高数-微分方程总结.ppt

基本概念,一阶方程,,类 型,,1.直接积分法,,2.可分离变量,,3.齐次方程,,4.全微分方程,,5.线性方程,可降阶方程,线性方程,,解的结构,,二阶常系数线性,,方程解的结构,特征方程的根,,及其对应项,f(x),的形式及其,,特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,6.伯努利方程,1,,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程,,非变量可分离,降阶,作变换,作变换,2,,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,1、一阶微分方程的解法,(2) 齐次方程,解法,作变量代换,,3,,(3) 一阶线性微分方程,上方程称为齐次的．,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,,4,,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,伯努利(,Bernoulli),方程,方程为线性微分方程.,,方程为非线性微分方程.,,5,,解法,需经过变量代换化为线性微分方程．,其中,形如,(4) 全微分方程,,6,,注意：,解法,, 用直接凑,全微分的方法.,通解为,,7,,(7) 可化为全微分方程,形如,,8,,,公式法:,,观察法:,熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．,,9,,常见的全微分表达式,可选用积分因子,,10,,3、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分,n,次，得通解．,型,解法,代入原方程, 得,,11,,特点,型,解法,代入原方程, 得,４、线性微分方程解的结构,（1）　二阶齐次方程解的结构:,,12,,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,,13,,,14,,５、二阶常系数齐次线性方程解法,n,阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,,15,,特征方程为,,16,,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,推广：,,阶常系数齐次线性方程解法,,17,,６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法,,待定系数法,.,,18,,,19,,7、欧拉方程,欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换,,可化为常系数微分方程.,的方程(其中,形如,叫,欧拉方程,.,为常数)，,,20,,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时, 常用幂级数解法.,8、幂级数解法,,21,,二、典型例题,例1,解,原方程可化为,22,,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,23,,例2,解,原式可化为,原式变为,对应齐方通解为,一阶线性非齐方程,伯努利方程,24,,代入非齐方程得,原方程的通解为,利用常数变易法,25,,例3,解,方程为全微分方程.,26,,(,1) 利用原函数法求解:,故方程的通解为,27,,(,2) 利用分项组合法求解:,原方程重新组合为,故方程的通解为,28,,(,3) 利用曲线积分求解:,故方程的通解为,29,,例4,解,非全微分方程.,利用积分因子法:,原方程重新组合为,30,,故方程的通解为,31,,例5,解,代入方程，得,故方程的通解为,32,,例6,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,33,,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,34,,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,35,,例７,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,36,,由,解得,37,,故原方程的通解为,由,即,38,,例８,解,（,１）　由题设可得：,解此方程组，得,39,,（,２）　原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,40,,解,例９,这是一个欧拉方程．,代入原方程得,(,1),41,,和(1)对应的齐次方程为,(,2),(2)的特征方程为,特征根为,(2)的通解为,设(1)的特解为,42,,得(1)的通解为,故原方程的通解为,43,,解,例,10,则由牛顿第二定律得,44,,解此方程得,代入上式得,45,,测 验 题,46,,47,,48,,49,,50,,51,,52,,53,,测验题答案,54,,55,,。