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构造函数解题中应用(改3) 构造函数在解题中的应用(改3) 本文关键词：解题，构造，函数 构造函数在解题中的应用(改3) 本文简介：构造函数在解题中的应用山东省定陶县第一中学谢于民274100函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、探讨问题，转化问题并解决问题因此函数思想的实质是用联系和改变的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系函数思想在数学应用中占有重要的地们，应用范围很广 构造函数在解题中的应用(改3) 本文内容： 构造函数在解题中的应用 山东省定陶县第一中学 谢于民 274100 函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、探讨问题，转化问题并解决问题因此函数思想的实质是用联系和改变的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系函数思想在数学应用中占有重要的地们，应用范围很广函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、几何等问题也经常可以通过构造函数来求解下面我们就举例说明构造函数的方法在解题中的应用 一、 构造方程中的函数 函数与方程有着亲密的关系，对于条件中的方程若能奇妙构造出函数利用函数性质解题，则是一种创建性思维活动，往往可以使问题化难为易，避繁就简。

例1． 设x、y∈[-,],且 求cos(x+2y)的值 ② ① 解： 由① 2a=x+sinx 由② 2a=(-2y)+sin(-2y) 故构造函数 f(x)= x+sinx 则f(x)=f(-2y) 因为f′(x)=3x+cosx >0 所以f(x)在[-,]上是增函数 由f(x)=f(-2y) 得x=-2y 即x+2y=0 所以 cos(x+2y)=1 评：通过变换题设中给出的的方程组，可构造函数f(x)= x+sinx，然后转化为同一函数的两个函数值相等，再利用函数的单调性得出两自变量相等，进而得解 例2.已知分别满意·lg=1004,·10=1004 则等于（ ） A B 1004 C D 2022 解：令f(x)=10 f(x)= f(x)= 由·lg=1004 得lg= 所以 方程·lg=1004的根 即为函数f(x)= 与函数f(x)=的图象交点A的横坐标，故可设A(,) 同理，方程·10=1004的根 即为函数f(x)=10与f(x)=的图象交点B的横坐标 可设B（，） 因为f(x)= 图象关于y=x对称 f(x) =10与f(x) =lgx互为反函数 图象关于y=x对称 所以 A、B关于y=x对称 所以= 所以=1004 故选B 评：由已知方程的特点，构造函数f(x) =x、f(x) =、f(x) =10，把方程的根看作两函数图象交点的横坐标，利用三函数图象的对称性得出交点的对称性而得解。

二、 构造不等式中的函数 不等式的证明是中学数学中的一个常见问题，在各类考试中常常出现，很多学生往往感到有些困难，找不到思路，有些问题假如构造协助函数利用函数性质来证明不等式，将思路简捷，而且有肯定的方法和规律 例3. （2022 辽宁高考）函数f(x)的定义域为R,，f(-1)=2 对随意x R， f′(x)>2 ，则f(x)>2x+4的解集为（ ） A (-1,1) B (-1,+) C (-,-1) D (-,+) 解：令g(x)=f(x)-2x-4 则g(-1)=f(-1)-2·(-1)-4=0 又g′(x)=f′(x)-2>0 所以g(x)在(-,+)上是增函数 所以原不等式可化为g(x)>g(-1) 所以x>-1 故选B 评：f(x)解析式不详细，通过构造新的函数，借助函数的单调性，由函数值的大小转化为所求自变量x的取值集合 例4 已知数列 其中= = 求证：< 证明：因为== 所以== 令f(x)=x- 则f′(x)=1- cosx 令f′(x)=0 得cosx= 所以给定区间（0，） f′(x)<0 所以f(x)在（0，）上单调递减 所以f(x)< f(0)=0 x （0，） 即x< 在（0，）上恒成立 又0<< 所以

三、 构造几何中的函数 对于几何中的最值问题，许多状况下都是构造函数法，把动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值 例5、如右图，已知在ABC中，C=90，PA平面ABC，AEPB交PB于E，AFPC于F，AP=AB=2，AEF=，当改变时，求三棱锥 P－AEF体积的最大值 解：因为PA平面ABC，BC 平面ABC， 所以PABC又因为BCAC， 所以BC平面PAC而AF平面PAC， 所以BCAF 又因为AFPC， ，所以AF平面PBC 而EF平面PBC，所以AFEF. 所以EF是AE在平面PBC内的射影因为AEPB，所以EFPB，所以PE平面AEF 在RtPAB中，因为AP=AB=2，AEPB，所以PE=，AE=，AF=sin，EF=cos 因为，所以 所以， 评：的改变是由AC与BC的改变引起的，要求三棱锥P－AEF的体积，则需找到三棱锥P－AEF的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大 例6、已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满意=2，点P段AB上，且（t是不为零的常数）。

（1） 求点P的轨迹方程C； （2） 若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在 坐标轴上），点Q（，3），求QMN面积S的最大值 解： 评：上例抓住了双曲线方程和椭圆方程中两个变量的联系，将目标函数构造成二元目标函数的表达式，由此求解最值，也使得运算过程更为简洁 构造协助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明白，从而易于找到一种科学的解题途径其次数量关系是数学中的一种基本关系现实世界的困难性确定了数量关系的多元性因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在 8 篇2：第五届全国中学生数理化学科实力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解(13、15) 第五届全国中学生数理化学科实力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解(13、15) 本文关键词：展示，数理化，解题，第五届，九年级 第五届全国中学生数理化学科实力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解(13、15) 本文简介：第五届全国中学生数理化学科实力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解三、解答题13.某出租车公司买了每辆价值2a元的出租车投入运营，由调查得知：每辆出租车每年客运收入约为a元，且每辆客车第n年的油料费、修理费及其他各种管理费用总和P（n）与年数n成正比，又知第三年每辆出租车以上费用是该年客运收入的4 第五届全国中学生数理化学科实力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解(13、15) 本文内容： 第五届全国中学生数理化学科实力展示活动 九年级数学解题技能展示试题选解 三、解答题 13.某出租车公司买了每辆价值2a元的出租车投入运营，由调查得知：每辆出租车每年客运收入约为a元，且每辆客车第n年的油料费、修理费及其他各种管理费用总和P（n）与年数n成正比，又知第三年每辆出租车以上费用是该年客运收入的48%.（1）写出每辆出租车运营的总利润（客运收入扣除总费用及其成本）y（元）与n的函数关系式.（2）每辆出租车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？ 解：(1)因为P（n）与年数n成正比，设P（n）=kn 当n=3时，P(n)=48%a=3k,，所以k=0.16a，P（n）=0.16an 所以运营n年后的总费用为：P（1）+P（2）+…+P（n）=0.16a(1+2+…n)=0.08an(n+1) 所以 y=na－0.08an(n+1)－2a= －0.08a(n2－11.5n+25) (2)运营n年平均利润为y/n=－0.08a(n2－11.5n+25)/n=－0.08a(n+25/n－11.5) ∵ n+25/n≧2√25=10，当且仅当n=25/n，即n=5时等号成立. ∴ 每辆出租车运营5年可使其运营的年平均利润最大。

年平均最大利润=－0.08a(10－11.5)= 0.12a. 15.如图，圆O的直径的长是关于x的二次方程x2+2(k－2)x+k=0(k是整数)的最大整数根. P是圆O外一点，过点P做圆O的切线ＰＡ和割线ＰＢＣ，其中Ａ为切点，点Ｂ、Ｃ是直线 PBC与圆O的交点.若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2+PB2+PC2的值. 解：要使方程x2+2(k－2)x+k=0(k是整数)有整数根， △=4(k－2)2-4k=4(k-4)(k-1)≧0,k≧4或k≦1,当k≧4时，二次方程的两根均为负值，不合题意 所以k≦1，且△=4(k－2)2-4k=(2k－5)2－9 为完全平方数，设△=m2(m≧0，且为整数) 当m=0时，k=1,x=1； 当m≠0时 (2k－5)2－m2= 9，(2k－5+m)(2k－5－m)=9， 因为(2k－5+m)与(2k－5－m)同奇偶，且2k－5+m﹥2k－5－m 所以2k－5+m=-1，2。