二次函数图像与性质优秀课件.ppt

第4课时 二次函数1．二次函数的解析式有三种常用表达．二次函数的解析式有三种常用表达形式形式(1)一般式：一般式：f(x)＝＝ ；；(2)顶点式：顶点式：f(x)＝＝a(x－－h)2＋＋k(a≠0)，，(h，，k)是顶点；是顶点；(3)标根式标根式(或因式分解式或因式分解式)：：f(x)＝＝a(x－－x1)(x－－x2)(a≠0)；其中；其中x1，，x2分别是分别是f(x)＝＝0的两实根．的两实根．基础知识梳理基础知识梳理ax2＋＋bx＋＋c(a≠0)2．二次函数的图象及其性质．二次函数的图象及其性质基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理二次函数可以为奇函数吗？二次函数可以为奇函数吗？【【思考思考··提示提示】】　不会为奇　不会为奇函数．函数．1．已知函数．已知函数f(x)＝＝4x2－－mx＋＋5在在区间区间[－－2，＋，＋∞)上是增函数，则上是增函数，则f(1)的的范围是范围是(　　　　)A．．f(1)≥25　　　　　　B．．f(1)＝＝25C．．f(1)≤25 D．．f(1)＞＞25答案：答案：A三基能力强化三基能力强化2．若函数．若函数f(x)＝＝ax2＋＋bx＋＋c满足满足f(4)＝＝f(1)，那么，那么(　　　　)A．．f(2)＞＞f(3)B．．f(3)＞＞f(2)C．．f(3)＝＝f(2)D．．f(3)与与f(2)的大小关系不确定的大小关系不确定答案：答案：C三基能力强化三基能力强化3．已知函数．已知函数y＝＝x2－－2x＋＋3在闭区在闭区间间[0，，m]上有最大值上有最大值3，最小值，最小值2，则，则m的取值范围是的取值范围是(　　　　)A．．[1，＋，＋∞) B．．[0,2]C．．[1,2] D．．(－－∞，，2]答案：答案：C三基能力强化三基能力强化4．抛物线．抛物线y＝＝8x2－－(m－－1)x＋＋m－－7 的顶点在的顶点在x轴上，则轴上，则m＝＝_______. 答案：答案：9或或25三基能力强化三基能力强化利用已知条件求二次函数解析利用已知条件求二次函数解析式，常用的方法是待定系数法，但式，常用的方法是待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式求可根据不同的条件选用适当形式求f(x)解析式．解析式．课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一求二次函数的解析式求二次函数的解析式1．已知三个点坐标时，宜用一．已知三个点坐标时，宜用一般式．般式．2．已知抛物线的顶点坐标与对．已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最大称轴有关或与最大(小小)值有关时，常值有关时，常使用顶点式．使用顶点式．3．若已知抛物线与．若已知抛物线与x轴有两个交轴有两个交点，且横轴坐标已知时，选用两根式点，且横轴坐标已知时，选用两根式求求f(x)更方便．更方便．课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1已知已知f(x)是二次函数，且是二次函数，且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求求f(x)的解析的解析式．式．求二次函数的最值必须认清定求二次函数的最值必须认清定义域区间与对称轴的相对位置以及义域区间与对称轴的相对位置以及抛物线的开口方向抛物线的开口方向(即二次函数中二即二次函数中二次项系数的正负次项系数的正负)，然后借助于二次，然后借助于二次函数的图象或性质求解．因此，定函数的图象或性质求解．因此，定义域、对称轴及二次项系数是求二义域、对称轴及二次项系数是求二次函数的最值的三要素．次函数的最值的三要素．课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二二次函数的最值二次函数的最值课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2函数函数f(x)＝＝x2－－4x－－4在闭区间在闭区间[t，，t＋＋1](t∈∈R)上的最小值记为上的最小值记为g(t)．．(1)试写出试写出g(t)的函数表达式；的函数表达式；(2)作作g(t)的图象并写出的图象并写出g(t)的最的最小值．小值．【【思路点拨思路点拨】】　二次函数的对　二次函数的对称轴称轴x＝＝2，分情况讨论，分情况讨论x＝＝2是否在是否在区间区间[t，，t＋＋1]内．内．课堂互动讲练课堂互动讲练【【解解】】　　(1)f(x)＝＝x2－－4x－－4＝＝(x－－2)2－－8.当当t>2时，时，f(x)在在[t，，t＋＋1]上是增上是增函数，函数，∴∴g(t)＝＝f(t)＝＝t2－－4t－－4；；当当t≤2≤t＋＋1，即，即1≤t≤2时，时，g(t)＝＝f(2)＝－＝－8；；当当t＋＋1<2，即，即t<1时，时，f(x)在在[t，，t＋＋1]上是减函数，上是减函数，∴∴g(t)＝＝f(t＋＋1)＝＝t2－－2t－－7.(2)g(t)的图象如图所示．的图象如图所示．g(t)的最小值为－的最小值为－8.课堂互动讲练课堂互动讲练【【规律小结规律小结】】　二次函数区间最　二次函数区间最值主要有三种类型：轴定区间定，轴值主要有三种类型：轴定区间定，轴定区间动和轴动区间定．定区间动和轴动区间定．一般来说，讨论二次函数在闭区一般来说，讨论二次函数在闭区间上的最值，主要是看区间是落在二间上的最值，主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而应次函数的哪一个单调区间上，从而应用单调性求最值．用单调性求最值．课堂互动讲练课堂互动讲练若题目变为：已知函数若题目变为：已知函数f(x)＝－＝－x2＋＋2ax＋＋1－－a在在x∈∈[0,1]时有最大值时有最大值2，求，求a的的值．值．解：解：函数函数f(x)＝－＝－x2＋＋2ax＋＋1－－a＝－＝－(x－－a)2＋＋a2－－a＋＋1对称轴方程为对称轴方程为x＝＝a.(1)当当a＜＜0时，时，f(x)max＝＝f(0)＝＝1－－a，，∴∴1－－a＝＝2，，∴∴a＝－＝－1.课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究(2)当当0≤a≤1时，时，f(x)max＝＝a2－－a＋＋1，，∴∴a2－－a＋＋1＝＝2，，∴∴a2－－a－－1＝＝0，，(3)当当a＞＞1时，时，f(x)max＝＝f(1)＝＝a，，∴∴a＝＝2.综上可知综上可知a＝－＝－1或或a＝＝2.课堂互动讲练课堂互动讲练二次函数常和二次方程、二次二次函数常和二次方程、二次不等式结合在一起．不等式结合在一起．三个三个“二次二次”以二次函数为核心，以二次函数为核心，通过二次函数的图象贯穿为一体，通过二次函数的图象贯穿为一体，因此，解题时通过画二次函数的图因此，解题时通过画二次函数的图象来探索解题思路是非常行之有效象来探索解题思路是非常行之有效的方法．的方法．课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三二次函数的综合问题二次函数的综合问题对于通过换元可转化为二次函数对于通过换元可转化为二次函数的问题，要注意中间变元的取值范围，的问题，要注意中间变元的取值范围，它是转化后二次函数的定义域．它是转化后二次函数的定义域．课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)已知二次函数已知二次函数f(x)＝＝ax2＋＋bx(a，，b为常数，且为常数，且a≠0)满足条件：满足条件：f(－－x＋＋5)＝＝f(x－－3)，且方程，且方程f(x)＝＝x有等根．有等根．(1)求求f(x)的解析式；的解析式；(2)是否存在实数是否存在实数m，，n(m＜＜n)，使，使f(x)的定义域和值域分别为的定义域和值域分别为[m，，n]和和[3m,3n]？如果存在，求出？如果存在，求出m，，n的值；的值；如果不存在，说明理由．如果不存在，说明理由．课堂互动讲练课堂互动讲练【【思路点拨思路点拨】】　　(1)待定系数法．待定系数法．(2)二次函数的单调性．二次函数的单调性．【【解解】】　　(1)依题意，方程依题意，方程f(x)＝＝ax2＋＋bx＝＝x有等根，有等根，则有则有Δ＝＝(b－－1)2＝＝0，，∴∴b＝＝1. 2分分又又f(－－x＋＋5)＝＝f(x－－3)，，故故f(x)的图象关于直线的图象关于直线x＝＝1对称，对称，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练由由①①知知m＝＝0或或m＝－＝－4，，由由②②知知n＝＝0或或n＝－＝－4.课堂互动讲练课堂互动讲练∴∴取取m＝－＝－4，，n＝＝0.即存在实数即存在实数m＝－＝－4，，n＝＝0使使f(x)的定义域为的定义域为[－－4,0]，值域为，值域为[－－12,0]. 12分分【【名师点评名师点评】】　解决本题的关键　解决本题的关键是确定是确定n的范围，从而把定义域的范围，从而把定义域[m，，n]“放放”在增区间内，问题便可解决．在增区间内，问题便可解决．(本题满分本题满分10分分)已知函数已知函数f(x)＝＝x2＋＋2ax＋＋2，，x∈∈[－－5,5]．．(1)当当a＝－＝－1时，求函数时，求函数f(x)的最的最大值和最小值；大值和最小值；(2)求实数求实数a的取值范围，使的取值范围，使y＝＝f(x)在区间在区间[－－5,5]上是单调函数．上是单调函数．课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅解：解：(1)当当a＝－＝－1时，时，f(x)＝＝x2－－2x＋＋2＝＝(x－－1)2＋＋1，，x∈∈[－－5,5]，，∵∵f(x)的对称轴为的对称轴为x＝＝1，，∴∴x＝＝1时，时，f(x)取最小值取最小值1；；x＝－＝－5时，时，f(x)取最大值取最大值37. 4分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)f(x)＝＝x2＋＋2ax＋＋2＝＝(x＋＋a)2＋＋2－－a2的对称轴为的对称轴为x＝－＝－a，，∵∵f(x)在在[－－5,5]上是单调函数，上是单调函数，∴∴－－a≤－－5，或－，或－a≥5，，解得解得a≤－－5，或，或a≥5. 10分分课堂互动讲练课堂互动讲练1．二次函数．二次函数f(x)＝＝ax2＋＋bx＋＋c(a＞＞0)在区间在区间[m，，n]上的最值．上的最值．规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结2．注重数形结合，密切联系图象．注重数形结合，密切联系图象是研究和掌握二次函数性质的基本方是研究和掌握二次函数性质的基本方法．对于二次方程根的分布，需要结法．对于二次方程根的分布，需要结合图象，从三个方面考虑：合图象，从三个方面考虑：(1)判别式，判别式，(2)区间端点函数值的正负，区间端点函数值的正负，(3)对称轴对称轴与区间端点的位置关系．二次函数、与区间端点的位置关系．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式是一一元二次方程与一元二次不等式是一个有机整体，用函数思想研究方程和个有机整体，用函数思想研究方程和不等式是高考的热点．不等式是高考的热点．规律方法总结规律方法总结。