【备战高考文科数学】题型全突破：压轴题高分策略之函数的模型与应用（解析版）.doc
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压轴题高分策略之函数的模型与应用（解析版）【考点剖析】1. 最新考试说明：（1） 了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征，知道直线上升、指数增长等不 同函数的类型增长的含义.（2） 了解函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型）的广泛应用.2. 命题方向预测：（1）将实际问题会抽象成数学模型.（2 ）用函数思想解决数学问题.（3 ）熟练掌握几 种常见的函数模型（一次函数二次函数指数函数，对数函数,幕函数，分段函数）.（4） 考查解决函数应用问题的能力，阅读能力、建立函数模型的能力，求解函数模型的能力.【知识梳理】1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用 两个核心变量进行表示）以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数， 进而搭建出函数模型，再根据导数,均值不等式等工具求出最值（2 ）需用到的数学工具与知识点：① 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两 个变量之间的关系，在题目中若有多种情况,且不同的情况对应不同的计算方式，则通 常要用分段函数进行表示。
② 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等）， 则可利用导数分析其单调性，进而求得最值③ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值④ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形,并利用换元将其转化为熟 悉的函数求解(3 )常见的数量关系：①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积二底X高梯形面积飞X(上底+下底)X咼三角形面积底X高②商业问题：总价二单价X数量禾1」润=营业额-成本二货物单价X数量-成本③利息问题:利息=本金X利率本息总和=本金+利息=本金X利率+本金(4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数 时,变量应取正整数涉及到钱，速度等问题,变量的取值应该为正数2、使用线性规划模型解决实际问题(1)题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系， 且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题(2 )与函数模型的不同之处① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的 范围(或最值)② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含 两个变量的表达式的最值。
3) 解题步骤：根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示）,并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可 在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小【典例1］【2016髙考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若 该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12% z则该公司全年投入的硏发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据:lgl.l2=0.05 , lgl.3=0.11, lg2=0.30）（A）2018 年 （B） 2019 年 （C）2020 年 （D）2021 年200万元，由已知得【答案】B【解析】设从2015年后第垃年该公司全年投入的研发资金幵始超过130x(l + 12%r>2008.-.l.ir>^两 边 取 常 用 对 数 得200130>lg2-lgl.3 lgl-12罟—…故选氏学科网【考点走位】1・増长率问题：2•常用对数的应用.【思路点拨】本题考查等比数列的实际应用.在实际问题中平均増长率问题可以看作是等比数列的应用， 解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解 得结论.【典例2］【2015高考四川，文8］某食品的保鲜时间错误!未找到引用源。
单位：小 时）与储藏温度错误!未找到引用源单位：°C）满足函数关系错误!未找到引用源错误! 未找到引用源为自然对数的底数，错误!未找到引用源为常数）•若该食品在错误味 找到引用源°C的保鲜时间是错误!未找到引用源小时，在错误!未找到引用源°C的 保鲜时间是错误!未找到引用源小时，则该食品在错误!未找到引用源°C的保鲜时间 是（ ）（舛16小时 （冈20小时 （024小时 （0）21小时【答案】C192=? 19・1 °【解析】由题意,“s得丿1 山，于是当x=33时，尸严—（严尸• £=（『>< 192=24（小 48 =严7 - = g山 212时）【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考 查学生应用函数思想解决实际问题的能力.【思路点拨】指数函数是现实生活中最常容易邁到的一种函数模型，如人口増长率、银行储蓄等等，与人 们生活密切相关•本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代入，即可求出其中的待定常 数•但本题需要注意的是：并不需要得到左和方的准确值，而只需求出h和然后整体代入后面的算式, 即可得到结论，否则将増加运算重•属于中档题【典例3] [2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为〃可食用率〃 •在特定条件下，可食用率错误!未找到引用源。
与加工时间错误!未找到引用源单位：分钟）满足的函数关系错误!未找到引用源错误!未找到引用源错误!未找到引用源错误!未找到引用源是常数），下图记录了三次实验的数据•根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.错误!未找到引用源分钟B.错误!未找到引用源分钟 C.错误!未找到引用源分钟D.错误!未找到引用源分钟0.80.7 ().5【答案】B【解析】由图形可知，三点错误!未找到引用源都在函数错误!未找到引用源的图象 上，所以错误味找到引用源解得错误味找到引用源所以错误味找到引用源错误!未找到引用源因为错误!未找到引用源所以当错误!未找到引用源时，错误!未找到引用源取最大值，故此时的t二错误味找到引用源分钟为最佳加工时间,故选B.【考点定位】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数 的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.【思路点拨】本题解决问题的思路是根据题的要求，先求出二次函数的解析式,然后再 根据二次函数的性质完成命题的要求.【典例4】如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPV要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。
已知AB = 3米，AD = 2 米1）设4N二兀（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值 范围；（2 ）若"[3,4）（单位：米），则当AM, AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的 面积最大？并求出最大面积答案】（l）xw 2,2 （8,+00） （2）当 AN = 3, AM =9 时，四边形 AMPN 的I 3丿【解析】(1)思路：根据相似三角形可得线段比例:ND _ DC3x从而解出挝“口'则3 L v*S阳=.4N AM =—,从而可得-^― > 32 ,x —2 x—2DC ・ AN 二 DC AN _ 3xND AN-AD ~••・£”、•斗4冷卜⑷二丄二 依题蕙可得:x-2* > 32 二 丫一>3工-32x + 64 a0(x>0、|解得：xe(2号)U(&+®>)3工⑵思路：求叔RV面积的最犬值，嗣= r的最大值，分离常数求解即可3x2M： i§/(x) = —- xe卩,4)x-2.••/(x) = 3(x+2+占卜3(x-2 +占+」；设r = x-2,则re[1.2)则》=3卜+ ?+4卜根据对勾函数可得：21时，y达到最大值，即v = 27此时r = inx = 3, AX = 3:XV = -^― = 9x-2答：当4入「= 3乂M=9时，四边形4WRV的面积最大，为27才【跟踪训练】1.【2014福建，文9]要制作一个容积为错误!未找到引用源。
高为lm的无盖长方 体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则错误味找到引用源答案】错误!未找到引用源解析】设长方体底面边长分别为错误!未找到引用源则错误!未找到引用源所 以容器总造价为错误味找到引用源由基本不等式得，错误!未找到引用源当且 仅当底面为边长为错误!未找到引用源的正方形时，总造价最低z选错误!未找到引用 源考点定位】函数的应用，基本不等式的应用.【思路点拨】本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解 析式,再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一正、二定、 三相等"这三个条件，注意创造〃定"这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加 系数等处理,使之可用基本不等式来解决，若多次使用基本不等式，必须保持每次取等的一 致性.2.时下网校教学越来越受到广大学生的喜爰，它已经成为学生们课外学习的一种趋势, 假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格:x （单位：元/套）满足 的关系式y = 旦 + 4（x - 6）2 ,其中2 ＜兀v 6,加为常数.已知销售价格为4元/套时, x-2每日可售出套题21干套.（1）求加的值；（2 ）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数）, 试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大•（保留1位小数） 【答案】（1）10 （2）在x = ^-取得最大值，即兀士yyj q解：〔1)将x = 4sy = 21代入关系式可得：21 = _ + 4(4-6)亠=加=10(2 )思路：依题意可得售出一套，所得利润为(x-2)元，所以总的利润/(x) = (x-2)；-^ + 4(x-6)J,其中2
