温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后关闭Word文档返回原板块第2课时 基本不等式的简单应用1．两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )2．当00，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.( )4．当x>1时，x＋≥2，所以x＋的最小值是2.( )5．已知x，y都是正数，若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最小值.( )【解析】1.√2．√3．√4．×.提示：不是常数，故错误．5．×.提示：x，y都是正数，若x＋y＝S(和为定值)，则xy≤＝，当x＝y时，积xy取得最大值.·题组一 利用基本不等式比较大小1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C．＋> D．＋≥2【解析】选D.选项A中应该为a2＋b2≥2ab，漏了等号；选项B中当且仅当a>0，b>0时才成立，而原题条件是ab>0，故不成立；选项C中应为＋≥，当且仅当a＝b时等号成立，漏掉等号；选项D正确．2．(2021·烟台高一检测)已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )A．ab≤ B．ab≥C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3【解析】选C.a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥4－2·＝2.3．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，a2＋b2，2ab中最大的是________．【解析】因为a＞0，b＞0，且a≠b，由重要不等式和基本不等式可得：a2＋b2＞2ab，a＋b＞2.所以只要比较a2＋b2与a＋b的大小就可以了．因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以a2＜a，b2＜b，所以a2＋b2＜a＋b.所以a＋b是最大的．答案：a＋b4．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.以上正确的序号为____________．【解析】由于a2＋1－a＝＋>0，故①恒成立；由于a＋≥2，b＋≥2.所以≥4，故②恒成立；由于a＋b≥2，＋≥2，故(a＋b)·≥4，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立．答案：①②③·题组二 利用基本不等式求最值1．(2021·济宁高一检测)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )A． B．4 C． D．5【解析】选C.因为a＋b＝2，所以＝1.所以＋＝＝＋≥＋2＝.故y＝＋的最小值为.2．(2021·丹东高一检测)设x，y∈N*满足xy＝100，则x＋y的最小值为________．【解析】因为x＋y≥2＝2×＝20，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．故x＋y的最小值为20.答案：203．求函数y＝(x>1)的最小值．【解析】y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．答案：2＋24．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，当取得最大值时，求＋－的最大值．【解析】＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.易错点一 求最值时忽略等号成立的条件 若－40.故y＝－≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．易错点二 利用基本不等式比较代数式大小时忽视条件1．已知a，b都是正数，且a＋b＝1，则________9.(填写大小关系)【解析】因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以＝·＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”．所以≥9.答案：≥2．正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则(1－a)(1－b)(1－c)________8abc.(填写大小关系)【解析】因为a＋b＋c＝1，所以1－a＝b＋c，1－b＝a＋c，1－c＝a＋b.因为a＞0，b＞0，c＞0，所以b＋c≥2＞0，当且仅当b＝c时等号成立；a＋c≥2＞0，当且仅当a＝c时等号成立；a＋b≥2＞0，当且仅当a＝b时等号成立．将上面三式相乘得(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥8abc，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．即(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.答案：≥【易错误区】(1)利用基本不等式比较代数式的大小关系时，不能正确利用已知条件，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达不到放缩的效果．(2)在注意多次运用基本不等式时易忽略等号能否取到．限时30分钟 分值60分 战报得分______一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知m＝a＋(a>2)，n＝－2(x<0)，则m，n之间的大小关系是( )A．m>n B．mn.2．(2021·海口高一检测)若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )A．1 B．2 C．2 D．4【解析】选A.由基本不等式得，ab≤＝1.3．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4【解析】选C.因为x<0，所以f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．4．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )A．x＝3 B．x＝－3C．x＝5 D．x＝－5【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去).5．已知00，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．6．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )A．3 B．－3C．3－2 D．－1【解析】选C.因为x＞0，所以y＝3－≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．二、填空题(每小题5分，共20分)7．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．【解析】因为y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1.答案：18．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________.【解析】1＝x＋4y≥2＝4，所以xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立．答案：9．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.则x＋2y的最小值为__________.【解析】因为x＞0，y＞0，＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.答案：1810．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则＋有最________值，此时最值为________．【解析】因为＋＝·1＝·(a＋2b)＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当即时等号成立．所以＋的最小值为3＋2.答案：小 3＋2【一题多解】因为＋＝＋＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即时等号成立，所以＋的最小值为3＋2.答案：小 3＋2三、解答题11．(10分)(2021·锦州高一检测)已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8.【证明】因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，所以＝··≥＝8，当且仅当a＝b＝c＝时取等号，所以＞8. 【变式备选】 已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.【证明】由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，所以(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.Ｋ 已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7.【证明】由＋＝1，得b＝(a＞1)，则a＋2b＝a＋＝a＋＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7≥2＋7，当a－1＝，即a＝1＋时，取等号．关闭Word文档返回原板块。
