浅谈空间点到直线的距离.docx

.浅谈空间点到直线的距离的多种方法摘要本文主要利用定义法、最短距离法、垂直法、三角函数法、中点公式、垂直平面法、拉格朗日乘数法、平行四边形面积法、矩阵等九种方法求点到空间直线的距离关键词定义法最短距离法垂直法三角函数法中点公式垂直平面法平行四边形面积法拉格朗日乘数法矩阵方法一定义法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M0〔x0,y0,z0〕与直线l：x-x1X=y-y1Y=z-z1Z这里M1x1,y1,z1为直线l上的一点，v=X,Y,Z为直线l的方向矢量我们考虑以v和矢量M1M0为两边构成的平行四边形，这个平行四边形的面积等于v×M1M0，显然点M0到l的距离d就是这个平行四边形的对应于以v为底的高，因此有d=v×M1M0v=y0-y1z0-z1YZ2+z0-z1x0-x1ZX2+x0-x1y0-y1XY2X2+Y2+Z2例1求点P11,-2,1到直线a：x1=y-12=z+3-2的距离解：法一：利用点到直线的距离公式dP1,a=-142-22+41-212+1-312212+22+-22=653方法二最短距离法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M0〔x0,y0,z0〕与直线l：x-x1X=y-y1Y=z-z1Z这里M1x1,y1,z1为直线l上的一点，v=X,Y,Z为直线l的方向矢量。

设最短点B〔x,y,z〕得x=x1+tXy=y1+tYz=z1+tZ求d=x0-x2+y0-y2+z0-z2最小时t的值，t取最小值时d值就是所求距离例1求点P11,-2,1到直线a：x1=y-12=z+3-2的距离解：法二：设最短点B〔x,y,z〕∴x=ty=1+2tz=-3-2td=x-12+y+22+z+32=9t2+26t+26=9t+1392+659当t=-139时d=653即距离d=653方法三垂直法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M0〔x0,y0,z0〕与直线l：x-x1X=y-y1Y=z-z1Z这里M1x1,y1,z1为直线l上的一点，v=X,Y,Z为直线l的方向矢量设最短点Bx,y,z∵M0B⊥v∴x1-x0-tX,y1-y0-tY,z1-z0-tZX,Y,Z=0求出t的值，即可求B点坐标，即距离d=M0B例1求点P11,-2,1到直线a：x1=y-12=z+3-2的距离解：法三：利用两点的距离公式，这时只要过点P1作直线a1，使a1与直线a垂直相交然后求出交点的坐标因为过点P1而和已知直线垂直的平面的方程为〔x-1〕+2(y+2)-2(z-1)=0即x+2y-2z+5=0解方程组x1=y-12=z+3-2x+2y-2z+5=0得到由P1到直线a所引垂线的坐标为〔-139,-179,-19〕因此P1到直线a的距离为dP1,a=1+1392+-2+1792+1+192=653方法四三角函数法:在空间直角坐标系下，给定空间一点M0〔x0,y0,z0〕与直线l：x-x1X=y-y1Y=z-z1Z这里M1x1,y1,z1为直线l上的一点，v=X,Y,Z为直线l的方向矢量。

cosθ=M1M0vM1M0v以此求出sinθ令M1M0sin⁡θ=d即求出点到直线的距离例1求点P11,-2,1到直线a：x1=y-12=z+3-2的距离解：法四：由题意得P11，-2,1，M为a上一点，M（0,1,-3）v=1,2,-2为直线a的方向矢量cosθ=MP1vMP1v=266∴sinθ=106∴d=MP1sinθ=653方法五中点坐标公式：在空间：x-x1X=y-y1Y=z-z1Z这里M1x1,y1,z1为直线l上的一点，v=X,Y,Z为直线l的方向矢量设M2〔x,y,z〕得x=x0+tXy=y0+tYz=z0+tZ令M1M0=M2M0求出t的值，即可求出M2〔x,y,z〕∵Bx1+x2,y1+y2,z1+z2即距离d=M0B例1求点P11,-2,1到直线a：x1=y-12=z+3-2的距离解：法五：由题意得P11，-2,1，M1为a上一点，M10,1,-3v=1,2,-2为直线a的方向矢量设M2x,y,z得x=ty=1+2tz=-3-2t令M1P1=M2P1即12+-32+42=x-12+y+22+z+32得t=0(舍去)或t=269即M2269,619,-799∵B=M1+M22∴B139,359,-539d=P1B=139-12+359+22+-539-12=653方法六垂直平面法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M0〔x0,y0,z0〕与直线l：x-x1X=y-y1Y=z-z1Z这里M1x1,y1,z1为直线l上的一点，v=X,Y,Z为直线l的方向矢量。

过M0做与直线垂直的平面，求出交点B再利用两点的距离公式即平面:X(x-x0)+Y(y-y0)+Z(z-z0)=0 (1)l:x-x0X=y-y0Y=z-z0Z (2)由〔1〕〔2〕可得B点坐标，即距离d=M0B例1求点P11,-2,1到直线a：x1=y-12=z+3-2的距离解：法六：设平面π的法矢量为n，那么n和直线a的方向矢量s垂直另一方面n又垂直于平面π'的法矢量n',因此n=n'×s，但n'=P0P1×s,所以n=(P0P1×s)×s=P0P1∙s∙s-s∙sP0P1=-22,1,-10因为不通过直线a的点P0，因而它的方程为-22〔x-0〕+(y-1)-10(z+3)=0即d=22×1-1×-2+10×1+3222+-12+102=653方法七平行四边形面积法：在空间直角坐标系下，给定空间一点M0〔x0,y0,z0〕与直线l：x-x1X=y-y1Y=z-z1Z这里M1x1,y1,z1为直线l上的一点，v=X,Y,Z为直线l的方向矢量M1M0=x0-x1,y0-y1,z0-z1S平行四边形=M1M0×v=d⋅v那么距离d=y0-y1z0-z1YZ2+z0-z1x0-x1ZX2+x0-x1y0-y1XY2X2+Y2+Z2例1求点P11,-2,1到直线a：x1=y-12=z+3-2的距离解：法七：由题意得P11，-2,1，M1为a上一点，M10,1,-3v=1,2,-2为直线a的方向矢量。

M1P1=1,-3,4∵S=M1P1×v=d∙v那么距离d=-142-22+41-212+1-312212+22+-22=653方法八拉格朗日乘数法：利用求条件极值的拉格朗日乘数法，给出空间中点P〔x0,y0,z0〕到直线l:π1 :A1x+B1y+C1z+D1=0π2:A2x+B2y+C2z+D2=0的距离公式d=A1x0+B1x0+C1x0+D1n2-A2x0+B2x0+C2x0+D2n1n1×n2其中ni=Ai,Bi,Ci，i=1例2 求点P2,3,-1到直线2x-2y+z+3=03x-2y+2z+17=0的距离解：法一：由题意得：n1=2,-2,1 n2=3,-2,2由距离公式d=A1x0+B1x0+C1x0+D1n2-A2x0+B2x0+C2x0+D2n1n1×n2=15⋅33=15方法九用矩阵形式表示：空间中点P〔x0,y0,z0〕到直线l:π1 :A1x+B1y+C1z=D1π2:A2x+B2y+C2z=D2的距离记p'=x0y0z0,D=D1D2,A=A1B1C1A2B2C2，u=xyz定点P到空间直线A u=D的距离d=D-Ap'TAAT-1D-Ap'例2 求点P2,3,-1到直线2x-2y+z+3=03x-2y+2z+17=0的距离解：法二：由题意得：p'=23-1,D=-3-17,A=2-213-22，u=xyz定点P到空间直线Au=0的距离d=D-Ap'TAAT-1D-Ap'=-3-17--3-2T9121217-1-3-17--3-2=15×15=15参考文献：[1]吕林根,许子道.解析几何第三版M.高等教育,2001,133-134[2]帅绪之.解析几何M .华东师范大学,1990,131-133[3]高遵海.点到空间直线距离的一个公式J.高等数学研究,2005,4-5- 优选。