矩阵分析估计矩阵特征根的辐角范围.doc
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重庆邮电大学研究生堂下考试答卷2013-2014学年第一学期课程科目矩阵分析姓名赵润生学号 S130101238专业信息与通信工程2013年12月21日估计矩阵特征根的辐角范围摘要：阐述辐角的定义，重点介绍一些估计特征根的方法，从而估计辐角范围，例如盖尔圆盘定理、闵可夫斯基内积空间上矩阵特征根的估计关键词：特征根，辐角，盖尔圆盘定理，闵可夫斯基内积空间1、辐角的定义任意一个复数z=a+bi(a、beR)都与复平面内以原点0为始点，复数z在复 平面内的对应点Z为终点的向量•一一对应复数的辐角是以x轴的正半轴为始 边，向量OZ所在的射线(起点是O)为终边的角饥任意一个不为零的复数z=a+bi的辐角有无限多个值，且这些值之间相差2tt 的整数倍把适合于0^0<2tt的辐角的值，叫做辐角的主值，记作argz.辐 角的主值是唯一的，且有Arg (z) =arg (z) +2kno个人认为由定义可知，通过一些估计方法估计出矩阵特征根的值即可估计出 其对应的辐角的范围因此，将特征根辐角范围的估计转化为估计矩阵特征根, 并搜集到一些估计特征根的方法下面具体介绍这些矩阵特征根的估计方法2、对于特征根的一些估计方法矩阵特征值集合，即矩阵的谱，是矩阵理论中最重要的概念。
通常，计算矩阵特 征值是非常困难的，然而在很多的应用领域并不需要精确的计算矩阵特征值,只 需要给出大致的估计即可，比如:在研究线性方程组基于分裂迭代法的收敛性时, 需估计迭代矩阵的谱半径是否小于1 ；在研究线性方程组的预条件Krylov子空间 迭代法的收敛性时•，需估计预条件矩阵特征值的分布是否聚集;在系统与控制理 论中，通过估计矩阵特征值是否具有负实部来判断系统是否稳定因而，通过矩阵 元素来简单估计矩阵的特征值是矩阵理论中重要的研究课题之一田A、采用盖尔定义 1 :对方阵 A=(aij)6Cnxn,^Gi(A)三｛z E C\\z - au\ < Rg,i = 1,…为 矩阵A的行盖尔圆称并集U金1&Q4)为矩阵A的行盖尔区域这里称盖尔圆半 径为R三禹扁叫』，类似地，可定义矩阵A的列盖尔圆盖尔圆定理是用方阵A=(aij)本身的元素及其％的简单函数估计A的特征值 位置的基础定理从定理可见：⑴孤立的G氏圆盘中含有旦仅含有一个特征值，而S个连通的G氏圆盘中恰含有S个特征值，而不保证每个圆盘都一•定会有A的特征值；(2)如果A的n个圆盘两两互不相交，则A有n个互异的特征值,且每-,特征 值恰好在孤立的圆盘内。
因此能否缩小圆盘半径,孤立各圆盘是估计、定位A的 特征值的重要课题盖尔圆盘定理1：设A = (a0-)eCnxn,则A的任一特征值兀EG = \J^=1 Gj (i = 1,2,・・挪)其中U%iG必矩阵A的盖尔区域⑵盖尔圆盘定理2:设A = (a0)cFnxn,如果对任何i、j,恒有扇・一 ajj\ > R + Pj, 1 < i,j < n,则n个G氏圆盘两两互不相交，是n个孤立圆盘，且每―,孤立 圆盘都含有A的一•个特征值,A有n个互异的特征值⑵盖尔圆盘定理3设A = (aQsFnxn, 0
定义3 R11的满足下面关系的基｛Ci,...,Cn｝称为Rn的(闵氏)标准正交基]■ i=j=l(Ci,Cj)= • -1 i=#l.o j)eeA对称半正定，若A有实正特征根入,则属于X的特征向量类时间，反之，若A 有严格类时间特征向量x,则它必属于非负实特征根若A有特征根X,入V0,则属 于X的特征向量类空间反之，若A有严格类空间特征向量x,则它必属于非正实 特征根A若有n个实特征根必一正，其余均负对于对称阵的特征根，我们有一些估计设H是可正交对角化的对称阵，即 存在正交阵U使H=Udiag(kl,..An)U+,因为只有入1有严格类时间特征向量，故 X 1在对角线上的位置是不能变动的设K2>k3> ... >Xn,对应ki的单位特征向量 记为c⑴,i=l,...,n,设x为单位向量，即(x,x)=l 或.1,令x=Uy, WJ(y,y)=(U+x,U~x)=(x, UU一x)=(x,x)=l 或・1,故(x,Hx)=yTUTGHUy=yTGGUTGHUy=yTGdiag(kl..y=Xiy2rX2y22- . •・・Xny2n(y=(yi•.•yn)T)定理 L i)若入 入2,则入i=max(x,x)=i(x, Hx), X2= -min(xx)=1(x, Hx)；ii）若 Xi
参考文献:［1］中淑谦.Gersgorin圆盘定理专题的教学探讨［J］,中国科教创新导刊， 2010,8(82).⑵陈筠青.探讨矩阵特征值的估计和定位［J］，沈阳航空工业学院学报，1998, 15(4).⑶刘国境.闵科夫斯基内积空间上矩阵的特征根［J］,黑龙江大学自然科学学报, 1997, 14(4).。
