广义相对论的引力场方程.doc

广义相对论的引力场方程１９５５年，物理学家玻恩在一次报告中评价道：“对于广义相对论的提出，我过去和目前都觉得是人类结识大自然的最伟大的成果，它把哲学的深奥、物理学的直观和数学的技艺令人惊叹地结合在一起.”德布罗意（Louis de Broglie，1892－1987）在《阿尔伯特·爱因斯坦科学工作概况》中谈到广义相对论时说：“依托黎曼（G·Riemann，1826-1866）的弯曲空间理论，借助于张量运算，广义相对论提出一种万有引力现象的解释，这种解释的雅致和美丽是无可争辩的，它该作为20世纪数学物理学的一种最优美的纪念碑而永垂不朽.” １９８３年诺贝尔物理学奖获得者昌德拉塞卡说得更清晰：爱因斯坦是“通过定性讨论一种与对于数学的优美和简朴的切实感相结合的物理世界，得到了她的场方程.” 相对论实在可以说是对麦克思韦和洛伦兹的伟大构思画了最后一笔，由于它力图把场物理学扩大到涉及引力在内的一切现象.爱因斯坦在19刊登了狭义相对论公式之后的几十年内，她就对数学的各个领域烂熟于心了，而同步代的大多数物理学家则对这些领域知之甚少甚至一无所知.在她迈向广义相对论的最后等式的过程中，在将这些数学构造同她的物理学直觉结合在一起这个方面，爱因斯坦展示出了罕见的天赋.广义相对论理论的核心是新的引力场定律和引力场方程.有人说，麦克斯韦在电磁场上做过什么工作， Einstein在引力场也做过什么工作.广义相对论引人注目的特性之一是将牛顿力学中的引力简化为四维时空中的弯曲，“宇宙图景”的新情景不再是“三维空间中一片以太海洋的受迫振动”，而是“四维空间世界线上的一种纽结”.19，Einstein与洛伦兹的学生福寇一起刊登了一篇严格遵守广义协变性规定的引力理论的简短论文，发现从绝对运算和广义协变性的规定出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是Einstein—格罗斯曼理论的一种特殊状况，其标志是真空光速不变这一附加条件；Einstein—格罗斯曼理论涉及着光的弯曲，而诺茨屈劳姆的理论没有光的弯曲.广义相对论具有最简朴，最优雅的几何基本（三个公理：(1)具有度规；（2）度规由爱因斯坦方程G=8πT支配;（3）在度规的局部洛伦兹标架中所有狭义相对论的物理规律是对的的）.1.广义坐标变换设一种时空区域同步被旧坐标系和新坐标系所覆盖，其中，c是光速，t与t’是时间.新旧坐标之间的关系可表达为 （1）,每一种新坐标都是四个旧坐标的函数.微分（1）式，得到广义坐标变换下微分的变换关系 （2）这里采用了Einstein惯例.（2）的逆变换为 （3）定义在坐标变换中不变的量为标量.在广义坐标变换下，向坐标微分元同样变换的量，称为逆变矢量， （4）在广义坐标变换下，变换规律为 （5）的量称为协变矢量.容易看出，逆变和协变矢量均有四个分量构成.在广义坐标变换下按 变换的量分别称为逆变张量、协变张量、混合张量.2.张量的运算： （9） （10）缩并运算： （11）3.度规张量在四维时空中，我们把两点间的距离推广为“间隔”.在直角坐标系中，它可表达为（12）间隔的平方应与坐标微元的二次方有关（13）,但左边是标量，而右边是逆变矢量，必须让坐标微分元与一种二阶协变张量缩并（14）张量称度规张量共十六个分量，可用矩阵表达 （15）,它是一种对称张量.3、时间与空间在广义相对论中，跟据等效原理，可对时空中的任意观测者A引入相对于她瞬时静止的互补惯性系B，并仿照狭义相对论，定义静止于B系中的“真实钟”为坐标钟，它所记录的时间为惯性系中所固有的时间.由狭义相对论系B的固有时间为 (16)微分几何告诉我们 （17）因此，我们可以合理的定义观测者A的固有时间图3 观测者A与B （18）的世界线下面我们来考察相对于某一种坐标系静止的观测者，寻找它的坐标时间和固有时间之间的关系.由（12）和（18），不难得到此关系为（19）在图4中，假定A与B空间相邻点，光信号从B射向A，再从A射向B，所需坐标时间为（20）未假定光速的各向同性，因此不一定等于，在B引入局部惯性系相应的固有时间为图4 固有距离的测量 （21）在局部惯性系中，光速各向同性等于c，因此，两相邻点的纯空间距离为（22）此即用原则尺测得的纯空间距离.由（23）得（24）代入（21）可得（25），其中是纯空间度规.4、短程线A、B之间的一根曲线长度可用积分给出（26），由变分原理得到(27)沿曲线人选一种标量参数并注意到上式可写为（28）其中拉格朗日函数 L=（29），而广义速度将（29）带入拉格朗日方程 （30），可得短程线方程 （31）它也是广义相对论中的运动方程.1911月25日，爱因斯坦在《引力场方程》论文中，给出了引力场方程的完整形式：Rμν ＝－k（T μν － 1/2 g μν T）,Rμν是黎曼曲率张量， T μν 是能量动量张量.回到广义协变原理之后，Einstein在1910月与11月，集中精力摸索新的引力场方程.先后于11月4日，11日，18日和25日，每周一次，一连四周向普鲁士科学院递交了四篇论文.在11月4日的论文中，她提出了废弃19提出的场方程的因素.这些理由在11月28日写给索末菲的信中，提得更加明确.她说：“我结识到，到目前为止，我的引力场方程是完全站不住脚的.有关这一点，有如下线索：（1）我证明了，在一种均匀转动的参照系中，引力场并不满足场方程.（2）水星近日点进动每一百年不是18″而是45″.（3）在我去年的论文中，协变的考察没有提供哈密顿函数H.如果把它加以合适推广，它就会容许任意的H，于是，要适应坐标系的协变，是徒劳无功的.在对此前的讨论成果和措施失去一切信心之后，我清晰地看到，只有与普遍的协变理论，即黎曼协变理论联系起来，才干得到令人满意的解决.”[3]挣脱了引力场方程只能性变换下协变的限制之后，广义相对论的进展来自于Einstein对张量的重新结识.她保存了“对泊松方程推广”的原有形式.但目前她觉得牛顿引力理论的泊松方程▽2φ=4πGρ/c中的ρ，应相应于引力源体系的质量，能量，动量以及所有的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量Tμν；而牛顿引力势φ则相应于时空度规张量gμν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程： Rμν-gμνR/2=8πGTμν/c4 ，其中G为牛顿引力常量，Rμν为里奇张量，R为标量曲率张量.引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系，它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想.大概在公元前387年，希腊哲学家柏拉图觉得，几何学研究是通向结识宇宙本质的道路.5、场方程时空曲率=能量动量（32）物质的能量动量可写成二阶张量.时空曲率可写成.可以把曲率张量缩并，得到一种二阶张量（33），称Ricci张量，它是对称张量，有十个独立分量.代入（32），(34用逆变张量写出就是（35）应满足能量—动量守恒定律（36）由（37）此式用三维空间的矢量写出来就是其中是能量密度，是能流密度，M是动量密度，三维空间的张量（i，j=1，2，3）是动量流密度.（38）、（39）分别是能量和动量守恒定律.（36）规定（35）左端满足.但这一般不也许.由毕安基恒等式（40）R称曲率标量因此，如果把方程（34）、（35）改写成（41）(42)矛盾就消除了.这两个方程就是Einstein给出的广义相对论的基本方程——场方程.它们一般称为Einstein场方程，反映物质的能量—动量如何决定期空曲率.引力场的体现式中起参量作用的物理量数目比牛顿引力理论中的要多．其中不仅有引力质量，尚有电荷、磁荷、电的(或磁的)偶极矩、宇宙常数等等，其中只有引力质量是广义相对论和狭义相对论所共有的引力参量．由于有物质的存在，空间和时间会发生弯曲，而引力场事实上就是一种弯曲的时空. Einstein根据这一结论，给出了出名的引力场方程式：Einstein引力场方程是二阶的，以时空为自变量，以度规为因变量的，带有椭圆型约束的双曲型偏微分方程.固然， Einstein的这个引力场方程并非完美，在具体计算中，使用的只是一种近似解，而真正的球面对称的精确解——史瓦兹解，是在此之后才找到的.广义相对论觉得: 一种物体使自已周边space-time弯曲, 另一物体在弯曲space-time中沿短程线运动, 这就是引力的本质.由广义相对论引力场方程和短程线方程, 性近似下得到另一组方程 (1-3)，(1-4)这组方程成功解释了行星近日点的移动.光子通过太阳附近时受到太阳的吸引而变化方向,由(1-3)—(1-4)式求出的光偏折角是Newton理论预期值的一倍.实际观测成果是与广义相对论一致, Einstein获得巨大胜利.随后人们观测到从太阳发出的光线达到地球时其频率由变为，(1-5)广义相对论用引力势场中不同点时间间隔不同解释了这个实验成果.因此人们觉得上述三个典型相对论引力实验支持广义相对论, 并且进一步得到space-time是弯曲的结论.广义相对速度体现式，式中表白，近处物体或大质量物体对研究物体的广义相对速度影响较大.一种小质量物体A从远处接近一种大质量且广义相对速度不为零的物体B，如果它相对B的速度不变，那么它的广义相对速度必然发生变化.然而在不受力的作用、物体处在惯性运动的状况下，它的广义相对速度是保持不变的，因此上面所说的过程，A相对B的速度要发生相应的调节.定性分析得知，A接近B时，为了保证A的广义相对速度不变，A、B之间的相对速度必将减小，从而可以说，大质量的B部分地同化了小质量的A的运动速度.固然，A也部分地同化了B的运动速度，只是质量比例很小而体现得更加单薄.近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用.在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何.在广义相对论里，爱因斯坦放弃了有关时空均匀性的观念，她觉得时空只是在充足小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的.在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的.黎曼张量和物质能量-动量张量间的关系1927年Einstein等人提出，质点系统的运动方程应当涉及在引力场方程之中.1938年，Einstein及其合伙者完毕了这一理论.她们采用后来称为后牛顿近似的措施，在对质点系能量动量张量的简朴假定下，从引力场方程中推导出了质点系的运动方程，这就是出名的广义相对论的运动理论.50年代以来，某些物理学家指出，质点运动方程也可以直接从能量动量张量的守恒定律推导出来.A.巴巴别特鲁由运动理论导出了自旋粒子会受到的自旋和曲率的耦合项.引力场方程涉及着粒子运动方程，这是广义相对论的一种重要特点.60年代以来，彭罗塞等人系统地运用整体微分几何的措施来研究广义相对论.彭罗塞和霍金等人建立的奇性理论，提示了广义相对论时空构造的重要性质和问题.但是 Penrose 与 Hawking 等人的措施虽然不需要直接求解场方程， 但它与描述物质分布的能量动量张量的性质仍有着密切的关系. 这一点从物理上讲是显而易见的， 由于正是物质的分布决定了时空的构造.黎曼有关度规、距离法则决定了一种几何学的思想，对于广义相对论的创立有着特殊的启发力.度规张量表征着弯曲空间的内禀性质，协变导数解决了弯曲空间中的矢量求导和无穷小平移问题，仿射联系能恰当刻画弯曲空间矢量的平移性质与度规张量（空间内禀性质）之间的拟定联系，黎曼联系是引力势对坐标偏微分（变化率）的组合，体现着引力场的分布等等.联系解决了弯曲空间中不同步空点测量标尺的差别和可换算性问题，后来成为规范场理论思想的一种源头.宇宙奥秘深藏于数学规律的毕达哥拉斯主义理念，。