高中数学求函数值域的7类题型和16种方法.docx

求函数值域的 7 类题型和 16 种方法一、函数值域基本知识1.定义：在函数y f(x)中，与自变量X的值对应的因变量 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合) 2．确定函数的值域的原则①当函数y f(X) 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合；②当函数y f(X) 用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合；③当函数y f(X) 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数y f(X) 由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域一般地，常见函数的值域：1 . 一次函数ykXb k0 的值域为 R.2 .二次函数yaX2bXca 0，当时的值域为4^里，当时的值域为4a4ac b24a . )3 .反比例函数y上k 0的值域为y Ry 0 . 、x4 .指数函数y ax a 0且a 1的值域为yy 0 .5 .对数函数y logaxa 0且a 1的值域为R.6 .正，余弦函数的值域为1,1,正，余切函数的值域为R.三、求解函数值域的7种题型题型一：一次函数y ax b a 0的值域（最值）1、一次函数：y ax ba 0当其定义域为，其值域为；2、一■次函数y ax b a 0在区间m，n上的最值， 只需分别求出f m，f n ,并比较它们的大小即可。

若区间的形式为，n或m，等时，需结合函数图像来确定函数的值域题型二：二次函数f（x） ax? bx c（a 0）的值域（最值）1、二次函数 时，其值域为f (x) ax2 bx4ac b24a4ac b24ac(a 0))a 0a 0当其定义域为2、二次函数（最值）f(x) ax2 bx qa 0)在区间m, n上的值域先判定其对称轴X机与区间m,n的位置 2a关系(1)若之一,则当时，f(总是函数的最 2a2a小值，最大值为 f(m),f(n)中较大者；当 时，f(以是函数的 2a最大值，最大值为 f (m), f(n) 中较小者2)若A m，n,只需比较f(m),f(n)的大小即可 决定函数的最大(小)值特别提醒：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到 最大(小)值；②若给定的区间形式是a, ,,b,a,, ,b等时，要结合图像来确函数的值域；③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对 应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨 论例1：已知f x2 2X的定义域为3,,则的定义 域为———例2：已知f x 1 X2 1,且x 3,4 ,则的值域为一1,17题型三：一次分式函数的值域1、反比例函数y为0)的定义域为xx 0，值域 X/为yy 02、形如：y丝4的值域： ax b(1)若定义域为x Rx b时)其值域为 ac cy Ry a(2)若x m,n时，我们把原函数变形为x”, ay c然后利用x m,n (即x的有界性)，便可求 出函数的值域。

例3：函数y/3的值域为，1U3,；若3g2 1 3〉 Ix 1,2时，其值域为_例4：当x 3, 1时，函数y的值域—2x 14, 3 一 (2)已知 f x 1且 x 3,2 ,2x x而而直域为—，6 例5：函数y等W的值域为，：3,；若3sinx 25一)ix -，It ,其值域为—2,2 一 2 22 3题型四：二次分式函数y dx2 ex c的值域 ax bx c一般情况下，都可以用判别式法求其值域但要注意以下三个问题：①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数 无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的 边界值也要考查达到该值时的x是否存在；③分子、分母必须是既约分式例6:例7:例8:2 x~2 x2 x2 x3x-2 xx 1.x 6〉x 2.~T，1,Ry例9：求函数y2x 2x 11,3 3,4 4的值域解：由原函数变形、整理可得:2yx 2y 1 x y 1 0求原函数在区间1,上的值域，即求使上述 方程在1,有实数解时系数的取值范围当时，解得：x 1 1, 也就是说，是原函数 值域中的一个值,・①上有解，解得:当时，上述方程要在区间1,即要满足T V 0f 1 0 或2y J12y综合①②得：原函数的值域为:题型五：形如y ax b "~d的值域0,18这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域 问题，然后求其值域。

例10：求函数y 2x 4C在x 8,1时的值域4,4题型六：分段函数的值域：一般分别求出每一分段上函数的值域，然 后将各个分段上的值域进行合并即可如果各 个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画 出，从图像上便可很容易地得到函数的值域例 11 ： y |x 1 x 23,例 12： y x2 4x 1,5题型七：复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是：首先求 出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由 内层函数的值域逐层向外递推例 13: y 炽 1 x 1例 14： y0,52四、函数值域求解的十六种求法(1)直接法(俗名分析观察法)：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函 数的值域及不等式的性质观察出函数的值域 即从自变量x的范围出发，推出y f(x)的取值范 围或由函数的定义域结合图象， 或直观观察， 准确判断函数值域的方法注意此法关键是定 义域例1 :已知函数y x 1 2 1 , x 1,0,1,2 ) 求函数1,0,3的值域例 2 ：求函数y々1的值域 [1,)例3 ：求函数y "1 kl, x>i的值域 ,2,例 4 ： 求函数yk6r元的值域1,(2)配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常 用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意 等价性，特别是不能改变定义域。

对于形如 y ax2 bx c a 0或F x a f x 2 bf x ca 0类的函数的值 域问题，均可使用配方法例1.求函数y J 2x x2 3的值域分析与解答：因为2x x2 3 0 ,即3x1,y J (x 1)2 4 ,于是：20 (x 1)44,0 y 2 o例2.求函数y 之 J在区间x [%]的值域x4分析与解答：由y x~J配方得： x当1 x 2时，函数y x 9 2是单调减函数，所 4x以6 y 184；当2 X 4时，函数y x㊁2是单调增函数，所 x以 6 y 7所以函数在区间x ［9］的值域是6 y £3)最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最 大值、最小值，求函数的值域的方法例1求函数y=3-2x-x2的值域解：由3-2x-x2》Q解出定义域为［-3, 1］ 函数y在［-3, 1］内是连续的，在定义域内由 3-2x-x2 的最大值为4,最小值为0二•函数的值域是［0,2］例2 :求函数y 2x , x 2,2的值域1,44例3 ：求函数y 2x2 5x 6的值域73 , 8(4)反函数法(逆求或反求法)：利用函数和它的反函数的定义域与值域 的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原 函数的值域。

即通过反解，用来表示x,再由x的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围对于形如y y（a 0）的值域）用函数和它的反函数 ax b定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从 而得到原函数的值域例1：求函数y工的值域1 2解：由y岩解得2x户， 1 21 y二 2x 0 .二 3 0 .二 1 y 1>1 y ），函数y4的值域为y（ 1,1）01 2（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用 分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数 法小结：已知分式函数y史①，如果在其cx d自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为yy a ；如果是条件定义域（对自变量有c附加条件），采用部分分式法将原函数化为b也y a T （ad bc）,用复合函数法来求值域 c cx d'例1：求函数y」的值域 2x 5解:1 x2x 5工(2x 5)—2 22x 52x 5，函数y ；展的值域为{y|y 1} o 2x 52（6）换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式 较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角 代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易 确定的基本函数，从而求得原函数的值域。

当 根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是 二次式时，用三角换元对形如y六的函数，令f x t；形如f xy ax b Jcx d （a,b,c,d均为常数，ac 0）的函数） 令^ Jcx d t ；开^女口 含hx2的结构的函数，可利用三角代换，令x acos ,例1 :求函数y 2x的值域解：令t ex （））则1 t22 )・・ y t2 t 1 (t 1)2 -5 2 4;当t 1,即x 3时，y2 8max3无最小值函数y 2x C的值域为（刍4例 2.求函数 y (x2 5x 12)(x2 5x 4) 21的值域分析与解答：令t5x4 x| 一则 t 卜y t t 8 21t当t :时,2 8t 21ymin例3.求函数y分析与解答：由x 5 2 cos10x x28《，值域为y|y 811 三的值域10x x2 23 =x因为2-2- .5 = 2sin2x 5 0 2 2 cos0 1 cos于是y .2sin . 2 cos 52 sin — 54sin 4 1）所以 5 <2(7)判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域。

对形如y a1x：「c1 (、不同时为零)的函 a2x b2x c2数的值域，通常转化成关于 x的二次方程，由 于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域 值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨 论注意：主要适用于定义在 R上的分式函数, 但定义在某区间上时，则需要另行讨论例1:求函数x2 x 3y x2 x 1的值域解：由y匚一变形得(y 1)x2 (y 1)x y 3 0, x x 1当时，此方程无解；当日寸)丁) 「・) (y 1)2 4(y 1)(y 3)o解得1 y匕又，・•・1 y 1133，函数y率一的值域为｛y|1 y ? x x 13(8)函数单调性法：确定函数在定义域(或某个定义域的子集) 上的单调性，求出函数的值域例如，f x ax b a 0,b 0 .当利用不等式法等号不能成立 x时，可考虑利用函数的单调性解题例1 ：求函数y x、F的值域。