初中数学二次函数华.ppt

26.1 26.1 二次函数及其二次函数及其图象象26.1.1 26.1.1 二次函数二次函数第二十六章第二十六章 二次函数二次函数1、二次函数的定、二次函数的定义2、二次函数的、二次函数的图象及性象及性质3、抛物、抛物线的平移法的平移法则4、二次函数解析式的三种形式、二次函数解析式的三种形式5、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系6、二次函数的、二次函数的综合运用合运用 二次函数二次函数变量量之之间的的关关系系函函数数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+b(k≠0)y=kx+b(k≠0)正比例函数正比例函数y=kx(k≠0)y=kx(k≠0)y= (k≠0)y= (k≠0)为什么什么a≠0a≠0呢呢? ? 我我们把形如把形如y=ax²+bx+c(y=ax²+bx+c(其中其中a,b,ca,b,c是常数，是常数，a≠0)a≠0)的的函数叫做二次函数，其中，函数叫做二次函数，其中，x x是自是自变量，量，a,b,ca,b,c分分别是函数是函数解析式的二次解析式的二次项系数、一次系数、一次项系数和常数系数和常数项. .一、二次函数的定一、二次函数的定义 1. 1.定定义：：y=axy=ax²+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a≠0),a≠0)2.2.定定义要点要点: : (1)a≠0. (2)(1)a≠0. (2)最高次数最高次数为2. (3)2. (3)代数式一定是整式代数式一定是整式. .整式：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。

单项式和多项式都统称为整式 2x÷3    0.4X 3      xy是整式x÷y不是整式，因为分母不能含有未知数，它是分式 分母中含有字母的式子一定不是多项式也不是单项式，因此其不是整式所有单项式和多项式都是整式 练习１：１：y＝－＝－x2，，y＝＝2x2－－ ＋＋3 ，，y＝＝100－－5x2，，y=－－2x2＋＋5x3－－3 中有中有 个是二次函数个是二次函数一、二次函数的定一、二次函数的定义23.3.若函数若函数 为二次函数，求二次函数，求m m的的值. .解解①①得：得：m=2m=2或或m=-1;m=-1;解解②②得：得：m≠1m≠1且且m≠-1;m≠-1;所以所以 m=2.m=2.①①②②【【解析解析】】因因为该函数函数为二次函数，二次函数， 则温故知温故知新新（（1）一次函数）一次函数y＝＝x＋＋2的的图象与象与x轴的交点的交点为（（ ，， ））一元一次方程一元一次方程x＋＋2＝＝0的根的根为________（（2）） 一次函数一次函数y＝－＝－3x＋＋6的的图象与象与x轴的交点的交点为（（ ，， ））一元一次方程－一元一次方程－3x＋＋6＝＝0的根的根为________思考：一次函数思考：一次函数思考：一次函数思考：一次函数y y＝＝＝＝kxkx＋＋＋＋b b的的的的图图象与象与象与象与x x轴轴的交点与一元的交点与一元的交点与一元的交点与一元一次方程一次方程一次方程一次方程kxkx＋＋＋＋b b＝＝＝＝0 0的根有什么关系？的根有什么关系？的根有什么关系？的根有什么关系？一次函数一次函数一次函数一次函数y y＝＝＝＝kxkx＋＋＋＋b b的的的的图图象与象与象与象与x x轴轴的交点的的交点的的交点的的交点的横坐横坐横坐横坐标标就是就是就是就是一元一次方程一元一次方程一元一次方程一元一次方程kxkx＋＋＋＋b b＝＝＝＝0 0的的的的根根根根 －－－－2 02 0－－－－2 22 02 02 2函数函数函数函数y y＝＝＝＝x x2 2－－－－2x2x－－－－3 3的的的的图图象与象与象与象与x x轴轴两个交点两个交点两个交点两个交点为为 （－（－（－（－1 1，，，，0 0）（）（）（）（3 3，，，，0 0））））方程方程方程方程x x2 2－－－－2x2x－－－－3 3 ＝＝＝＝0 0的两根是的两根是的两根是的两根是 x x1 1＝＝＝＝ －－－－1 ,x1 ,x2 2 ＝＝＝＝ 3 3 你你你你发现发现了什么？了什么？了什么？了什么？（（（（1 1）二次函数）二次函数）二次函数）二次函数y y＝＝＝＝axax2 2＋＋＋＋bxbx＋＋＋＋c c与与与与x x轴轴的交点的横的交点的横的交点的横的交点的横坐坐坐坐标标就是当就是当就是当就是当y y＝＝＝＝0 0时时一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程axax2 2＋＋＋＋bxbx＋＋＋＋c c＝＝＝＝0 0的根的根的根的根（（（（2 2）二次函数的交点）二次函数的交点）二次函数的交点）二次函数的交点问题问题可以可以可以可以转转化化化化为为一元二次一元二次一元二次一元二次方程去解决方程去解决方程去解决方程去解决例例题精精讲1. 1. 求二次函数求二次函数求二次函数求二次函数y y＝＝＝＝x x2 2＋＋＋＋4x4x－－－－5 5与与与与x x轴轴的交点坐的交点坐的交点坐的交点坐标标解：令解：令解：令解：令y y＝＝＝＝0 0则则x x2 2＋＋＋＋4x4x－－－－5 5 ＝＝＝＝0 0解之得，解之得，解之得，解之得，x x1 1＝＝＝＝ －－－－5 ,x5 ,x2 2 ＝＝＝＝ 1 1∴∴∴∴交点坐交点坐交点坐交点坐标为标为：（－：（－：（－：（－5 5，，，，0 0）（）（）（）（1 1，，，，0 0））））结论结论一：一：一：一：若一元二次方程若一元二次方程若一元二次方程若一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两个根是的两个根是的两个根是的两个根是x x1 1、、、、x x2 2，，，， 则则抛物抛物抛物抛物线线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与与与x x轴轴的两个交点坐的两个交点坐的两个交点坐的两个交点坐标标分分分分别别是是是是A A（（（（ ），），），）， B B（（（（ ））））思考：函数思考：函数思考：函数思考：函数y y＝－＝－＝－＝－x x2 2＋＋＋＋6x6x－－－－9 9和和和和y y＝＝＝＝2x2x2 2＋＋＋＋3x3x＋＋＋＋5 5与与与与x x轴轴的的的的交点坐交点坐交点坐交点坐标标是什么？是什么？是什么？是什么？试试试试看！看！看！看！X X1 1，，，，0 0X X2 2，，，，0 0探究二：探究二：二次函数与二次函数与x轴的交点个数与一的交点个数与一元二次方程的解有关系元二次方程的解有关系吗？？结论二：二：函数与函数与x轴有两个交点有两个交点 方程有两不相等方程有两不相等根根函数与函数与x轴有一个交点有一个交点 方程有两相等根方程有两相等根函数与函数与x轴没有交点没有交点 方程没有根方程没有根方程的根的情况是由什么决定的？方程的根的情况是由什么决定的？判判别式式b2－－4ac的符号的符号结论三：三：对于二次函数于二次函数y＝＝ax2＋＋bx＋＋c，判，判别式又能式又能给我我们什么什么样的的结论？？（（1））b2－－4ac＞＞0 函数与函数与x轴有两个交点有两个交点（（2））b2－－4ac＝＝0 函数与函数与x轴有一个交点有一个交点（（3））b2－－4ac＜＜0 函数与函数与x轴没有交点没有交点推推导过程程！！一般地，我一般地，我们可以用配方法可以用配方法求抛物求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的的顶点与点与对称称轴课时小结:二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 抛物线抛物线开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最最值值a>0a<0增增减减性性a>0　　a<0二、二次函数的二、二次函数的图象及性象及性质当当a>0时开口向上；当开口向上；当a<0时开口向下开口向下.(h,k)在在对称称轴左左侧，，y随随x的增大而减小的增大而减小在在对称称轴右右侧，，y随随x的增大而增大的增大而增大在在对称称轴左左侧，，y随随x的增大而增大的增大而增大在在对称称轴右右侧，，y随随x的增大而减小的增大而减小xyxy直直线x=hx=h时　　ymin=kx=h时　　ymax=k 函数函数 　　　　　　　　开口方向开口方向___________ 顶点坐点坐标是是 ，，对称称轴是是 　　　　 .当当x 　　 时.y随随x的增大而的增大而 　　 .当当x 　　 时.y有最有最　　　　　　　　值为 . 向上向上＜－１＜－１减小减小＝－１＝－１小小抛物抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点有如下特点:1.当当a﹥﹥0时，开口，开口 ，，当当a﹤﹤0时，开口，开口 ，，2.对称称轴是是 ；；3.顶点坐点坐标是是 。

向上向上向下向下(h,k)直直线X=h一般地，抛物一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与与y=ax2的的 相同，相同， 不同不同y=ax2y=a(x-h)2+k形状形状位置位置左加右减左加右减上正下上正下负y = ax2y = ax2 + k y = a(x – h )2y = a( x – h )2 + k上下平移上下平移左右平移左右平移上上下下平平移移左左右右平平移移三、抛物三、抛物线的平移法的平移法则上＋下－，左＋右－上＋下－，左＋右－1、将抛物、将抛物线y=-3x2-1向上平移向上平移2个个单位位, 再向右平移再向右平移 3个个单位位, 所得的抛物所得的抛物线的表达式的表达式__________三、抛物三、抛物线的平移法的平移法则上＋下－，左＋右－上＋下－，左＋右－2.若把抛物若把抛物线y=x2+bx+c向左平移向左平移3个个单位位,再向上平移再向上平移2个个单位位,得抛物得抛物线y=x2-2x+2,则b= ，，c= ,-815四、四、a、、b、、c符号的确定符号的确定abc决定开口方向：决定开口方向： a a、、b b同同时决定决定对称称轴位置：位置：决定抛物决定抛物线与与y轴的交点位置：的交点位置：五、二次函数解析式的三种形式五、二次函数解析式的三种形式: :已知已知顶点坐点坐标、、对称称轴或最或最值已知任意三点坐已知任意三点坐标已知抛物已知抛物线与与x轴的交点坐的交点坐标(x1,0).(x2,0)2.已知抛物已知抛物线过三点：三点：A（－（－1，，2），），B（（0，，1），），C（（2，－，－7），求二次函数的解析式），求二次函数的解析式.解：解：设二次函数的解析式二次函数的解析式为：：由已知得：由已知得：注：此注：此题运用了二次函数的一般式运用了二次函数的一般式3.已知抛物已知抛物线与与x轴交于交于A(-1, 0),B(3, 0),且且过点点C(1, 2) ，求抛物，求抛物线的函数解析式的函数解析式.解：由已知解：由已知设函数的解析式函数的解析式为∵ ∵抛物抛物线过点点C（（1，，2））∴∴注：此注：此题运用了运用了二次函数的双根式二次函数的双根式联想：二次函数与想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又点个数又该怎么解决呢？怎么解决呢？例如，二次函数例如，二次函数y＝＝x2－－2x－－3和一次函数和一次函数y＝＝x＋＋2有交点有交点吗？有几个？？有几个？分析：两个函数的交点是分析：两个函数的交点是这两个函数的公共两个函数的公共解，先列出方程解，先列出方程组，消去，消去y后，再利用判后，再利用判别式判断即可式判断即可.例例题精精讲3.二次函数二次函数y＝＝x2－－x－－3和一次函数和一次函数y＝＝x＋＋b有有一个公共点（即相切），求出一个公共点（即相切），求出b的的值.解：由解：由题意，得意，得 消元，得消元，得 x2－－x－－3 ＝＝x＋＋b 整理，得整理，得x2－－2x －（－（3 ＋＋ b）） ＝＝0∵∵有唯一交点有唯一交点∴∴（－（－2））2 ＋＋4（（ 3 ＋＋ b）） ＝＝0解之得，解之得，b ＝－＝－4y y＝＝＝＝x x2 2－－－－x x－－－－3 3y y＝＝＝＝x x＋＋＋＋b b 选择合适的方法求二次函数解析式：合适的方法求二次函数解析式： 1、抛物、抛物线经过（（2，，0）（）（0，，-2）（）（-2，，4）三点。

三点2、抛物、抛物线的的顶点坐点坐标是（是（6，，-2），且与），且与 X轴的一个交点的横坐的一个交点的横坐标是是8练习二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式根的判别式Δ=bΔ=b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个相异有两个相异实数根数根b2-4ac > 0有一个交点有一个交点有两个相等有两个相等实数根数根b2-4ac = 0没有交点没有交点没有没有实数根数根b2-4ac < 0一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根的根 就是就是二次函数二次函数y=ax2+bx+c图象与象与x轴交点的横坐交点的横坐标六、二次函数与一元二次方程的关系六、二次函数与一元二次方程的关系练习已知抛物已知抛物线y＝＝x2－－m x＋＋m－－1(2)若抛物若抛物线与与y轴交于正半交于正半轴，，则m__　　　　(1)若抛物若抛物线经过坐坐标系原点，系原点，则m____　　　　　　　　(3)若抛物若抛物线的的对称称轴为y轴，，则m___(4)若抛物若抛物线与与x轴只只有一个交点，有一个交点，则m__ = 1 ＞＞1= 2= 0２不２不论x x为何何值时，函数，函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（（a≠0a≠0））的的值值永永远为远为正的条件正的条件是是________　　　　　　　　　　____a>0,△△<0３３. .求抛物求抛物线　　　　　　　　　　　　　　　　①①与与y y轴的交点坐的交点坐标; ;②②与与x x轴的两个交点的两个交点间的距离的距离. .③③何何时y y＞＞0?0?3.3.已知抛物已知抛物线和和y y轴的交点（的交点（0 0，－，－ ）） 和和x x 轴的一个交点（的一个交点（-1-1，，0 0），），对称称轴是是x x =1.=1.（（1 1）求）求图象是象是这条抛物条抛物线的二次函数的解析式；的二次函数的解析式；（（2）判断）判断这个二次函数是有最大个二次函数是有最大值还是有最小是有最小值，，并求出并求出这个最大个最大值或最小或最小值 解法一 （1）设二次函数的解析式为（2）由于所以这个二次函数有最小值，解法二解法二 设解析式解析式为y=a(x- -1)2+k，，则由已知得由已知得点（点（-1，，0），）， 在在图象上，所以象上，所以解这个二元一次方程组，得.。