等腰直角三角形模型、三垂直模型.doc

word全等三角形的经典模型〔一〕题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题〔AC=BC或〕.如图1；⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；⑶补全为正方形.如图3，4.图1 图2图3图4 典题精练【例1】 ：如下列图，Rt△ABC中，AB=AC，，O为BC的中点，⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系〔不要求证明〕⑵如果点M、N分别段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N分别段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA=OB=OC⑵连接OA,∵OA=OCAN=CM∴△ANO≌△CMO∴ON=OM∴∴∴∴△OMN是等腰直角三角形⑶△ONM依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°，∴AO=BO=OC，∵在△ANO和△CMO中，∴△ANO≌△CMO〔SAS〕∴ON=OM，∠AON=∠，又∵∠∠AOM=90°，∴△OMN为等腰直角三角形．【例2】 两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连接，取的中点，连接，．试判断的形状，并说明理由．【解析】是等腰直角三角形．证明：连接．由题意，得∴为等腰直角三角形.∵，∴．∴，∴≌．∴．又．∴，∴是等腰直角三角形．【例3】 ：如图，中，，，是的中点，于，交于，连接．求证：．【解析】 证法一：如图，过点作于，交于．∵，，∴．∵，∴．∵，∴∵，∴．∴．在和中，∴．∴．在和中，∴．∴．证法二：如图，作交的延长线于．∵，∴，∵，∴，∴．在和中，∴．∴，∵，∴．在和中，∴．∴∴．【例4】 如图，等腰直角中，，为内部一点，满足，求证：．【解析】 补全正方形，连接DP，易证是等边三角形，，，∴，，∴，∴．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，假如遇到不易解决或解法比拟复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。

例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:∠AMB=∠CMD．【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，易证Rt△ABM≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠D，=AM，∵M为AC中点，∴CM=，∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△D，∴∠D=∠CMD，∴∠AMB=∠CMD．【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K，∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:Rt△ABD≌Rt△CAK，∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，∵AD=EC，∴CK=CE，易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB，可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M，可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12．【探究四】求线段长【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．【分析】此题假如用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，此题尽管条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，假如分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．【解析】 以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC．可知BE=BD=3，FC=CD=2，延长EB、FC交点G，∵∠BAC=45°，由对称性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF，易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，设AD=x，如此BG=x－3，CG=x－2，在Rt△BCG中，由勾股定理，得，解得x=6，即AD=6．【探究五】求最小值【备选5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值．【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB，可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，如此PM+PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=．题型二：三垂直模型常见三垂直模型例题精讲【引例】 AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：AC⊥CE；⑵假如将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，， 其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？假如成立，给予证明；假如不成立，请说明理由.①②③④【解析】 ⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD∴在与中∴〔SAS〕∴∵∴,即AC⊥CE⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明∴∵∴∴AC⊥C1E典题精练【例5】 正方形中，点、的坐标分别为，，点在第一象限．求正方形边长与顶点的坐标．〔计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.〕【解析】 过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F点、的坐标分别为，∴BE=8，AE=6，∴AB=10∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∵∴∵∴△AEB≌△BFC∴CF=BE=8，BF=AE=6 ∴CG=12 EF=14∴C(14，12)，正方形的边长为10【点评】 此题中三垂直模型：【例6】 如下列图，在直角梯形中，，，，是的中点，．⑴ 求证：；⑵ 求证：是线段的垂直平分线；⑶是等腰三角形吗？请说明理由．【解析】⑴∵，，∴，∴，∵，，∴，∴．⑵∵是中点，∴由⑴得：，∴∵，∴，∵，∴由等腰三角形的性质，得：即是线段的垂直平分线．⑶是等腰三角形，由⑵得：，由⑴得：∴，∴是等腰三角形．巅峰突破【例7】 ⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数=；⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=，连接AN、CM相交于点P．请你猜测∠APM=°，并写出你的推理过程．【解析】 ⑴图略，60°⑵45°证明：作AE⊥AB且.可证≌∴，∵∴∴∴是等腰直角三角形,又△AEC≌△CAN〔SAS〕∴∴EC∥AN. ∴复习巩固题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习【练习1】 如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，如此图中与△BDC全等的三角形为_________.【解析】 △AEC【练习2】 如图，中，，是的中点，，垂足为．，交的延长线于点．求证：．【解析】 ∵，，∴，．∵，∴，∴．又∵，∴．∴．∵是的中点，∴，即．题型二 三垂直模型 巩固练习【练习3】 ：如图，四边形ABCD是矩形〔AD＞AB〕，点E在BC上，且AE =AD，DF⊥AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．FADCEB【解析】 经探求，结论是：DF = AB． 证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B= ， AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB． ∵DF⊥AE， ∴∠AFD =，∵AE = AD ，∴． ∴AB = DF．【练习4】 如图，中，，，是上任意一点，交延长线于，于．求证：．【解析】 根据条件，、都与互余，∴．在和中，，，∴．如此，，∴．【练习5】 四边形ABCD是正方形．⑴如图1，点G是BC边上任意一点(不与B、C两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF≌△DAE；⑵在⑴中，线段EF与AF、BF的等量关系是(直接写出结论即可，不需要证明)；⑶如图2，点G是CD边上任意一点(不与C、D两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．那么图中全等三角形是，线段EF与AF、BF的等量关系是(直接写出结论即可，不需要证明)．【解析】 ⑴在正方形ABCD中，AB=AD，∴∴在△ABF和△DAE中∴〔AAS〕⑵⑶△ABF≌△DAE课后测测试1. 问题：中，，点是内的一点，且，．探究与度数的比值．请你完成如下探究过程：先将图形特殊化，得出猜测，再对一般情况进展分析并加以证明．当时，依问题中的条件补全右图．观察图形，与的数量关系为________；当推出时，可进一步推出的度数为_______；可得到与度数的比值为_________．【解析】 相等；；测试2. ：如图，在△ABC中，于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB=FC.【解析】 ∵于点，，∴．∴．又∵于点，∴．∴．在和中，∴．∴．测试3. 如图， Rt△ABC中，∠C=90°,，，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动. 当△ABC和△APQ全等时,点Q到点A的距离为___________。