福建省福州市福清正宗侨中学2020-2021学年高一数学理上学期期末试题含解析.docx

福建省福州市福清正宗侨中学2020-2021学年高一数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正三棱锥中，，且两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（A） （B） （C） （D）参考答案：C2. 对于的一切值，是使恒成立的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件，也非必要条件参考答案：B 解析：若， （2）若不一定成立，取a=3，b=－1，在[0，1]上不恒成立，如x=0.1，有30.1－1<0.3. 如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，，则（ ）A. B. C. D.参考答案：B略4. 已知a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a参考答案：D∵ ，可得 是 单调减函数，∵ ，∴ ，∵ ，可得 为减函数，∵ ，∴ ，综上可得 ，故选D.5. 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为(　　)A.∶2 B.2∶1 C.∶2 D．3∶2参考答案：C6. 在△ABC中， =， =，且?＞0，则△ABC是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形参考答案：D【考点】三角形的形状判断．【分析】根据已知推断出?＜0，进而根据向量的数量积的运算推断出B＞90．【解答】解：∵?＞0∴?＜0∴B＞90，即三角形为钝角三角形，故选：D．7. 幂函数f（x）的图象过点（4，），那么f﹣1（8）的值是( )A． B．64 C． D．2参考答案：A考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；反函数． 专题：转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．分析：用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再根据反函数的概念令f（x）=8，求出x的值即可．解答：解：设幂函数f（x）=xα，其图象过点（4，），∴4α=，解得α=﹣，∴f（x）=；令f（x）=8，即=8，解得x=；即f﹣1（8）=．故选：A．点评：本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与反函数的关系与应用问题，是基础题目8. 定义两种运算：，那么定义在区间上的函数的奇偶性为 （ ）(A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既非奇函数也非偶函数参考答案：A略9. 定义在的偶函数，当时，，则的解集为A． B． C． D．参考答案：A略10. 下列四个结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则= ；参考答案：5略12. 设f（x）为定义在R上的奇函数，f（1）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=　 　．参考答案：5【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数求出f（0），利用抽象函数求出f（2），转化求解f（5）即可．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；f（1）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），当x=1时，f（3）=f（1）+f（2）=1+f（2），当x=﹣1时，f（1）=f（﹣1）+f（2），可得f（2）=2．f（5）=f（3）+f（2）=1+2f（2）=1+4=5．故答案为：5．13. 已知，，则 ．参考答案：试题分析：两式平方相加得14. 已知数列满足则的通项公式 参考答案：略15. 设函数f（x）满足f（n+1）=（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）为 .参考答案：9716. 若，则 ． 参考答案：略17. 关于函数，有下面四个结论：（1）是奇函数； （2）恒成立；（3）的最大值是； (4) 的最小值是.其中正确结论的是_____________________________________．参考答案：（2）（4）三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有 成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．参考答案：所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为．……8分19. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）求A∪B；（2）求（?UA）∩B；（3）求?U（A∩B）．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合．【分析】根据交、并、补集的运算法则运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）A∪B={1，2，3，4，5，7}（2）（?UA）={1，3，6，7}∴（?UA）∩B={1，3，7}（3）∵A∩B={5}?U（A∩B）={1，2，3，4，6，7}．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．20. （本小题满分13分）已知定义在R上的单调递增函数满足,且。

Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明之；（Ⅱ）解关于的不等式：Ⅲ）设集合,，若集合有且仅有一个元素，求证: 参考答案：（Ⅰ） 令，令，，函数为R上的奇函数 …………………………….（4分）（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，又函数是单调递增函数，，故 …………………………….（8分）（Ⅲ），，有且仅有一个元素，即方程组 有唯一解，即仅有一个实根，，即 …………………………….（13分）21. 设函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．参考答案：（1）周期为π，最大值为2.（2）【分析】（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的余弦，将函数的关系式化简余弦型函数，可求出函数的周期及最值；（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．【详解】（1）函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）＝1+cos2x＝cos（2x）+1，∵﹣1≤cos（2x）≤1，∴T，f（x）的最大值为2；（2）由题意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，即：cos（﹣2A），又∵0＜A＜π，∴2A，∴﹣2A，即A．在△ABC中，b+c＝2，cosA，由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，由于：bc，当b＝c＝1时，等号成立．∴a2≥4﹣1＝3，即a．则a的最小值为．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．22. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由线面垂直得CD⊥PA，由矩形性质得CD⊥AD，由此能证明CD⊥PD．（2）取PD的中点G，连结AG，FG．由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．再由已知条件推导出EF⊥CD，由此能证明EF⊥平面PCD．【解答】（本题满分8分）证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．（2）取PD的中点G，连结AG，FG．又∵G、F分别是PD、PC的中点，∴GF平行且等于CD，∴GF平行且等于AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．∵PA=AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．。