二项式定理知识点总结材料.doc

word二项式定理一、二项式定理：〔〕等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数对二项式定理的理解：（1） 二项展开式有项（2） 字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到（3） 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便在定理中假设，如此〔〕（4） 要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它表现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项〔如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等〕与其系数等方面有广泛应用对通项的理解：（1） 字母的次数和组合数的上标一样（2） 与的次数之和为（3） 在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例1．等于 〔 〕A． B C D.例2．〔1〕求的展开式的第四项的系数；〔2〕求的展开式中的系数与二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离〞的两项的二项式系数相等，即②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即③二项展开式的各系数的和等于，令，即；④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：（1） 二项式系数最大的项；（2） 项的系数绝对值最大的项；（3） 项的系数最大的项和系数最小的项；（4） 二项式系数的和；（5） 各项系数的和四、 多项式的展开式与展开式中的特定项（1） 求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开例题：求多项式的展开式（2） 求二项式之间四如此运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析例题：求的展开式中的系数例题：〔1〕如果在 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项〔2〕求的展开式的常数项思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择如此根据所求的展开式系数和特征来定例题：，求：〔1〕； 〔2〕； 〔3〕.六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：〔1〕进展近似计算〔2〕证明某些整除性问题或求余数〔3〕证明有关的等式和不等式。

如证明：取的展开式中的四项即可2、各种问题的常用处理方法〔1〕近似计算的处理方法当n不是很大，||比拟小时可以用展开式的前几项求的近似值例题：的计算结果准确到0.01的近似值是〔 〕（2） 整除性问题或求余数的处理方法①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的通常为1，假如为其他数，如此需对幂的底数再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面〔或者是某项〕一、二项就可以了③要注意余数的X围，对给定的整数，有确定的一对整数和，满足，其中为除数，为余数，，利用二项式定理展开变形后，假如剩余局部是负数，要注意转换成正数例题：求除以7所得的余数例题： 假如为奇数，如此被9除得的余数是 〔 〕例题：当且>1，求证【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试一、选择题：本大题共12个小题，每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．在的展开式中，的系数为〔 〕 A．B．C．D．2． ， 的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于〔 〕A．4 B．9 C．10 D．113．〔的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，如此n是〔 〕 A．10 B．11 C．12 D．134．5310被8除的余数是〔 〕A．1B．2C．3D．75． (1.05)6的计算结果准确到0.01的近似值是〔 〕6．二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，如此此展开式有理项的项数是　　　〔 〕 A．1B．2 C．3D．47．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，假如t+h=272，如此展开式的x项的系数是〔 〕A．B．1 C．2 D．38．在的展开式中的系数为〔 〕A．4 B．5 C．6 D．7 9．展开式中所有奇数项系数之和等于1024，如此所有项的系数中最大的值是〔 〕A．330 B．462 C．680 D．79010．的展开式中，的系数为〔 〕 A．－40 B．10 C．40 D．4511．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，如此x在[0，2π]内的值为〔 〕A．或B．或C．或D．或12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列an=3n－5的〔 〕A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项二、填空题：本大题总分为16分，每一小题4分，各题只要求直接写出结果.13．展开式中的系数是.14．假如，如此的值为__________.15．假如的展开式中只有第6项的系数最大，如此展开式中的常数项是        .16．对于二项式(1-x)，有如下四个命题：①展开式中T= －Cx；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．〔把你认为正确的命题序号都填上〕三、解答题：本大题总分为74分.17．〔12分〕假如展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１） 求n的值；〔２〕此展开式中是否有常数项，为什么？18．〔12分〕()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．19．〔12分〕是否存在等差数列，使对任意都成立？假如存在，求出数列的通项公式；假如不存在，请说明理由．20．〔12分〕某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。

如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩〔准确到1亩〕？21. 〔12分〕设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，假如其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.22．〔14分〕规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数〔n、m是正整数，且m≤n〕的一种推广．(1) 求的值；(2) 设x>０，当x为何值时，取得最小值？(3) 组合数的两个性质；①.　　②.是否都能推广到〔x∈R，m是正整数〕的情形？假如能推广，如此写出推广的形式并给出证明；假如不能，如此说明理由. / 。