2022年2022年数学分析教案第十七章多元函数微分学.docx

精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载第十七章 多元函数微分学教学目的： 1.懂得多元函数微分学的概念,特殊应把握偏导数.全微分.连续及偏导存在.偏导连续等之间的关系； 2.把握多元函数特殊为二元函数可微性及其应用；教学重点难点 ：本章的重点为全微分的概念. 偏导数的运算以及应用； 难点为复合函数偏导数的运算及二元函数的泰勒公式；教学时数 ：18 学时 1 可微性一． 可微性与全微分：1． 可微性： 由一元函数引入 . 亦可写为 、时 .2． 全微分 :例 1 考查函数 在点 处的可微性 . P107 例 1二. 偏导数 :1. 偏导数的定义.记法 :2. 偏导数的几何意义 : P109 图案 17— 1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载3. 求偏导数 :例 2 、 3 、 4 .例 5P109 — 110例 2 、 3 、 4 ..求偏导数 .例 6.求偏导数 .例 7. 求偏导数 、 并求.例 8. 求和 .解 = 、= .例 9证明函数 在点 连 续 、 并求 和 .证. 在点 连续 .、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载不存在 .三. 可微条件 :1. 必要条件 :Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可 微 、和 存在 、 且. 〔 证 〕由于 、 微分记为.定理 1 给出了运算可微函数全微分的方法 .两个偏导数存在为可微的必要条件 、 但不充分 .例 10 考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例 5 .2. 充分条件 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载Th 2 如函数 的偏导数在的某邻域内存在 、 且 和 在点 处连续 . 就函数 在点 可微 . 〔 证 〕 P111Th 3 如 在点 处连续 、 点 存 在 、就函数 在点 可微 .证.即 在点 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不为可微的必要条件 .例 11验证函数 在点 可微 、 但 和 在点 处不连续 . 〔 简证、留为作业 〕证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载因此 、 即 、在点 可微 、 . 但 时、 有、沿方向 不存在 、 沿方向 极限不存在 ; 又 时、、因此、 不存在 、 在点 处不连续 .由 关于 和 对称、 也在点 处不连续 .四. 中值定理 :Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 . 如 属于该邻域 、 就存在 和 、、 使得. 〔 证 〕例 12 设在区域 D 内 . 证明在 D 内 .五. 连续.偏导数存在及可微之间的关系：六. 可微性的几何意义与应用：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载1． 可微性的几何意义： 切平面的定义 . P113.Th 5 曲面 在点 存在不平行于 轴的切平面的充要条件为函数 在点 可微 . 〔 证 略 〕2. 切平面的求法 : 设函数 在点 可微 ,就曲面在点 处的切平面方程为 （ 其中）,法线方向数为 ,法线方程为 .例 13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法线方程 . P115 例 63. 作近似运算和误差估量 : 与一元函数对比 、 原理 .例 14求的近似值 .P115 例 7例 15、应用公式. 如测量运算某三角形面积的误差为.现测得的误差为. 求用此公式运算该三角形面积时的肯定误差限与相对误差限 . P116. 2 复合函数微分法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载简介二元复合函数 : .以以下三种情形介绍复合线路图;、 ;.一. 链导法就 : 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数 在点 D 可微 、 函数在点 可微 、 就复合函数在点 可微、 且、. 〔 证 〕 P118称这一公式为 链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓 “分线加,沿线乘”或“并联加,串联乘” ）来概括 .对所谓“外三内二”.“外二内三”.“外一内二”等复合情形,用“并联加,串 联乘”的原就可写出相应的链导公式 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱 .对外 元 、 内 元 、有, .外 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数 .例1 . 求 和 . P120 例1例 2 、 . 求 和 .例 3 、 求 和 .例 4 设函数 可微 . .求 . 和 .例 5 用链导公式运算以下一元函数的导数 :ⅰ> ; ⅱ > . P121 例 4例 6 设函数 可微. 在极坐标变换 下 、证明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载. P120 例 2例 7 设函数 可微 、 . 求证.二. 复合函数的全微分 : 全微分和全微分形式不变性 .例 8 . 利用全微分形式不变性求 、 并由此导出 和.P122 例 5 3 方向导数和梯度一． 方向导数：1． 方向导数的定义：定义 设三元函数 在点 的某邻域 内有定义 .为从点 动身的射线 . 为 上且含于 内的任一点 、以 表示 与 两点间的距离 . 如极限存在 、 就称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数 、 记为 或. .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载对二元函数 在点 、 可仿此定义方向导数 .易见 、 . 和 为三元函数 在点 分别沿 轴正向. 轴正向和 轴正向的方向导数 .例 1 = . 求 在点 处沿 方向的方向导数 、 其中 ⅰ> 为方向 ; ⅱ > 为从点到点 的方向 .解 ⅰ> 为方向的射线为 . 即. 、.因 此 、ⅱ> 从点 到点 的方向 的方向数为方向的射线为 .、 ;.因 此 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载2. 方向导数的运算 :Th 如函数 在点 可微 、 就 在点 处沿任一方向 的方向导数都存在 、 且+ + 、其中 . 和 为 的方向余弦 . 〔 证 〕 P125对二元函数 、 + 、 其中 和为 的方向角 .註 由 + + == 、 、 、 、 、可见 、 为向量 、 、 在方向 上的投影 .例 2 〔 上述例 1 〕解 ⅰ> 的方向余弦为 = 、 = 、= .=1 、 = 、 = .因此 、 = + += .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载ⅱ > 的方向余弦为= 、 = 、 = .因此 、 = .可微为方向导数存在的充分条件 、 但不必要 .例 3 P126 .二. 梯度 〔 陡度 〕:1. 梯度的定义 : 、 、 .| = .易见 、 对可微函数 、 方向导数为梯度在该方向上的投影 .2. 梯度的几何意义 : 对可微函数这为由于、梯度方向为函数变化最快的方向 .|其中 为 与 夹角. 可见.时 取最大值 、 在 的反方向取最小值 .3. 梯度的运算 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载ⅰ>.ⅱ>〔 +〕 =ⅲ>ⅳ>〔 〕 =+.ⅴ>〔 〕 =+ ...证ⅳ> 、 .. 4 Taylor 公式和极值问题一.高阶偏导数 :1. 高阶偏导数的定义.记法：例 9 求二阶偏导数和 . P128 例 1例 10 . 求二阶偏导数 . P128 例 22. 关于混合偏导数 : P129 —131.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数 : 公式 、 P131-132例 11 . 求 和 . P132 例 34. 验证或化简偏微分方程 :例 12 . 证明 + . 〔 Laplace 方程 〕例 13 将方程 变为极坐标形式 .解 .、 、 、 .、 ;因此、 .方程化简为 .例 14 试确定 和 、 利用线性变换 将方程化为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载解 、 .= +。