人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义第10讲 2.3二次函数与一元二次方程、不等式（原卷版）.doc

第03讲 2.3二次函数与一元二次方程、不等式课程标准学习目标①理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系②掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况③掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式通过本节课的复习与学习，会解一元二次方程、一元二次方程根的情况的处理、一元二次方程根与系数的关系；二次函数的图象与性质；会解一元二次不等式、含有参数的一元二次不等式、与一元二次不等式有关的存在与恒成立问题的处理；会解能转化为一元二次不等式的分式不等式；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，能处理与三者之间有关的问题知识点一：一元二次不等式的有关概念1、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：①（其中均为常数）②（其中均为常数）③（其中均为常数）④（其中均为常数）2、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.知识点二：四个二次的关系2.1一元二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.判别式二次函数(的图象一元二次方程()的根有两个不相等的实数根，()有两个相等的实数根没有实数根()的解集()的解集知识点三：一元二次不等式的解法1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；②时，求根；③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集.知识点四：解分式不等式4.11、分式不等式4.1.1定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。

4.1.2分式不等式的解法①移项化零：将分式不等式右边化为0：②③④⑤题型01 一元二次不等式（不含参）的求解 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【典例2】（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（    ）A． B．或 C． D．或【典例3】（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式：(1)(2)(3) (4)【变式1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）解不等式：(1)；(2).题型02一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）若，则关于的不等式的解集是（    ）A． B．或 C．或 D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式.【典例3】（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知．(1)当时，求不等式的解集；(2)解关于的不等式．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）解不等式.【变式2】（2023·高一课时练习）解关于的不等式 ．题型03一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参）【典例1】（2023·辽宁沈阳·统考三模）不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若，则关于的不等式的解集为（    ）A． B．C．或 D．或【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（    ）A．或 B．{x|x>a}C．或 D．【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的函数．(1)当时，求不等式的解集.(2)当时，求不等式的解集.【典例5】（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式（）．【变式1】（2023·高一课时练习）已知，关于x的不等式的解集为（    ）A．或 B． C．或 D．【变式2】（2023·高一课时练习）解下列关于的不等式：().题型04一元二次不等式与对应函数、方程的关系【典例1】（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，解不等式的解集为__________【变式1】（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集为，则ab＝_________________.题型05分式不等式的解法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为________.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则______，______.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ）A． B．C． D．题型06一元二次方程的实根分布问题【典例1】（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）已知(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．【典例3】（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为___________.【变式1】（2023春·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考期中）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．题型07一元二次不等式的实际问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？【变式1】（2023·全国·高三专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45【变式2】（2023·高一课时练习）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．(1)求的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．题型08重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法一：判别法【典例1】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（    ）A． B．C．或 D．或【典例2】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是________.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知对任意，恒成立，则实数a的取值范围是________．题型09重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法二：变量分离法【典例1】（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为________________.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．题型10数学思想方法（分类讨论）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式.【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．题型11易错题篇（忽略了首项系数化正）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023·河北·统考模拟预测）若集合，，则（    ）A． B． C． D．【典例3】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知，，则（    ）A． B． C． D．【典例4】（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．2.3二次函数与一元二次方程、不等式A夯实基础 B能力提升 C综合素养A夯实基础 一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．或2．（2023·辽宁丹东·统考二模）不等式的解集为（    ）A． B．C． D．或，3．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若不等式的解集为或，则（　　）A．， B．，C．， D．，4．（2023·江西·统考模拟预测）设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．6．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，若有解，则实数的取值范围时（    ）A．或。