第四章 均值方差分析与CAPM.ppt

第三章 均值方差分析与资产资产定价模型,吴东立 经济管理学院金融教研室 E-mail：,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,本章内容提要,1、有效边界 2、最小方差组合 3、资产配置线（CAL） 4、最优投资组合 5、证券市场线 6、资本市场线 7、CAPM,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,第一节 均值-方差分析,人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择 投资组合理论用均值方差来刻画这两个关键因素所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例 所谓方差，是指投资组合的收益率的方差我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险投资组合的核心问题就是资产配置（asset allocation）,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,投资组合理论,资产组合即投资者在投资活动中根据自己的风险-收益偏好所选择的适合自己的几种证券的集合投资者选择不同的金融资产时，所选的每种资产占全部组合的比例称作权重，它反映了投资者将投资资金的多大部分投资于该资产因此，所有权重之和为1 投资者选择投资组合的目的之一是平衡投资的风险与收益。

因为，不仅投资者风险厌恶程度是不同的，而且不同资产的风险-收益特征也是不同的 选择投资组合可以降低投资风险 套期保值（hedging） 分散化（diversification）,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,（一）基本假定,现代投资组合理论 (Markowitz,1952) Harry M. Markowitz, 1952, Portfolio Selection, Journal of Finance, 7,77-91 投资者对收益和风险的态度的两个基本假设： 1、不满足性 2、厌恶风险,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,续,不满足性 投资者在其余条件相同的两个投资组合中进行选择时，总是选择预期回报率较高的组合 厌恶风险 投资者在其余条件相同的情况下，将选择标准差较小的组合第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,（二）“可行集”或“机会集”,所谓投资组合，是指由一系列资产所构成的集合可供投资的资产众多，可供选择的投资组合无穷把所有可供选择的投资组合所构成的集合，称为投资的“可行集”（feasible set）或“机会集”（opportunity set） 投资组合的两种替代表示（1）不同资产的投资比重；（2）“期望收益率-标准差”图上的一个点。

第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,续,二种证券组合时，可行集为一条曲线； 三种或三种以上证券组合的可行集的形状呈伞形的曲面，所有可能的组合位于可行集的内部或边界上第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,可行集,假定现在有项有风险资产，它们的预期收益率记 为彼此之间的协方差记为 （当i=j时， 表示方差）， 表示资产在组合中的比重于是投资组合的预期收益率和方差就应当是：,,,,,,,资产组合的收益率是构成资产组合的每个资产收益率的加权平均值，资产组合的构成比例为权重第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,可行集,可行集指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合也就是说，所有可能的组合将位于可行集的边界上或内部N,可行集,B,H,A,图3.1可行集,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,（三） “有效集”(efficient set)或“有效边界” (efficient frontier),投资者从满足如下条件的可行集里选择其最优的投资组合：1、在给定的各种风险条件下，提供最大预期收益率；2、在给定的各种预期收益率的水平条件下，提供最小的风险。

同时成立） 满足上述条件的投资组合集合称为投资的“有效集”或“有效边界” 可行域包含了有效组合，最后有效组合的集合为有效边界.,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,Markowitz组合选择模型解的性质,风险与收益的关系：没有无风险证券的情形,,,无效前沿,,有效前沿,,最小方差组合,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,有效集,我们先考虑第一个条件在图3.1中，没有哪一个组合的风险小于组合N，这是因为如果过N点画一条垂直线，则可行集都在这条线的右边N点所代表的组合称为最小方差组合（Minimum Variance Portfolio）同样，没有哪个组合的风险大于H由此可以看出，对于各种风险水平而言，能提供最大预期收益率的组合集是可行集中介于N和H之间的上方边界上的组合集 我们再考虑第二个条件，在图3.1中，各种组合的预期收益率都介于组合A和组合B之间由此可见，对于各种预期收益率水平而言，能提供最小风险水平的组合集是可行集中介于A、B之间的左边边界上的组合集,我们把这个集合称为最小方差边界（Minimum Variance Frontier）第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,（四）有效集的数学推导,优化投资组合就是在要求组合有一定的预期收益率的前提条件下，使组合的方差越小越好，即求解以下的二次规划：,,,,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,有效集,第一个式子表示选择组合的比例系数使组合的方差这一目标函数最小化，同时必须满足下面两个式子的约束条件。

对于每一给定的 ，可以解出相应的标准差 ，每一对 构成标准差预期收益率图（图3.2）的一个坐标点，这些点就连成图3.1中的曲线同样可以从数学证明，这条曲线是双曲线，这就是最小方差曲线 最小方差曲线内部（即右边）的每一个点都表示这n种资产的一个组合其中任何点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用这也就是曲线向左凸的原因第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,最小方差组合的有效边界,E(r),,,,,Efficient frontier,Global minimum variance Portfolio (MVP),Minimum variance frontier,Individual assets,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,St. Dev.,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,1,1,2,- Cov(r1r2),W1,=,+,- 2Cov(r1r2),,W2,= (1 - W1),s2,s2,最小方差组合1,s22,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,,最小方差组合2 : = .2,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,rp = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131,p,= (.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 +,2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2),1/2,p,= .0171,1/2,= .1308,,s,最小方差组合3 : = .2时的收益与风险,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,,最小方差组合4 : = -.3,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,rp = .6087(.10) + .3913(.14) = .1157,p,= (.6087)2(.15)2 + (.3913)2(.2)2 +,2(.6087)(.3913)(.2)(.15)(-.3),1/2,p,= .0102,1/2,= .1009,s,s,最小方差组合5 : =.3时的收益与风险,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,,(五)无差异曲线,投资者的目标是投资效用最大化，而投资效用取决于预期收益率与风险。

预期收益率带来正的效用，风险带来负的效用 引入无差异曲线以反映效用水平，一条无差异曲线代表给投资者带来同样满足程度的预期收益率和风险的所有组合第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,,无差异曲线,不满足和厌恶风险者的无差异曲线,,,,,,,承受高风险要求高的风险补偿，所以无差异曲线是递增的； 边际效用递减原理，所以无差异曲线是向右下方凸的第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,,无差异曲线,无差异曲线的特征： 1、无差异曲线的斜率为正； 2、无差异曲线是向下凸的； 3、同一投资者有无限多条无差异曲线； 4、同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不能相交 注意：无差异曲线的斜率越大，投资者越厌恶风险第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,,投资者的投资效用函数,投资效用函数(U)： 效用函数的形式多样，目前金融理论界使用比较广泛的是： 其中，A表示投资者的风险厌恶系数，其典型值在2至4之间第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,,投资者的投资效用函数,在完美市场中，投资者对各种证券的预期收益率和风险的估计是一致的，但不同投资者的风险厌恶度不同，他们的投资决策也不尽相同第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,(六)最优投资组合的选择,确定了有效集的形状之后，投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己投资效用最大化的最优投资组合了。

这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点O，所图3.2所示 效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的 对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险收益偏好决定的从上一章的分析可知，厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近N点厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,最优投资组合的选择,I3,I2,I1,O,N,,B,H,A,图3.2最优投资组合,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,组合选择与风险厌恶,E(r),Efficient frontier of risky assets,,,,,,,More risk-averse investor,,,,,U,U,U,Q,P,S,,St. Dev,Less risk-averse investor,,第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,(七)包含无风险资产的最优投资组合,在前面分析中，我们假定所有证券及证券组合都是有风险的，而没有考虑到无风险资产的情况。

我们也没有考虑到投资者按无风险利率借入资金投资于风险资产的情况而在现实生活中，这两种情况都是存在的为此，我们要分析在允许投资者进行无风险资产的情况下，对资产配置问题进行扩展第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,1、无风险资产的定义,首先，无风险资产应没有任何违约可能由于所有的公司证券从原则上讲都存在着违约的可能性，因此公司证券均不是无风险资产 其次，无风险资产应没有市场风险虽然政府债券基本上没有违约风险，但对于特定的投资者而言，并不是任何政府债券都是无风险资产例如，对于一个投资期限为1年的投资者来说，期限还有10年的国债就存在着风险因为他不能确切地知道这种证券在一年后将值多少钱事实上，任何一种到期日超过投资期限的证券都不是无风险资产 综合以上两点可以看出，严格地说，只有到期日与投资期相等的国债才是无风险资产但在现实中，为方便起见，人们常将1年期的国库券或者货币市场基金当作无风险资产第四章 均值方差分析与资本资产定价模型,2、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形,为了考察无风险贷款对有效集的影响，我们首先要分析由一种无风险资产和一种风险资产组成的投资组合的预期收益率和风险。

假设风险资产和无风险资产在投资组合中的比例分别为 和 ，它们的预期收益率分别为 和 ，它们的标准差分别等于 和 ，它们之间的协方差为 根据 和 的定义，我们有 根据无风险资产的定义，我们有 和 都等于0这样，我们可以算出该组合的预期收益率 为：,,,,,,,,。