — r)(R + 2厂)， 因为dl 3R 3R鈴(R — r)(R + 2r)>0,所以函数V(/?,r,/,/i(/?,r,/))是关于/的增函数，那么，/越大, 所用的材料就越多，因此/ = 0时，即为圆柱形易拉罐时用料最省.3. 3模型二的改进及其求解-模型三结合实际生活中常见的易拉罐，它们的顶部确实加上一个圆台，然而通过这一问的解答, 圆台与圆柱相结合是达不到用材料最少的，我们便考虑到这样的设讣涉及到易拉罐的坚固 性、可使用性及美观性.利用物理知识可以知道，圆柱上加上一定斜率的圆台后能使罐顶达 到一定的机械强度；可使用性指罐顶的半径必须达到一定长才能使人易于扳开拉环；美观程 度可以用直径与高的比与黄金比例间的差距來衡量.根据这三个条件将该模型归结为一个有约束条件的非线性最优化问题.根据实际测量 值，现假设恻台的夹角余切在0.3到0.4之间，丄字丘[().56,0.70](黄金比例为0. 618)，恻咼台的顶盖半径大于24mm .则建立非线性规划模型为：H 标函数： min V(/?,r,/?,Z)/?>0. A>0,r>0,/>07rR2h + -7il(R2 +Rr + r2) = V 3R — r约朿条件:0.3 < <0.4l27?0.56 < ——<0.70h + lR,r,h,l > 0利川MATLAB7. 1最优化工具箱中的fmincon函数求解⑶，求解时要对模型做进一步的约束，结合模型一的结果，我们取：/?>32, r>24, R>r, /?>107, />12.1,规定步 长为 0.01mm ,经过搜索得到一个最优解：R = 33.55mm , r = 28.7\mm , /? = 107.00t?rm ,/ = 12.10/7?m,此时上部是一个正圆台，下部是一个止圆柱体，用料为4471.60m/??3.对比于实际数据和模型一的结果，显然更加接近实际值，这说明我们对模型二的改进是合理的.4基于若干设计原则的新易拉罐的最优设计-模型四4.1模型的建立：在对两种简化后的易拉罐进行最优设计的分析后，我们综合考虑了易拉罐 的形状、手感和观感方血对易拉罐进行亜新设计.从形状来看，罐内装有大量液体，在运输过程中会对罐体壁产生很人的冲力，为了使罐 体受力均匀，故将罐体壁设计成旋转体•同吋为了降低罐底受到的较大压力，将下底而设计 成凸起的形状•再结合球形用材少容积大的好处，我们将圆台设计为半球，即上盖变成了半 球.从手感方血考虑，在成年人中，女性手掌的尺寸一般小于男性，这里我们以女性手掌尺 寸为参考.当大拇指和中指这两个部位的距离达不到易拉罐横切面周长的一半时，则手感不 佳且不易握牢.因此，当成年女性正常握持易拉罐时，其人拇指指尖到中指指尖I'可的恻弧长 度应不小于罐身半周长.从观感來看，将易拉罐底而直径与高的比设置在黄金分割比的附近为佳，此处规定其值 在0. 56到0. 70之间，同时我们还将横截而设计成具有个性的双曲线型.考虑以上各种因素，新设计的易拉罐形状见图3、图4.图4新易拉罐纵闻图图3新易拉罐形状图为减小冲力，罐内需留出少量空间，同时考虑底部有口起的部分，因此将罐体容积设计 成390毫升。
易拉罐的纵而图如图4,设罐体的最小半径为斥，底部和顶部最大半径为罐体底至 故高点高度为h+q .那么图中中心在原点经过点(r>,/?/2),(^0)的双曲线方程为：彳秒"由双曲线旋转得到的体积为 4（彳-彳）心；, . 龙（才一斤2 ”2dy = JlY^h +—匕 ，半球的体积为:712厂2l 3 乙"p 1 '・•・”・"▼■ 1 l 1 3 3 乙据调查，成年人的小指距握线为10厘米，拇指距握线8厘米⑷，所以规定周长最大为36厘米，最小为18厘米，即半径最人为5. 73厘米，最小为2. 86厘米，因为罐体中间最细的部分为人手握住的部分，则有2.86
