概率论与数理统计知识总结之第一章.doc

第一章 概率论的基本概念拟定性现象：在一定条件下必然发生的现象随机现象：在个别实验中其成果呈现出不拟定性，在大量反复实验中其成果又具有记录规律性的现象随机实验:具有下述三个特点的实验:1. 可以在相似的条件下反复地进行2. 每次实验的也许成果不止一种，且能事先明的确验的所有也许成果3. 进行一次实验之前不能拟定哪一种成果会浮现样本空间:将随机实验E的所有也许浮现的成果构成的集合称为E的样本空间，记为S样本点:样本空间的元素，即E的每个成果,称为样本点样本空间的元素是由实验的目的所拟定的随机事件:一般,我们称实验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件在每次实验中,当且仅当这一子集中的一种样本点浮现时,称这一事件发生基本领件:由一种样本点构成的单点集，称为基本领件必然事件:样本空间S涉及所有的样本点，它是S自身的子集,在每次实验中它总是发生的，称为必然事件不也许事件：空集不涉及任何样本点,它也作为样本空间的子集，在每次实验中，称为不也许事件事件间的关系与运算:设实验E的样本空间为Ｓ，而A，B,(ｋ=1，2,…)是S的子集1. 若,则称事件B涉及事件A,这指的是事件A发生必然导致事件B发生。

　 若且,即A=B,则称事件A与事件B相等2. 事件｜或称为事件A与事件Ｂ的和事件当且仅当Ａ,Ｂ中至少有一种发生时,事件发生　 类似地,称为事件…的和事件；称为可列个事件…的和事件3. 事件=|且称为事件Ａ与事件Ｂ的积事件当且仅当Ａ,B同步发生时，事件发生记作AＢ 类似地，称为ｎ个事件…的积事件;称为可列个事件…的积事件4. 事件｜且称为事件A与事件Ｂ的差事件当且仅当A发生、B不发生时事件发生5. 若,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的这指的是事件A与事件Ｂ不能同步发生基本领件是两两互不相容的6. 若且,则称事件A与事件B互为逆事件又称事件Ａ与事件B互为对立事件这指的是对每次实验而言,事件A,B中必有一种发生Ａ的对立事件.设为事件，则有互换律：结合律：分派律：德·摩根律:频率与概率频率:在相似的条件下,进行了ｎ次实验，在这ｎ次实验中，事件A发生的次数,称为事件A发生的频数，比值/n称为事件A发生的频率，并记成频率的基本性质：1.０≦≦１2. ＝13. 若…是两两互不相容的事件，则 (…)=()+…+(）概率:设E是随机实验，Ｓ是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一种实数，记为P(A),称为事件Ａ的概率,如果集合函数P(·)满足下列条件：1. 非负性2. 规范性：对于必然事件Ｓ，有P(S)=13. 可列可加性:P（…）＝P（）＋P()+…概率的性质:1. P（）=02. (有限可加性)若,,…是两两互不相容的事件，则有 P(…）＝P(）+P(）+…+P()3. 设A,B是两个事件，若，则有 Ｐ（B-A)=P(B)-P(Ａ),Ｐ(B)≥P（Ａ）4. 对于任一事件A,P(A)≤15. 对于任一事件A，有=１-P（A)6. 对于任意两事件A，B有P()＝P(Ａ)+P（B)－P(AB) 　一般地,对于任意ｎ个事件…，可以用归纳法得出　　P(…）＝-++…+等也许概型(古典概型）定义:具有如下两个特点的实验称为等也许概型：1. 实验的样本空间只包具有限个元素2. 实验中每个基本领件发生的也许性相似事件概率计算公式：若事件A涉及k个基本领件，即AP(A）＝==（A涉及的基本领件数)/(S中基本领件的总数）实际推断原理:人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中事实上几乎是不发生的”条件概率事件A已发生的条件下事件B发生的概率设A，Ｂ是两个事件,且Ｐ(A）>0,称P(B|A)＝P(AB)／P(A)为在事件Ａ发生的条件下事件B发生的条件概率．条件概率P（·｜A)的性质：1. 非负性：P(B|Ａ)≥０2. 规范性:对于必然事件S，有P(Ｓ|A)=13. 可列可加性：设…是两两互不相容的事件，则有　 ｜｜对于任意事件B,C,有P(Ｂ∪Ｃ｜Ａ)=P（B｜Ａ）+P(C｜A)-Ｐ(BC|A)乘法定理:设P(A）>0，则有P（AB)=Ｐ（B|Ａ)P(A)一般,设…为n个事件，n≥２,且>0,则有｜｜｜划分:设S为实验E的样本空间,为Ｅ的一组事件，若1.2. ,则称为样本空间Ｓ的一种划分全概率公式：设实验Ｅ的样本空间为S，A为Ｅ的事件，为S的一种划分,且,则｜｜|贝叶斯公式：设实验E的样本空间为Ｓ，Ａ为E的事件，为Ｓ的一种划分，且P(A）＞0，,则｜｜/|先验概率:根据以往数据分析得到的概率后验概率:在得到信息之后再重新加以修正的概率独立性：设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(Ａ)Ｐ（B),则称事件Ａ,B互相独立,简称Ａ,B独立定理一：设A,Ｂ是两事件,且P(Ａ)>０，若A，B互相独立，则P(B|A)＝Ｐ(Ｂ),反之亦然。

定理二：若事件Ａ与B互相独立，则下列各对事件也互相独立:A与,与B,与设A，Ｂ,Ｃ是三个事件,如果满足等式:则称事件A,Ｂ，C互相独立一般,设…是n（n≥2)个事件，如果对于其中任意2个,任意３个，……，任意n个事件的积事件的概率,都等于各事件概率之积，则称事件…互相独立推论:1. 若事件…（n≥2)互相独立，则其中任意k（２≤ｋ≤ｎ)个事件也是互相独立;2. 若n个事件…(ｎ≥2)互相独立,则将…中任意多种事件换成它们的对立事件,所得的n各事件仍互相独立(1)排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的也许数 　从m个人中挑出ｎ个人进行组合的也许数（２）加法和乘法原理加法原理（两种措施均能完毕此事）:ｍ+n某件事由两种措施来完毕，第一种措施可由m种措施完毕，第二种措施可由ｎ种措施来完毕，则这件事可由m+n 种措施来完毕乘法原理(两个环节分别不能完毕这件事)：m×n某件事由两个环节来完毕，第一种环节可由m种措施完毕，第二个环节可由ｎ　种措施来完毕,则这件事可由ｍ×n　种措施来完毕3）某些常用排列反复排列和非反复排列（有序）对立事件（至少有一种）顺序问题（４)随机实验和随机事件如果一种实验在相似条件下可以反复进行，而每次实验的也许成果不止一种，但在进行一次实验之前却不能断言它浮现哪个成果,则称这种实验为随机实验。

实验的也许成果称为随机事件5）基本领件、样本空间和事件在一种实验下,不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次实验，必须发生且只能发生这一组中的一种事件;②任何事件,都是由这一组中的部分事件构成的这样一组事件中的每一种事件称为基本领件,用来表达基本领件的全体，称为实验的样本空间，用表达一种事件就是由中的部分点（基本领件)构成的集合一般用大写字母A，B，C，…表达事件，它们是的子集为必然事件,Ø为不也许事件不也许事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不也许事件；同理,必然事件(Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的构成部分也是事件B的构成部分，（A发生必有事件B发生)：如果同步有，,则称事件Ａ与事件B等价，或称Ａ等于B：A＝ＢA、B中至少有一种发生的事件：ＡＢ,或者A＋B属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A－B,也可表达为A-AB或者，它表达A发生而B不发生的事件A、B同步发生：AＢ，或者AＢAＢ=Ø,则表达Ａ与B不也许同步发生,称事件A与事件Ｂ互不相容或者互斥基本领件是互不相容的。

Ａ称为事件A的逆事件，或称A的对立事件,记为它表达A不发生的事件互斥未必对立②运算： 结合率：A(BC)=(ＡＢ)C　 Ａ∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分派率：（AB)∪C=(Ａ∪C)∩(B∪C)　 （A∪B)∩Ｃ=(ＡC）∪(BC)　德摩根率: ，（7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件,对每一种事件均有一种实数P(A），若满足下列三个条件:1° 0≤P(Ａ)≤1, 2° P(Ω） =13°　对于两两互不相容的事件,,…有常称为可列（完全）可加性则称P(A)为事件的概率８)古典概型1° ,２°　设任一事件,它是由构成的，则有P(A)＝ =(9)几何概型若随机实验的成果为无限不可数并且每个成果浮现的也许性均匀,同步样本空间中的每一种基本领件可以使用一种有界区域来描述,则称此随机实验为几何概型对任一事件Ａ，其中L为几何度量(长度、面积、体积）10）加法公式P(A＋Ｂ)=P（A）+P(B）-P(AB）当P(AB)＝0时，Ｐ（Ａ＋Ｂ)＝Ｐ（Ａ）＋P(B)（１１）减法公式P(A-B)＝P(A)-P(AB）当ＢA时，Ｐ(Ａ-B）＝P(A）-P(B)当Ａ=Ω时，P(）＝１- P(B)(１2）条件概率定义　设A、Ｂ是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件Ｂ发生的条件概率，记为。

条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率例如P(Ω／B）＝1P(/A）＝1－Ｐ(B/A)(13)乘法公式乘法公式:更一般地,对事件A1，A2,…An,若P(A1Ａ2…Aｎ-１）>0,则有…………１4）独立性①两个事件的独立性设事件、满足,则称事件、是互相独立的若事件、互相独立,且,则有若事件、互相独立,则可得到与、与、与也都互相独立必然事件和不也许事件Ø与任何事件都互相独立Ø与任何事件都互斥②多种事件的独立性设ＡBC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P（AB）=P（A)P(B)；P(BC)＝P(B）P(C);P(CA)＝P(C)P(Ａ)并且同步满足P(ABC）=P(A)P(B)P(Ｃ)那么A、B、C互相独立对于n个事件类似１5）全概公式设事件满足1°两两互不相容,,2°, （分类讨论的则有16）贝叶斯公式设事件，，…，及满足1° ，，…,两两互不相容,>0，1,2，…，,2° ,，（已经懂得成果 求因素则，i=1，２,…n此公式即为贝叶斯公式…,）,一般叫先验概率…,），一般称为后验概率贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断17）伯努利概型我们作了次实验,且满足7. 每次实验只有两种也许成果,发生或不发生；8. 次实验是反复进行的，即发生的概率每次均同样；9. 每次实验是独立的，即每次实验发生与否与其她次实验发生与否是互不影响的。

这种实验称为伯努利概型,或称为重伯努利实验用表达每次实验发生的概率,则发生的概率为,用表达重伯努利实验中浮现次的概率,,。