梯度的定义（课堂PPT）.ppt

1,第二章 最优化问题的 数学基础,二次型与正定矩阵 方向导数与梯度 Hesse矩阵及泰勒展式 极小点的判定条件,锥、凸集、凸锥 凸函数 约束问题的最优性条件,2,2.1 二次型与正定矩阵,二次型与实对称矩阵,二次型理论问题起源于化二次曲面的方程为标准形式的问题,3,1、二次型 二次型的定义为,,4,2、正定与负定 如果对于任意非零向量 z ，总有 f (z) 0，则称二次型 f (z) 正定，等价地，也称矩阵 H 正定 如果对于任意非零向量 z，总有 f (z) < 0，则称二次型 f (z) 负定，等价地，也称矩阵 H 负定5,进一步，如果二次型 f (z) 正定（即 H 正定），则二次型 -f (z) 负定（即-H负定）；反之亦然6,3、正定与负定的条件 以 dk 表示矩阵 H 的顺序主子式的行列式：,,7,如果所有的顺序主子式的行列式都大于0，即 dk 0，k = 1,,n，则 H 为正定矩阵 如果所有的顺序主子式的行列式的符号正负交替，即对 k = 1,,n，dk 与 (-1)k 的符号相同（或者说 (-1)k dk 0 ），则 H 为负定矩阵8,（2）、代数余子式 设行列式中某一元素位于第 i 行、第 j 列，若将对应于该元素的子行列式记为 Aij ，则称 (-1)i+j Aij 为对应于该元素的代数余子式。

9,（3）、行列式的计算 定理： 行列式等于它的任意一列（或一行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和10,2.2 方向导数与梯度,一 、问题的提出,二、方向导数的定义,三、 梯度,11,例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一 问题的提出,12,方向导数图示,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,13,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,14,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,15,记为,16,中,,,,x,O,y,,z,.,P0,P,,,l,,沿,方向的方向导数,.,17,二、方向导数的定义,设函数,在,内有定义若点,沿射线 l 趋于,时,极限,存在，则称该极限值为函数,在点,处沿 l 方向的方向导数记为,18,或,19,,利用直线方程可将方向导数的定义,表示为:,射线 l 的方程为,则,故,20,怎么计算方向导数？,21,定理(方向导数计算公式),若函数,在点,处可微，,则函数,在点,处,沿任一方向,的方,向导数存在，且,其中, 各导数均为在点,处的值.,22,运用向量的数量积，可将方向,导数计算公式表示为：,其中，,称为梯度,,23,,,,,,,,,,,看看三维空间的情形,24,,设,, 求函数在点,沿方向,的方向导数。

解,,例,25,由点,到坐标原点的距离定,义的函数,在坐标原点处,的两个偏导数均不存在，但它在该点,沿任何方向的方向导数均存在，且方,向导数值都等于1：,想一想，该例给你什么启示,函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件方向导数存在时，偏导数不一定存在例,26,,一个问题：,在给定点,沿什么方向增加得最快？,该问题仅在,不同时为零才有意义可微函数,三、 梯度,27,由前面的推导，有,,现在正式给出,的定义,grad u,,由此可得出什么结论？,方向导数等于梯度在此方向上的投影,28,定义,设,则称向量,为函数,在点,处的梯度，记为,或,29,几何意义,等高线 梯度与等高线的关系,30,等高线的画法,31,二维情形,等高线（等值线）,,,,,32,例 用图解法求解二维最优化问题,,33,梯度与等高线的关系：,34,如：在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,,,,,,梯度为等高线上的法向量,等高线,35,36,方向导数计算公式表示为：,其中，,称为梯度,,梯度与方向导数的关系,37,当e取为任意P方向时,P的方向是函数在点X0的下降方向,梯度与方向导数的关系,P的方向是函数在点X0的上升方向,由方向导数的计算公式知：,38,梯度与方向导数的关系,梯度方向是函数值的最速上升方向 函数在与梯度正交的方向上变化率为零； 函数在与梯度成锐角的方向上是上升的；而在与其梯度成钝角的方向上是下降的；,,,,,梯度为等高线上的法向量,下降方向,,,,,上升方向,39,梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。

以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中梯度与方向导数的关系,40,41,设,求,并求在,点,处方向导数的最大(小)值解,,,从而,例1,42,解,由梯度计算公式得,故,43,解,,课堂练习,44,45,解,由方向导数的计算公式知,故,46,作业：45： 1.2.3.4.5,47,练 习 题,48,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,三、小结,49,50,练习题答案,。