
如何求三角函数的最小正周期.docx
3页1如何用初等方法求三角函数的最小正周期在三角函数中,求最小正周期是一个重要内容,有关求三角函数最小正周期的问题,供大家参考一 公式法函数 f(x)=Asin(ωx+φ)和 f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是 ;函数 f(x)=Atan(ωx+φ)和 f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正2周期都是 ,运用这一结论,可以直接求得形如 y=Af(ωx+ φ)(A≠0,ω>0)一类三角函数的最小正周期(这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数)例 1 求下列函数的最小正周期:(1) f(x)=2sin( πx+1)53(2) f(x)=1- cos(4x )(3) f(x)= tan( x ).3f(x)= )62cot(1解:用 T 表示各函数的最小正周期,则:(1)T= =53 0T= =42T= =3π31 f(x)的最小正周期和 y1=1-2cot(2x- )的最小正周期相同,为 T=62二 定义法根据周期函数和最小正周期的定义,确定所给函数的最小正周期例 2 求函数 f(x)=2sin( x- )的最小正周期。
216解:把 x- 看成是一个新的变量 z,那么 2sinz 的最小正周期是 2π由16于 z+2π= x- =( x+4π)- 所以当自变量 x 增加到 x+4π 且必须增加到 x+4π 时,函数值重复出现∴函数 y=2sin( x- )的最小正周期是 4π216例 3 求函数 f(x)=|sinx|-|cosx|的最小正周期2解:根据周期函数的定义,易知 2π、π 都是这个的周期,下面证明 π是这个函数的最小正周期设 0<T <π 是这个函数的周期,则|sin(x+ T )|-|cos(x +T )|=|sinx|-|cosx| ①对于任意 x∈R 都成立,特别的,当 x=0 时也应成立∴ |sinT| -|cosT| =|sin0|-|cos0| =-1但当 0<T <π 时,0<|sinT|≤1,0<|cosT|<1,故有-1<|sinT|-|cosT|≤1 ,矛盾,所以满足①且小于 π 的正数 T 不存在故函数f(x)=|sinx|-|cosx|的最小正周期是 π三、最小公倍数法求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期,可以先求出各个三角函数的最小正周期,然后再求期最小公倍数 T,即为和函数的最小正周期。
例 4 求下列函数的最小正周期:(1)f(x)=sin3x+cos5x(2)f(x)=cos x-sin x.3421(3)f(x)=sin x+tan x.57解:(1)∵sin3x 的最小正周期为 T1= ,cos5x 的最小正周期为 T2= 而35和 的最小公倍数是 2π.325∴f(x)的最小正周期为 T=2π.(2) ∵cos x 的最小正周期为 T1= ,-sin x 的最小正周期为 T2=4π3421而 和 4π 的最小公倍数是 12π2∴f(x)=cos x-sin x 的最小正周期为 T=12π.(3)∵sin x 的最小正周期为 T1= ,tan x 的最小正周期为 T2= 5330737而 和 的最小公倍数是 70π107∴f(x)=sin x+tan x 的最小正周期为 T=70π.73说明:几个分数的最小公倍数,我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子,各分母的最大公约数为分母的分数四 图象法作出函数的图象,从图象上直观地得出所求的最小正周期例 5 求下函数的最小正周期1)y=|sin(3x+ )|33(2)y=| + sin2x|41解:(1)先作出函数 y=|sin(3x+ )|的图象(见图 1)3观察图象,易得所求的周期为 T= 。
2)先作出 y=| + sin2x|的图象(见图 2)41观察图象,易得所求的周期为 T=π五、恒等变换法通过对所给函数式进行恒等变换,使其转化为简单的情形,再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期例 6 求下列函数的最小正周期:(1) f(x)=sin(x+ )cos(x- )3(2) f(x)=sin 6x+cos 6x(3) f(x)= 2cos1解 (1) f(x)=sin(x+ )cos(x- )= |sin2x+sin |= sin2x+ 32132143∴最小正周期为 T= π(2) f(x)=sin 6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x=1- sin2x3= + cos4x85∴最小正周期为 T= 2(3) f(x)= = =x2cos1cos1xx2cs它与-cos2x 的周期相同,故得 f(x)的最小正周期为 T=π∏314。












