等腰三角形和勾股定理.docx

等腰三角形和勾股定理1、等腰三角形(1)定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底两腰的夹角叫做顶角腰与底的夹角叫做底角说明：顶角=1802底角底角=180顶角90-1顶角22可见，底角只能是锐角(2)性质等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条等边对等角三线合一(顶角)(3)判定有两条边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形2、等边三角形(1)定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形2)性质等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点等边三角形的三个内角都等于603)判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个内角都相等的三角形是等边三角形有一个内角是60的等腰三角形是等边三角形DEXBCT E,B(4)重要结论：在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半典例精析题型一：等腰三角形的判定【例1】已知AB=AC,D是AB上一点,试说明4ADF是等腰三角形的理由.举一反三:练习1、等边4ABC中，点P在4ABC内，点Q在4ABC外，且/ABP=/ACQBP=CQ,问4APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论.练习2、等腰△ ABC中，若/A=30°,则/B=DA=DB=DC.题型二：等腰三角形性质的应用【例1】等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分为3:2两部分，则此三角形的底边长为.举一反三:练习1、如图所示，在4ABC中，CD是AB上的中线，且(1)已知ZA=30,求/ACB的度数;(2)已知/A=40,求/ACB的度数;(3)已知/A=x,求/ACB的度数；(4)请你根据解题结果归纳出一个结论.练习3、等腰4ABC中，AB=AC=10,ZA=30°,则腰AB上的高等于题型三：等边三角形性质的应用【例3】如图所示，在等边三角形ABC中，/B、/C的平分线交于点O,OB和OC的垂直AEF平分线交BC于E、F,试用你所学白^知识说明BE=EF=FC的道理.举一反三:练习1、如图1,D、E、F分别是等边△ABC#边上的点，且AD=BE=CF则4DEF?勺形状是（）A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。

如果用字母a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为:2、勾股数：满足a2+b2=c2的三个,称为勾股数常见勾股数如下：3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,255,12,137,24,259,40,4110,24,268,15,173、常见平方数：112121；122144；132169；142196；152225；162256172289；182324；192361；202400；212441；222484232529；242576；252625；262676；272729专题归类：专题一、勾股定理与面积1、、在Rt^ABC中，C=90,a=5,c=3”WJRtAABC的面积S=2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：一3、直线l上有三个正方形a、b、c,若a和c的面积分别为5和11,则b的面积为4、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是Si、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4等于的面积为_7、如图1,图15、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c且满足：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则这个三角形ACB90,BC=8,AB=10,CD1斜边的高，求CD的长?7、如下图，在？ABC中，ABC90,AB=8cm,BC=15cm,P是到？ABC三边距离相等的点，求点P至iJ?ABC三边的距离。

A8、有一块土地形状如图3所示，BD90,AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD中，AB=2, CD=1, / A=60° ,求四边形 ABCD的面积10、如图2-3 ,把矩形ABCD&直线BD向上折叠，使点 在 C的位置上，已知 AB=?3, BC=7,求：重合部分4 的面积11、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用Si、白、9表示，则不难证明Sl=S2+S3.(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用Si、8、S3表示，那么S1、8、9之间有什么关系？(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用&、陵、S3表示，请你确定S、S2、S3之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S、S2、9表示，请你猜想S、&、&之间的关系?.专题二、勾股定理与折叠1、如图4,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,西BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。

2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cn<将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？3、如图6,在矩形纸片ABCD中，AB=3<3,BC=6沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处,AD与PQ相交于点H,BPE=30(2)求BEQF的长(3)求四边形QEFH的面积专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度1、如图7,铁路上A、B两站相距25千米，C、D为两村庄，DAAB于A点，CBAB于点B,DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E,使得C、D两村庄到收购站的距离相等，则收购站E应建在距离A站多远的距离？2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底C为3米，如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗？请给出证明3、△ABC中，AB=AC=20BC=32,D是BC上一点,且AD，AG求BD的长.专题四、勾股数的应用1、下列是勾股数的一组是()A4,5,6,B5,7,12C12,13,15D14,48,502、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是3、下列是勾股数的一组是()A2,3,4,B5,6,7,C9,40,41D1024254、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c,其中a,b,c为正整数，且a

44、AABC三边的长为a,b,c,根据下列条件判断AABC的形状(1):a2+b2+c2+200=12a+16b+20c;(2)：a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=05、试判断，三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1（n为正整数）？的三角形是否是直角三角形？6、如图2-12,△ABC中，/C=90°,M是BC的中点，MDLAB于D.求证：AD2=AC2+BD2.7、在AABC中，BC=a,AC=b,AB=C,C=90，如下图⑴根据勾股定理可以得出：a2+b2=c2,若AABC不是直角三角形，如图(2)与图(3),请你类比勾股定理猜想a2+b2与c2的关系，并且证明你的结论AB8、如图 ABC中，BAC 90 , AB AC ,P为BC上任意一点, 2 2 _ _2求证：BP CP 2AP .专题六、勾股定理与旋转1、在等腰RtAABC中，CAB=90,P是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=5求：CPA的大小？2、如图，在等腰△ABC中，/ACB=90,D、E为斜边AB上的点,且/DCE=45求证：DE2=AD2+BE!o3、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形,CAB=AC D是斜边BC的中点，E、分别是ABAC边上的点，且DELDF,若BE=12CF=5求线段EF的长4、已知，如图GABC中，/ACB=90°,AC=BC,P是GABC内一点，且PA=3,PB=1,PC=2,求/BPGC5、如图，在 ABC中，B一 0 . . , , , ,90 , M 为 AB 上一点，AM=BC, N 为 AB 上一点，CN=BM,连接AN、CM交于点P。

求APM的大小专题七、最短路线问题1、有一正方体盒子，棱长是的最短路线是多少？10cm,在A点处有一只蚂蚁它想到 B点处觅食，那么它爬行2、有一个长方体盒子它的长是70cm,宽和高都是50cm,在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？3、如图所示，一个二级台阶，嚏 这个台阶上两个相对的端点，在 路线是多少？级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm,A和B是A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为4、如下图、王力的家在高楼1.2m,1.2m,1.3m,则他所买的竹竿最大长度是多少?5、如图，已知圆锥的母线AS=10cm,侧面展开图的夹角是90°,点C为AS的中点，A处有一只蜗牛想吃到C处的食物，但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行，请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.。