2004年全国硕士研究生考试数学（三）真题（含解析）.pdf

2004年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 14 页2004年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 14 页2004年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 14 页2004年数学（三）真题解析一、填空题（1）【答案】1,-4.【解】由lim X (cos 工一b ) = 5 ,得 lim(e a) = 0 ,于是 a = r-* o a g0ci p qr再由 5 = lim-(cos x b) = lim(cos x b)=lb,得 b= 4.x-*-o e 1 x-* o(2)【答案】一笃罢gt)【解】令“*3, y ,则金3于是 /(u , V)= + g(P ).由等=血得丄2g(p)32fg（Q）dudv g2 (77)（3）【答案】【解】2 f G l)d*z = f J /(J7 l)d(j： 1) = I 1 /(J7 )dj?7 J T J 21 fl1 ( Ddjc = ( l)dz7 J 27.12 工21 3c dx +（4）【答案】2.【解】/（工1，22，工3）=（工1 +工2尸+（S 乞3）2 + （工3 +工1） =2je j + 2x 2 + 2j： ： 3/21则二次型/（g，工2，S）的矩阵为人=0（5）【答案】 -eZ 2 + ! JC 3 2工 2工 3 91 ,得r（A） = 2,即二次型的秩为2.【解】 由XE（入） ），得D（X）=g，且其分布函数为0 9 2 V 0 91 e_Ax ,工 $ 0，于是 PX yn(xy =fx y) = i-p(x y-) = i-F(y) = -.FQ)=方法点评：本题考查指数分布的数字特征及分布函数的概念. 重要的随机变量及其数字特征有：+ 2攵112丄12_ 11-1-12由A A0-30302004年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 14 页(1) 二项分布设 X B5,p),则 E(X) =np , D(X) =npq .(2) 泊松分布设 X P(A),则 E(X) =A , D(X) =A (3) 指数分布2IX E(X)，则 E(X)=,D(X)且密度函数及分布函数为A e%，,0. 1fCx)=FG)=1 _ e0,0,攵W 0,- 0, x 0.(4)正态分布设 X N( ,a2)，则 E(X)=“(6)【答案】C72,D(X) =a2.【解】1X = 126“2工(Y,W7 = 12(JX2(n2 1)，nl _由E匕一-(J= Tl 一 9 E“27 = 1丫)272=21,得X2 (/?i 1),于是EnlE工(X,乂)* = (“I)/ i = lW1 _ n2艺(Xi -X)2 +(Yj -y)2t = 1 j = 1_ 1 + 2 2 _n2E 工(匕-y)2=(n2-l)a2 ,j = 1n! 一 1 )cr2 + (“2 1)0 x-* 0 JC / i-oo当a=0时，g(z )在x 0处连续；当a HO时，攵=0为g(H)的可去间断点，即g(z )在攵=0处连续与否与a的取值有关，应选(D).(9)【答案】(C).2X H 9Z W 0,2jc 一 19z 1 ,2004年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 14 页2 , z V 0,7（工）= 1,当工0时,f工）=2工1V0；当0 z 0,则z = 0为fCx）的极小值点； 二（9）题图又当工V 0时，严（工）=2 0；当0 工 1时，f（工）=一2 1,得limun H0,由级数收敛的必要条件得发散，正确； n_8 un L8 ” = 1取” = + ,vn = W-，显然（”+”）收敛，但工”与工都发散，不7Z 兀 Z7 n = 1 n = 1 ” = 1对，应选（E）.（11） 【答案】（D）.【解】f （a） = 1曲）_化?0,由极限保号性，存在0,当工6 （a,a+&i ）时，W Ma）0,从而 心）y（a）,于是存在乩 e （a ,b），使得 f 0当広C（ 一九）时,）_ 严）V0,从而 fS fCb），于是存在工。

E（ （a,b）,使得 y（Hf（6）,x 一 b则（A）,（B）正确；因为fd 连续且/（a）/（） 0，Jff 0 JC Lj0, H = 0,丄一cos丄，:rHO, * o . ； , fjc ) =5 2 X 显然/(H )在z =0的邻域内不单调.0, 兀=0,(12) 【答案】(D).【解】 方法一 因为矩阵A,B等价，所以根据矩阵等价的定义，存在可逆矩阵P,Q,使 得 PAQ=B,PAQ=B,于是当 |A | =0 时,B,B =0,应选(D).方法二 矩阵A,_B等价的充分必要条件为r(A)=r(B),所以当|A | =0时,r(A), 于是r(B)n,故|E丨=0,应选(D).(13) 【答案】(B).【解】 由非齐次线性方程组AX=bAX=b有解但不唯一，得r(A)n,于是r(A*)=0或r(A*) = l,因为 A* HO,所以 r (A * ) = 1,于是 r(A)=n l.故齐次线性方程组AX= 0的基础解系含一个线性无关的解向量，应选(B).(14) 【答案】(C).【解】 由 P|X|h= l-2PXx= a,得 PX$_z=宁.再由 PX ua，应选(C).a 9 得工=U_a三、解答题(15)【解】方法一limo sin2COS2 J： ：2. JC =lim . 2 2 2 *2 2sm x cos x . x 一 sin x cos x=limzf 02 . 2 x sm x1X 2X 4x + sin x cos x x 一 sin x cos x =lim0X 3lim 1 +x-* 0 sin x-cos xx 一 sin x cos x. 2jc 一 2sin x cos x y. 2jc 一 sin lim-= limx-* 0 X 工0JC 3JC 381imx-* 0 xX 32j? sin(2工乂= t t 一 sin t 8 y. 1 一 cos tSlim-= -limz-* o t 3 Lo4323方法二lim1cos2 JCo sin2jcX 22=lim x-*-0 2 2 sin x cos Jc2 2 x sin x2x=lim x*-0 2 2 sin x cos xX 4x + sm x cos x lim-x-0 xx 一 sin x cos xJC 3a. x sin x cos x =zlimx-* 0X 321imz-* 01 一 cos 2无322 1 一 coslim3工。

4OC 232004年全国硕士研究生考试数学三真题第 7 页，共 14 页方法三1x-* o sin2 j：lim2COS X2JC)=lim/ x*02 2 2x sin x cos jc2 2 jc sin x=limH f 0X 2 2 2sin x cos x4 Xx2limT f 01 2. -sin Lx44JC=limx-* 02jc sin 2x cos 2无=limx* 04攵34z sin 4r8 j: 3=81imx-0 sin 4j? 4h = t811m0(4a：)33=81imLO1 cos t3t23方法四22lim1o sm2 j:COS2 J； ；2 X=limx* 0 2 2 sin x cos X2 2 jc sin x=limx-* 0 2 2 sin jc cos x4X2 Xlimx* 01 .2?sin Lx 44XJC 2=limx-O2 1 + cos 4X 21 cos 4z8 -4 XX 4X 24由 cos x =1 土-F 吕-o (f )得 cos 4h =1 8a:22! 4!+狰2!+ o(d),39 于是 8j; 2 1 + cos 4re x4，故lira.；x0 sin xcos2jcJC 2_4=T(16)【解】如右图所示，方法一 令 Di ： + y2 4, D2 : (j; + I)2 + y2 则jj (Jx2 + y2 + 3/)djcdj/ = DIj ( J芒十)2 + y ) dr djy DiJJ( Jx1 + y )dr djy ,D2ffnjj (Vjc2 + y2 + 夕)dzdy =DiJr2 + y2 dzdjyDi九=罟0 0Jj(Vt2 + y2 + y )dr dy =D2 D23na/j: 2 y2 dr djy = j ： d012cos & r2 dr07于是 JJ (yj:2 + y2 +y)clzdy 3 D凹 on cos3 0(10 =16k 32了.cos3 0 d0=乳cos讥心等2004年全国硕士研究生考试数学三真题第 8 页，共 14 页方法二 令 Di=O,y) | J：2 + j2 4,j： NO,3故S(z)满足的微分方程为SQ) xS(a：)=.D2 Cj: ,y) | 2je + y2 0, A而(芒 + b +夕)d_z dy =Dip 8d0 | (r + rsin 9)rdr J o 3 -,n_(1 + sin 3)d6 =83 ；jj(Vt2 + yz + y )dH dy =D2JJ a/z 2 + _/ dz dy = J； d&D2 71*2r2 dr2 cos 0,3x：(1 + cos30)d0 7o n = t 8 3n_2 n (1 cos3Z )dz今F( (i曲朋今3 J o 37T 28亍兀32T所以(Jx2 + y2 + y)djcdy = DJJ (a/j:2 y2 + 3/)drc dj/ +(2 y2 + 夕)dz dyD1 D216 32=-TT-3 9 - (17)【证明】 由 f(t)dt g(Z)df,得 _/()g(t)dt 2 0,从而吐(/)g(/)d/鼻0,而 f dx _/(/)g(t)dt =bbbdij y(t) g(/)dz = J (6 g(?)dz=4加)业加)曲-tf (t)dt J tg 2 0,Cb J g(t)dtb故1 tg Ct) dt，即 | xf( (x )dj; W| xg (jc )dx .pp(【解】(I)Ed= Q 而=(一 5)X00_5p 20-P(n)R=PQ, =Q + P =Q-5P ,dF ar又 QC1-EP =Q-5P，所以 =Q(1EG ,arJ D p若价格降低收益增加，则器 V 0,故1 Ed 10. 注意到0 V P V 20,故当10 P 6応+则3 5 7 32004年全国硕士研究生考试数学三真题第 9 页，共 14 页3(n)由 s(_z) xs(xxs(x)=专-，得S Cz ) = (J L j dr + C) ej =(J yeVdj; + C)eV = CeV - y - 1 , 工2由 S (0) = 0,得 C = l,故 S(z)=e2- -1.(20)【解】 方法一 0可否由叭,a2,a3线性表示等价于非齐次线性方程组11+22 + x3a3 是否有解.- I1 1A Ca ,a2 ,a3， ，P) )= 2 a + 2o 3a-1-6-2a + 261a3a-1一 ba+2b1 3 3) )100113(I )当a =0, b为任意常数时，因为r(A)#r(A),所以0不可由a1,a2,a3线性表示;(II )当a工0且a工b时,0可由ai ,a2 ,a3唯一线性表示,由A A11 0 01-a0 1 01a.0 0 10=5时，,得 0=(1-a】 a a 2 + Oa 3. a / a(UI )当a工0且a由A, 1111-111 0 01-a10 1-1A1a0 1-1a0 0 000 0 00 0得 x x a aY Y+x+x2 2a a2 2 +鼻3。

3 =0 的通解X = C(C为任意常数)，111-1-aa1小 1c + aa.oc+a1 + (C + )a2+Ca3(C 为任意常数).故方法二令 A = (a】,a2 ,。