作业7_592709196.pdf

作业 7 1．在索末菲模型中，证明有N个电子的金属中，自由电子气体在绝对零度时的动能为FN53；由此导出压强P 和体积弹性模量 VPVB的表达式求出锂（体心立方结构，晶格常数为3.5 ? ) 的体积弹性模量值，并与杨氏模量的 量级 1011 N/m2比较 提示：第一个问题上次作业4 已做过，这次不做，直接用其结果电子气的压强可用热力学公式NVUP0求得2．自旋为21的 He3原子是氦元素的同位素He3是费密子在绝对零度附近，液 He3的密度为 0.081 g/cm3如果使用索末菲模型来近似的分析，求液He3的费密能量F和费密温度 TF提示：原子质量单位amu =1.66053 10-24g3．金属银的宏观密度为10.5 g/cm3，银的原子量为 107.87如果用索末菲模型分析银中的价电子，（1）计算费密能量F和费密温度 TF，费密波矢 kF和费密 速度 vF； （2）如果银的电阻率在 295 K 和 20 K 时分别是 1.61 cm 和 0.038 cm，计算在 295 K 和 20 K 时电子在费密面上的平均自由程 提示：根据索末菲模型，费米面上的电子才与声子碰撞，其平均自由程为Fvl。

其 中 驰 豫 时 间可 用 Drude 模 型 来 计 算 [ 见 PPT 中 的 公 式sar cmenmBs153 21 10)()/(2 .2] 4．二维情况下的化学势和电子密度就每单位面积n 个电子证明：（1）二维情 况下费米气的化学势由下式给出：] 1)ln[exp()(2TmknTkTBB2）电子密度的 Sommerfeld 展开只有零温项提示：自由电子的能量 mk222 ，因此轨道密度为22)/()/()(mdkmkdkkddng，是个常数，与能量无关索末菲展开请参看韦丹著《固体物理》第 2 版 P.121 公式(5.24) ， 它利用了 df/d的 函数特性， 对应于微观物理量x( ) 的宏观量 X可以用下面的方法计算：0100)(!1)()()()()(; )()()(nnnndyd nyddfdyddfdxgddyxfgdXm B mmmmTkdyday2122 )()(，其中 am为索末菲展开系数，最重要的第一级 Sommerfeld coefficient 为 a1 = 2/6 对于本题中电子密度有：)()(gy5．天体物理学中的费米气 （a）给定太阳的质量M?= 2 1033g，估计太阳中的电子的数目。

在白矮星中这个数目的电子可以被电离出来，并且包含在半径为 2 109cm的球内，试求以电子伏表示的电子的费米能 （b）相对论极限>> mc2下的电子能量和波矢的关系为kcpc证明在这个极限下的费米能大致为3/1)/(3VNcF （c）如果上述数目的电子包含在半径为10km的脉冲星内，试证费密能约为108eV这个值说明了为什么脉冲星被认为多半是由中子所组成，而不是由质子和电子所组成，因为在n p + e-的反应中释放的能量仅为0.8106eV，这个能量不足以使许多电子能够形成费米海中子衰变只进行到足以引致0.8106eV 的费米能级的电子浓度为止，这时中子、质子和电子浓度处于平衡 提示： （a）设太阳包含 Na个平均原子序数为Z 的原子，则太阳质量为M?=Na( Zme+M ) ，其中 M为平均原子序数为 Z 的原子质量，可取 M 2Zmp，由于mp >> me，因此， M?2NaZmp = 2 Nmp，N即为太阳中的电子的数目 （b）对于量子态数和费米波矢来说，仍旧和非相对论性电子气体的情形一样。