鸡兔同笼问题新解.doc

鸡兔同笼”问题新解丹江口市余家营小学 陈军“鸡兔同笼”是我国古代数学的经典趣题， 1500年前的《孙子算经》就有记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”“鸡兔同笼”问题解法众多，常见的有列表法、画图法、假设法、抬（砍）腿法、方程法、公式法等这里向大家介绍一种比较少见的解法——图解法：分析解决鸡兔同笼问题，要同时考虑头数与脚数两个量的变化，我们可以借助长方形，用长方形的长表示头数，用长方形的宽表示每只的脚数，用长方形的面积表示脚数，再用组合图形的面积表示总脚数利用长方形面积组合图进行分析，形象直观、新颖别致，对发展学生思维，启发想象力很有裨益具体分析解答方法如下：AB表示每只鸡的脚数，那么AB=2，EF表示每只兔的脚数，那么EF=4， BC、CE分别表示鸡、兔的只数那么，长方形ABCD的面积表示鸡的总脚数，长方形CEFG的面积表示兔的总脚数故，长方形ABCD的面积+长方形CEFG的面积=94（只）解法一：延长AD交EF与H显然长方形ABEH的面积=BExAB=35x2=70（只）那么，长方形DHFG的面积=94-70=24（只）而HF=4-2=2（只）故，DH=24 ÷ 2=12（只）......兔的只数所以BC=35-12=23（只）......鸡的只数解法二：延长BA、FG交于H。

长方形BEFH的面积=BExEF=35x4=140（只）那么，长方形ADGH的面积=140-94=46（只）而DG=4-2=2（只）故，AD=46 ÷ 2=23（只）......鸡的只数所以CE=35-23=12（只）......兔的只数上面的解题过程比较正规，适合于中学生以及老师使用，为了便于小学生理解和使用，对1楼的解题过程进行了简化解法一：长方形①的面积表示鸡的脚数，长方形②和③的面积表示兔的脚数由题意可知长方形①+②+③的面积=94（只），而长方形①+②的面积=35×2=70（只）故长方形③的面积=94-70=24（只）因长方形③的宽=4-2=2（只），所以，长方形③的长= 24÷2=12（只），即兔有12只解法二：长方形①的面积表示鸡的脚数，长方形②的面积表示兔的脚数由题意可知长方形①+②的面积=94（只），而长方形①+②+③的面积=35×4=140（只）故长方形③的面积=140-94=46（只）因长方形③的宽=4-2=2（只），所以，长方形③的长= 46÷2=23（只），即鸡有23只鸡兔同笼”问题新解——图解法之运用一鸡兔同笼问题图解法，数与形结合，利用长方形面积图进行分析，新颖别致，形象直观，对突破学生思维障碍，帮助学生理解题意大有裨益。

下面以人教版六年级数学上册第七单元数学广角的一个练习题进行分析本题是知识抢答中的“鸡兔同笼”问题如果用“假设法”解决，存在一个理解上的困难，那就是：答对一题与答错一题之间，要相差10＋6＝16分，而不是10－6＝4分由于思维定势的影响，大多学生存在理解障碍所以在教学中，可以针对这个理解上的难点，采用图解法来帮助学生理解，进而突破思维障碍我们仅以第（1）小题为例进行分析②号选手共抢答8题，最后得分64分，他答对了几题？解法一：用长方形 ① 的面积表示答对所得总分，用长方形 ② 的面积表示答错所扣总分依题意可知长方形 ① -② 的面积=64，即长方形 ① 的面积=长方形 ② 的面积+64我们在等式的左右两边各加上长方形 ③ 的面积，可得到长方形 ① +③ 的面积=长方形② +③ 的面积+64而长方形① +③ 的面积=8×10=80，故长方形② +③ 的面积=80-64=16分，这个长方形的宽是10+6=16分，所以这个长方形的长=16÷16=1，即答错1题，那么答对8-1=7题解法二：用长方形① 的面积表示答对所得总分，用长方形② 的面积表示答错所扣总分依题意可知长方形① -② 的面积=64，即长方形① 的面积=长方形② 的面积+64。

我们在等式的左右两边各加上长方形③ 的面积，可得到长方形① +③ 的面积=长方形② +③ 的面积+64而长方形② +③ 的面积=8×6=48，故长方形① +③ 的面积=48+64=112分，这个长方形的宽是10+6=16，所以这个长方形的长=112÷16=7，即答对7题 “鸡兔同笼”问题新解——图解法之运用二对于有三种动物的“鸡兔同笼”问题，不断增加了动物的数量，也将研究的范围从“头”和“脚”扩大到“翅膀”，难度大大增加这类问题常规的解答方法是假设法，但由于学生推理能力以及思维能力的局限，学生理解起来很困难这个时候，我们可以采用“数形结合”的方法，借助长方形面积图进行讲解，形象而直观下面，以学生常见的一道复杂的鸡兔同笼题为例，进行图解蜘蛛有8条腿，没有翅膀；蜻蜒有6条腿，2对翅膀；蝉有6条腿、1对翅膀现在有一些蜻蜒、蜘蛛和蝉，已知它们的总数是18只，共有118条腿，20对翅膀每种昆虫各有多少只呢？解法一：第一步，先求出蜘蛛有多少只？用长方形① 和④ 的面积表示蜘蛛的总脚数，用长方形② 的面积表示蝉的总脚数用长方形③的面积表示蜻蜓的总脚数依题意可知长方形① +② +③ +④ 的面积=118。

由图可知，长方形① +② +③ 的面积=18×6=108故，长方形④ 的面积=118-118=10，而这个长方形的宽是8-6=2，所以这个长方形的长=10÷2=5，即蜘蛛有5只那么，蝉和蜻蜓共有18-5=13只第二步，分别求出蝉和蜻蜓各有多少只？用长方形① 和③ 的面积表示蜻蜓的总翅膀数，用长方形② 的面积表示蝉的总翅膀数依题意可知长方形③ +① +② 的面积=20由图可知，长方形① +② 的面积=13×1=13故，长方形③ 的面积=20-13=7，而这个长方形的宽是3-2=1，所以这个长方形的长=7÷1=7，即蜻蜓有7只那么，蝉有13-7=6只故，蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只解法二：第一步，先求出蝉和蜻蜓共有多少只？ 用长方形① 的面积表示蜘蛛的总脚数，用长方形② 的面积表示蝉的总脚数用长方形③的面积表示蜻蜓的总脚数依题意可知长方形① +② +③的面积=118由图可知，长方形① +② +③+④ 的面积=18×8=144故，长方形④ 的面积=144-118=26，而这个长方形的宽是8-6=2，所以这个长方形的长=26÷2=13，即蝉和蜻蜓共有13只，那么蜘蛛有5只第二步，分别求出蝉和蜻蜓各有多少只？用长方形①的面积表示蜻蜓的总翅膀数，用长方形② 的面积表示蝉的总翅膀数。

依题意可知长方形① +② 的面积=20由图可知，长方形① +② +③ 的面积=13×2=26故，长方形③ 的面积=26-20=6，而这个长方形的宽是3-2=1，所以这个长方形的长=6÷1=6，即蝉有6只那么，有蜻蜓13-6=7只故，蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只鸡兔同笼”问题新解——图解法之运用三已知练习本每本0.40元，铅笔每支0.32元老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师所给的10元钱但小虎把练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来0.56元，那么老师原打算让小虎买几本练习本？这道题是我2013年12月16日发在数学教学论坛的一个帖子中的鸡兔同笼问题求解与交流题这道题既不是基本题型也不是变形题型，理解起来相当困难下面我用图解法进行分析与演示：解：第一步，求出练习本和铅笔的数量一共是多少用长方形①的面积表示小虎应买练习本的钱数，长方形②的面积表示小虎应买铅笔用的钱数由题意可知长方形①+②的面积=10见图一）用长方形④的面积表示小虎实买练习本的钱数，长方形③的面积表示小虎实买铅笔用的钱数由题意可知长方形③+④的面积=10-0.56=9.44见图二）我们假设小虎买了两次，那么两次买文具的情况如下图（见图三，将图一、图二合并）由图可知，长方形①+②+③+④的面积=10+9.44=19.44；这个长方形的宽是0.40+0.32=0.72；那么这个长方形的长则=19.44÷0.72=27。

即练习本和铅笔的数量之和是27第二步，分别求出练习本和铅笔各有多少用长方形①的面积表示小虎应买练习本的钱数，长方形②的面积表示小虎应买铅笔用的钱数由题意可知，长方形①+②的面积=10；而由图可知，长方形①+②+③的面积=27×0.40=10.80故长方形③的面积=10.80-10=0.80而这个长方形的宽=40.40-0.32=0.08所以，长方形的长=0.80÷0.08=10，即铅笔有10支，那么练习本有27-10=17（本）故，老师原打算让小虎买17本练习本。