流体力学扩散理论.ppt

环境流体力学第四章 扩散理论 4.14.1概述概述，，关心问题：排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布关心问题：排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布理论基础：扩散与输移理论理论基础：扩散与输移理论 传输过程：流体中含有物质，在流场内某处转移至另一处的过程传输过程：流体中含有物质，在流场内某处转移至另一处的过程扩散：流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象扩散：流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象 随流传输：流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程随流传输：流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程离散：剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象离散：剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象   4.2  分子扩散的费克定律，扩散方程分子扩散的费克定律，扩散方程   ——费克第一定律费克第一定律 Q——费克第二定律费克第二定律 积分：积分： M为为t=0时在时在x1=0处的扩散质的数量，这些扩散质沿处的扩散质的数量，这些扩散质沿x1方向方向扩散表示浓度扩散表示浓度c沿沿x1分布规律，按指数规律急剧衰减分布规律，按指数规律急剧衰减 4.3分子扩散的随机游动分析分子扩散的随机游动分析 自由程：一个分子在两次碰撞之间的运动距离；自由程：一个分子在两次碰撞之间的运动距离；假设分子的自由程为一固定值假设分子的自由程为一固定值l，其运动平行于，其运动平行于x1方向；方向；每个分子沿正每个分子沿正x1方向运动和沿负方向运动和沿负x1方向运动的概率相等；方向运动的概率相等；出现正号的次数为出现正号的次数为p，出现负号的次数为，出现负号的次数为q；；               p+q=N，，p-q=S，，    p=(N+S)/2=N(1+S/N)/2，，q=(N+S)/2=N(1+S/N)/2经过经过N次运动，分子向前运动的距离为次运动，分子向前运动的距离为Sl，这种情况的概率：，这种情况的概率：p=[N!/(p!q!)]/2N：：分子运动分子运动N是个大数，是个大数，S《《N，有：，有：lnn!=(n+1/2)lnn-n+ln2π/2 令令a表示分子运动速度，表示分子运动速度，t为分子运动为分子运动N次经历的时间；次经历的时间；N=at/l，，Sl=x1与与                                           比较，比较，Dm=la/2=Nl2/(2t)  ——以以Dm表示的分子在表示的分子在N次运动后到达次运动后到达x1处的概率处的概率 求在求在t时刻分子位于时刻分子位于x1与与x1+δx1之间的概率之间的概率δP，分子到达，分子到达x1后，后，下一步仍有下一步仍有1/2机会前进，机会前进，1/2机会后退，每一步距离为机会后退，每一步距离为l，下一，下一步在步在x1与与x1+δx1的范围的机会为的范围的机会为(1/2)(δx1/l)，则：，则： 分子沿分子沿x1作随机运动其概率密度作随机运动其概率密度(δP/δx1) 符合正态分布符合正态分布 标准差：标准差： 平均值：平均值： 方差：方差： 随机游动分析与从费克扩散理论的结果基本一致。

随机游动分析与从费克扩散理论的结果基本一致 4.4移流（层流）扩散方程移流（层流）扩散方程 流动流体除了分子扩散还有随流传输流动流体除了分子扩散还有随流传输 cuzyx流入扩散质流入扩散质cudydzdt，扩散量，扩散量流出扩散质流出扩散质dydzdt，扩散量，扩散量进出量之差：进出量之差： 在在dt时间段微元体扩散质的增加量：时间段微元体扩散质的增加量： 由于生物、化学等各种因素，扩散质的发生率由于生物、化学等各种因素，扩散质的发生率Fc，质量守恒：，质量守恒：或或 ——移流扩散方程移流扩散方程 左边第一项是当地变化，第二项是移流变化；左边第一项是当地变化，第二项是移流变化；右边第一项是分子扩散，第二项是产生或衰减的源汇项右边第一项是分子扩散，第二项是产生或衰减的源汇项 4.5紊动扩散紊动扩散——拉格朗日法拉格朗日法 4.5.1单个质点的紊动扩散单个质点的紊动扩散——泰勒扩散理论泰勒扩散理论 设标志质点在设标志质点在y2方向的流速为方向的流速为v2（（2表示拉格朗日流速）表示拉格朗日流速）假定紊流场在时间和空间是均匀的，只沿假定紊流场在时间和空间是均匀的，只沿y方向一维扩散方向一维扩散取取Y2 (0)点为原点，点为原点，v2 (t)是随机变量，则是随机变量，则Y2 (t)的统计平均值的统计平均值 每一质点取两个时刻的流速的乘积来平均每一质点取两个时刻的流速的乘积来平均 tt”t’tdtt’t’左边是距形微元从左边是距形微元从0到到t的积分，是一正方形的积分，是一正方形的两个流速的乘积对许多质点的平均值的两个流速的乘积对许多质点的平均值 右边积分是个三角形右边积分是个三角形,左边是右边的左边是右边的2倍倍  的意义是同一质点在时间差为的意义是同一质点在时间差为拉格朗日自相关数：拉格朗日自相关数： 有两种极端情况有两种极端情况 （（1 1）扩散时间很短）扩散时间很短 很小，很小，,,在扩散初期，扩散的发展与时间在扩散初期，扩散的发展与时间t成正比。

成正比2）扩散时间很长）扩散时间很长 达到某一时刻达到某一时刻t*后，可认为已无相关，后，可认为已无相关，即即t=t*时，时，RL(τ) ≈0，当，当t》》t*时，时， 当当t很大时，忽略右边第二项，令：很大时，忽略右边第二项，令： ——拉格朗日积分时间比尺拉格朗日积分时间比尺 或或 在扩散发展很久之后，扩散的发展与在扩散发展很久之后，扩散的发展与       成正比 紊动扩散系数：紊动扩散系数： ——拉格朗日扩散长度比尺拉格朗日扩散长度比尺在在t》》TL后，紊动质点运动为随机运动，后，紊动质点运动为随机运动，紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律 4.5.2两质点的相对扩散两质点的相对扩散        有些问题还需要研究质点间相对位置关系如两点间距有些问题还需要研究质点间相对位置关系如两点间距大于紊动的长度积分比尺，则两点将各自独立游动，互不影大于紊动的长度积分比尺，则两点将各自独立游动，互不影响，如小于紊动的长度积分比尺，将受到部分紊动的影响响，如小于紊动的长度积分比尺，将受到部分紊动的影响        设两质点设两质点α和和β的速度为的速度为vα和和vβ，相对速度，相对速度w= vα-vβ，，各自位移为各自位移为     和和       ,相对位移相对位移 :相对扩散距离的均方值：相对扩散距离的均方值： ——s两点间距长度两点间距长度 相对扩散系数：相对扩散系数： （（a）） 相对扩散速度：相对扩散速度： 变换：变换： 改写：改写： 从（从（a）得：）得： 或或 （（1）扩散时间）扩散时间t很短很短 认为质点流速不变，保持认为质点流速不变，保持t0时的值，时的值， 相对流速的相关相对流速的相关 等于常数，等于常数， 常数常数A1与与s0的大小有关：的大小有关： （（1）当）当s0<——柯尔莫戈罗夫紊动比尺柯尔莫戈罗夫紊动比尺 可认为紊动具有局部各向同性的性质，可认为紊动具有局部各向同性的性质， （（2）当）当s0》》 设设Re大到足以有惯性小区的存在，认为紊动只取决于大到足以有惯性小区的存在，认为紊动只取决于（（2）扩散时间）扩散时间t不短不短 当当t增大到质点的运动已失去历史的影响时，增大到质点的运动已失去历史的影响时，s0已没有已没有影响，同时认为还在惯性小区，影响因素只有影响，同时认为还在惯性小区，影响因素只有 有有扩散速率按扩散速率按t1/2加速增大加速增大——相对扩散的相对扩散的4/3次方定律次方定律 （（3）扩散时间）扩散时间t很长很长当当s很大，超过大尺度紊动范围，两点运动互不相关。

很大，超过大尺度紊动范围，两点运动互不相关 两点相对位移的均方值等于单个质点位移均方值的两点相对位移的均方值等于单个质点位移均方值的2倍 当当t很大时很大时结果：在各扩散阶段中，两个质点互相分开速度由不变结果：在各扩散阶段中，两个质点互相分开速度由不变而按而按t1/2增大，随后又按增大，随后又按t-1/2降低降低 例：设在一均匀紊流内，在原点投入许多示踪质粒子，量测例：设在一均匀紊流内，在原点投入许多示踪质粒子，量测不同时刻粒子的横向位移不同时刻粒子的横向位移Y，，Y2的统计值的统计值    及通过原点后及通过原点后的时间的时间t的数值试绘出的数值试绘出     ~t的关系曲线，据以推算紊动的关系曲线，据以推算紊动扩散系数扩散系数Dr同时计算同时计算     及扩散长度比尺及扩散长度比尺ΛL t(s)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0(10-4m2)0.060.230.530.931.442.002.593.193.784.38(10-2m)0.240.480.730.971.201.411.611.781.942.05t(s)4325100.20.40.60.81.0t(s)0.20.40.60.81.01.212曲线验证了单个质点紊动扩散不同阶段的规律。

当曲线验证了单个质点紊动扩散不同阶段的规律当t>0.7s，线性关系良好线性关系良好由图由图b曲线扩散初期的线性关系：曲线扩散初期的线性关系： 扩散长度比尺：扩散长度比尺： 4.6紊动扩散紊动扩散——欧拉法欧拉法4.6.1紊流扩散方程紊流扩散方程溶质浓度：溶质浓度：c=c(x1,x2,x3,t)层流移流扩散方程：层流移流扩散方程： ——紊流扩散方程紊流扩散方程            的物理意义：紊流中通过分别正交于的物理意义：紊流中通过分别正交于xi轴的单位面轴的单位面积在单位时间内传输的紊动扩散量积在单位时间内传输的紊动扩散量 ——欧拉型紊流扩散方程欧拉型紊流扩散方程 简化：简化： 当当i≠j时，时，Dij=0，， 4.6.2紊动扩散系数紊动扩散系数 设扩散质沿设扩散质沿x2方向，通过单位面积单位时间扩散质方向，通过单位面积单位时间扩散质γ数量数量t0为质点经过该单位面积的时刻；为质点经过该单位面积的时刻； t为从开始扩散算的扩散时间；为从开始扩散算的扩散时间； cγ(t0,t)为扩散质浓度为扩散质浓度 在在t时间内质点流动距离为时间内质点流动距离为Y2，由混合长度概念：，由混合长度概念： 质点流速：质点流速： 由费克定律：由费克定律： 1.当扩散时间较短，当扩散时间较短，R(τ)是时间函数，是时间函数，Dγ也随时间变化。

也随时间变化 讨论讨论:2.当扩散时间很长：当扩散时间很长： 当扩散时间较长时，当扩散时间较长时，Dγ与与ΛL成正比 3.ΛL是一个长度积分比尺，是衡量大尺度紊动的参数是一个长度积分比尺，是衡量大尺度紊动的参数 可见，紊动扩散系数可见，紊动扩散系数Dγ主要取决于大尺度的旋涡运动主要取决于大尺度的旋涡运动 4.7关于扩散方程的求解关于扩散方程的求解 （（1）在静止或均匀流动中的扩散）在静止或均匀流动中的扩散 扩散方程可从一个固定点瞬时放入或连续放入扩散质，扩散方程可从一个固定点瞬时放入或连续放入扩散质，求得一维、二维和三维解析解求得一维、二维和三维解析解 （（2）剪切流中的一维纵向离散）剪切流中的一维纵向离散采用过流断面上的平均流速和平均浓度计算，求得断面采用过流断面上的平均流速和平均浓度计算，求得断面平均浓度沿纵向的分布平均浓度沿纵向的分布 （（3）剪切流中的二维离散）剪切流中的二维离散 （（4）数值求解）数值求解 （（5）物理模型）物理模型 4.8静止流体中瞬时源和连续源的扩散静止流体中瞬时源和连续源的扩散 4.8.1瞬时源的扩散瞬时源的扩散 (1)集中投入的情况集中投入的情况 在在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为时刻，在原点瞬时投入质量为M的扩散质，的扩散质，分析分析t时刻在无界空间浓度分布。

时刻在无界空间浓度分布 一维分子扩散方程：一维分子扩散方程： 数学求解：量纲分析法数学求解：量纲分析法 浓度浓度c(x1,t) 是是M,x1,t,Dm的函数，与的函数，与M成正比 扩散系数扩散系数Dm的量钢为的量钢为[L2/T] ，选用，选用Dmt为特性长度为特性长度  令：令： 代入：代入：  通解为：通解为： 质量守恒质量守恒 积分积分:  c0=1 基本解基本解: 结果：浓度结果：浓度c沿沿x1轴的分布是正态分布轴的分布是正态分布二维扩散：二维扩散： 令令c(x1,x2,t)=c1(x1,t)c2(x2,t) 上式只有当两个括号的量分别等于零才能满足，即上式只有当两个括号的量分别等于零才能满足，即c1和和c2应满足瞬时源一维扩散的解应满足瞬时源一维扩散的解   扩散总质量：扩散总质量： 基本解基本解 ：：(2)空间上分布投入的情况空间上分布投入的情况 可考虑为若干个瞬时源的叠加，按叠加原理求解可考虑为若干个瞬时源的叠加，按叠加原理求解 设沿设沿x1轴上在轴上在x1=ξ处处dξ上面源的强度：上面源的强度：M(ξ)=f(ξ)dξ ξdξabf(ξ)起始时起始时 ：：c(x1,0)=f(ξ)，，a≤x1≤b，， 扩散作用叠加后，经时间扩散作用叠加后，经时间t在在x1处的浓度：处的浓度： 对于一阶函数，对于一阶函数，t=0时，时，f(ξ)=0(x1<0);  f(ξ)= c0(x1≥0) 变换后：变换后： 误差函数：误差函数： 性质：性质： erf(-z)=-erf(z)；；erf(0)=0；；erf(∞)=1 起始台阶函数起始台阶函数1-3-2-123起始为台阶形分布的瞬时源的扩散起始为台阶形分布的瞬时源的扩散 表：表： 误差函数及正态分布的积分误差函数及正态分布的积分 0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.21.41.61.82.02.53.04.0∞0.00.11290.22270.32860.42840.52050.63090.67780.74210.79690.84270.91030.95230.97630.98910.99530.99960.999981.00000.00.03980.07930.11970.15540.19150.22570.25800.28810.31590.34130.38490.41920.44520.46410.47730.49380.49870.499960.50004.8.2连续源的扩散连续源的扩散        连续源是指在时间上的连续扩散，即从某时刻连续源是指在时间上的连续扩散，即从某时刻t=0开始，开始，在某处连续加入扩散质，求以后任何时刻空间中扩散值的浓度在某处连续加入扩散质，求以后任何时刻空间中扩散值的浓度分布。

分布 设扩散源于原点设扩散源于原点x1=0,当当t=0,沿沿x1=0处浓度在瞬间突然升高为处浓度在瞬间突然升高为C0 从量纲分析出发，设从量纲分析出发，设 代入扩散方程，变换为一常微分方程代入扩散方程，变换为一常微分方程 边界条件为边界条件为f(0)=1,f(∞)=0 因因C(-x1,t)=c(x1,t),可只沿可只沿+x1轴求解，得轴求解，得 给定连续加入的扩散的量给定连续加入的扩散的量 ，而且是变化的，可以看作无数不，而且是变化的，可以看作无数不同的强度的瞬时源产生的时间上叠加的结果，然后进行零到同的强度的瞬时源产生的时间上叠加的结果，然后进行零到t 的时间积分的时间积分 设在时间微时段加入的扩散质为如图所示，则经历（设在时间微时段加入的扩散质为如图所示，则经历（t-     ）时）时间扩散的产生的浓度为间扩散的产生的浓度为  连续源分布在沿连续源分布在沿x1轴一定范围轴一定范围a≤x1≤b内内于时刻于时刻    在在d    时间内加入的扩散质的量为时间内加入的扩散质的量为                          ，一维扩散时间经时间（，一维扩散时间经时间（t-    ）在）在x1处的浓度为处的浓度为   对于连续源的二维、三维扩散，原则上也可按上述方法看作对于连续源的二维、三维扩散，原则上也可按上述方法看作无数个相应瞬时源扩散的叠加，用相应瞬时源的浓度分布公无数个相应瞬时源扩散的叠加，用相应瞬时源的浓度分布公式进行时间积分计算。

式进行时间积分计算 等强度连续点源的三维扩散等强度连续点源的三维扩散 瞬时点源扩散瞬时点源扩散 在静止流体中各向同性扩散情况，在静止流体中各向同性扩散情况，D1=D2=D3=Dm于时刻于时刻    在在d    时间内加入的扩散质的量为时间内加入的扩散质的量为m       ，经，经历（历（t-    ）时间在）时间在r处的浓度为处的浓度为 从起始到从起始到t时间在位置时间在位置r产生的浓度为上式的时间积分产生的浓度为上式的时间积分 4.9 均匀紊乱中的扩散均匀紊乱中的扩散 代入代入: 单向的均匀流动中，即各处流速均匀单向的均匀流动中，即各处流速均匀u1=U,u2=u3=0 设设: 得得: 4.9.1均匀紊流中顺时源扩散的浓度分布均匀紊流中顺时源扩散的浓度分布 1.瞬时（面）源的一维扩散瞬时（面）源的一维扩散 浓度解浓度解: 2.瞬时（线）源的二维扩散瞬时（线）源的二维扩散 浓度解浓度解: 3.瞬时（点）源的三维扩散瞬时（点）源的三维扩散 浓度解浓度解: 4.9.2均匀紊流中连续源扩散的浓度分布均匀紊流中连续源扩散的浓度分布 1.连续源的一维扩散连续源的一维扩散 浓度解浓度解: 2.连续源的三维扩散连续源的三维扩散 转换为三维浓度时转换为三维浓度时 3.连续源的二维扩散连续源的二维扩散 4.连续源的非稳定扩散连续源的非稳定扩散 4.10 有边界反射的扩散有边界反射的扩散 4.10.1 固定边界的反射固定边界的反射 4.10.2 大气中扩散的逆温层反射大气中扩散的逆温层反射 U 大大气气混混合层合层逆温层逆温层虚拟源虚拟源实际源实际源虚拟源虚拟源地面地面HLX1在在x1,x3立面的上产生的浓度为立面的上产生的浓度为 两种作用综合结果两种作用综合结果 式中式中t=x1/U。

取取n=0,±0, ±1, ±2计算已足够精确计算已足够精确求地面浓度时取求地面浓度时取x3=0代入即得代入即得 例题例题: 在室内水槽进行扩散试验，设水槽右端为封闭，左在室内水槽进行扩散试验，设水槽右端为封闭，左端很长在水槽具右端端很长在水槽具右端10m的断面的断面A-A以平面源方式瞬时以平面源方式瞬时投放示踪剂计算投放后投放示踪剂计算投放后10分钟在距右端分钟在距右端5m的的B-B断面断面及在及在A-A断面左边断面左边10m的的C-C断面上的示踪剂浓度投放断面上的示踪剂浓度投放量量M=1kg/m2已知扩散系数为已知扩散系数为200cm2/s计算中要考计算中要考虑右端边界反射若不计边界反射，虑右端边界反射若不计边界反射，B-B断面及断面及C-C断面断面浓度又为多少？浓度又为多少？ [解解]Dt=200cm2/s=1.2m2/min (1)考虑右端的反射作用，浓度计算式为考虑右端的反射作用，浓度计算式为右端边界距投放源右端边界距投放源L=10mB-B断面断面x=5mC-C断面断面 x=-10m(2)若不考虑边界的反射作用，浓度计算式为若不考虑边界的反射作用，浓度计算式为 B-B断面断面C-C断面断面 例题例题:某平直均匀河段，宽某平直均匀河段，宽W=60m，深，深h=3m，流量，流量QR=140m3/s。

污水出口在河中心，其流量污水出口在河中心，其流量Qp=0.7m3/s,浓度浓度c0=500ppm,河宽远大于水深，污染源近似看作连续集中线河宽远大于水深，污染源近似看作连续集中线源，设横向扩散系数源，设横向扩散系数Dty为为0.054m2/s试求：（（1）以）以c(x,b)=0.05c(x,o)来定义污水场宽来定义污水场宽b(x)的表达式；的表达式；（（2）当）当b=W/2时的距离时的距离x值即此处的最大浓度值即此处的最大浓度cmax;（（3）若污染源在岸边，将如何变化？）若污染源在岸边，将如何变化？[解解]已知河宽已知河宽W=60m,水深水深h=3m，河流流量，河流流量Qr=140m3/s,设设为均匀紊流，则流速为均匀紊流，则流速U=Qr/A=140/(3*60)=0.78m/s 污水河流污水河流Qp=0.7m3/s,浓度浓度c0=500ppm 横向扩散系数横向扩散系数Dty=0.054m2/s 看作垂向连续集中线源，其二维扩散的浓度分布表达式看作垂向连续集中线源，其二维扩散的浓度分布表达式 现现x1=x,x2=y,D=Dty,上式写为上式写为 考虑两边边界一次反射考虑两边边界一次反射 (1)以以c(x,b)=0.05c(x,0)定义污水宽度定义污水宽度b(x) （（B））当当x较小时，较小时，b也小，上式两边可取第一项，上式简化为也小，上式两边可取第一项，上式简化为 实际反射的影响很小，可忽略实际反射的影响很小，可忽略. （（2）当）当b→W/2=30m, 上式右边仍取上式右边仍取0.05；左边第二；左边第二项很小可略去，第三项中项很小可略去，第三项中b-60≈30≈b 左边左边≈ 可得可得 当当b=30m 在（在（B）式右边只取第一项，并考虑）式右边只取第一项，并考虑y=0时时 （（3）若源在岸边，要考虑边岸反射映像法相当于在该处）若源在岸边，要考虑边岸反射映像法相当于在该处加设一虚拟源，二源叠加后扩散情况和（加设一虚拟源，二源叠加后扩散情况和（1）相同，但源）相同，但源强为强为2     。

b(x)的隐函数形势仍相同，简化式也相同的隐函数形势仍相同，简化式也相同但扩散至岸完全混合时但扩散至岸完全混合时b=60m有简化式有简化式                  计算得到距离计算得到距离=3530m 与（与（2）的情况相同的情况相同 谢谢 谢！谢！。