最短路径问题与平面直角坐标系.doc

最短路径问题与平面直角坐标系教学目标：（一） 知识与技能1、 能利用轴对称变换将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” （或“三角形 两边之和大于第三边”）的问题2、 能在平面直角坐标系中作出图形，并通过逻辑推理证明所求平面直角坐标系中点的 坐标二） 过程与方法通过平面直角坐标系与最短路径问题结合，培养归纳能力、表达能力、逻辑推理能力， 并通过对知识、方法的总结，培养反思习惯三） 情感与态度通过交流与探究，解决问题，获得成功的体验，培养协作精神，进一步激发探究的积 极性和学习数学的兴趣及应用数学解决实际问题的能力教学重点：最短路径问题与平面直角坐标系综合教学难点：正确作出图形，并会根据图形特点求出点的坐标教学方法：以最短路径和平面直角坐标系为基础，引导学生合作、交流、自主探究教学准备：几何画板教学过程：一、 复习1、 点A（m, n）关于x轴对称点B为（，），点A关于y轴对称点C为（ ， ）2、 点A（ 2，5）与B点关于直线x =3成轴对称，则点 B的坐标为（ ， ）3、 已知：如图，点A, B在直线I的同侧，在直线I上求一点C,使CA+CB勺和最小BA■二、 习题讲练 g例1：已知，在平面直角坐标系中，点 A （1，3），点B （5，1），在x轴上找一点C ,使AC + BC最小，求C点的坐标。

分析：此题先要求学生在平面直角坐标系中作出两点 A, B,然后作出A点关于x轴对称点D,连接DB与x轴交点即为所求点 C接下来思考怎么求点 C的坐标，用面 积法去求教师示范过程变式训练一：若改为在y轴上求点C,使AC + BC最小，求C点的坐标 说明：这样可以巩固刚才所讲的知识，一是考察学生对最短路径，二是考察学生运算能 力变式训练二：若改为在直线y = - 2 上求一点C，使AC + BC最小，求C点的坐标例2:如图，在平面直角坐标系中， / AOB= 30°,P ( 5, 0), 在OB找一点 M 在0A上找一点汕使厶PMN周长最小，并 求出△ PMN周长的值分析：分别作出 P点关于OB与OA的对称点，连接对称点 相交OB与OA分别于MN,再想办法证明周长等于 OP的长例3:在平面直角坐标系中，点 A (2 , 3)，点B (4, 6),在x轴上找一点P,使| AP - BP|最大？并求出 P点？拓展：1、若x轴改为y轴呢？2、在平面直角坐标系中，点 A (4 , 2)，点B (10, 4),在x轴上找一点P, 使| AP - BP|最小？并求出 P点？例4：在平面直角坐标系，点 A (1 , 5)，点B (6,-1 ),点M(a, 3)，点N (a, 1)当a 为多少时， AM + MN +NB最小？分析：此题是课本中在河上修桥的问题经过和平面直角坐标系综合题，其中点 M和N实际上相当于河流上的桥，此题的难度较高，可以让学生先作图，再求 a的值小结：注意最短路径问题与平面直角坐标系结合，先要作出正确的图形，然后运用面积 或者全等的方法求出点的坐标，作业1、 已知，在平面直角坐标系中， A (-4 , 3)、B(3,1),在直线y = 4上找一点P,使AP+BP最小，求出此时 P点的坐标。

2、 在平面直角坐标系中，点 A (1, 1),点B (7, 3) , x轴上两点P(a , 0),Q( a + 2 , 0),若四边形 APQB的周长最短，求 a的值。