2022高考数学一轮复习-第九章-解析几何-9.5-椭圆学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.5 椭圆学案北师大版2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.5 椭圆学案北师大版年级：姓名：9.5　椭圆必备知识预案自诊　知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a　　　c,则点M的轨迹为椭圆; (2)若a　　　c,则点M的轨迹为线段; (3)若a　　　c,则点M不存在. 2.椭圆的标准方程及性质标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图　形性质范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴,对称中心:点(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b离心率e=ca,且e∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2(1)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.(3)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P为短轴端点;当x=±a时,|OP|有最大值a,这时,P为长轴端点.(4)若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,则a-c≤|PF|≤a+c.(5)椭圆的焦半径公式设M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).(6)椭圆中点弦的斜率公式若M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有kAB·kOM=-b2a2,即kAB=-b2x0a2y0.　　(7)弦长公式:若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=1+1k2|y1-y2|=(1+1k2)[(y1+y2)2-4y1y2].(8)若P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点,F1,F2为焦点,若∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.(9)椭圆x2a2+y2b2=1的通径长为2b2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(　　)(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)(4)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相同.(　　)(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).(　　)2.设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P与椭圆左焦点间的距离为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.4 B.3 C.2 D.53.(2020江西南昌三中期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为43,则椭圆C的方程为(　　)A.x23+y22=1 B.x23+y2=1C.x212+y28=1 D.x212+y24=14.“0b>0)的离心率为32,焦距为23,则椭圆的方程为　　　　　. 关键能力学案突破　考点椭圆的定义及应用【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.10 B.8 C.6 D.4(2)(2020山东东营联考)设F1,F2是椭圆x24+y2b2=1(0b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交椭圆C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为(　　)A.x24+y23=1 B.x26+y25=1C.x29+y28=1 D.x236+y232=1(2)椭圆的离心率为22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为　　　　　　　　　　. (3)已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是　　　　　　　　　. 思考求椭圆的标准方程的基本方法是什么?利用该方法应注意些什么?解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.(2)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)(2020山东聊城调研)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为(　　)A.x25+y210=1 B.x210+y215=1C.x215+y210=1 D.x225+y210=1(2)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为22,则椭圆C1的标准方程为　　　　　. (3)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为22-2,离心率为22,则椭圆E的方程为　　　　. 考点椭圆的几何性质及应用【例3】(1)(2020安徽合肥一中等六校检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:4x-3y=0与椭圆相交于A,B两点.若|AF|+|BF|=6,点P到直线l的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围为(　　)A.0,95 B.0,32C.0,53 D.13,32(2)设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=2a上一点,△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,且直线PF1的斜率为13,则椭圆E的离心率为(　　)A.1013 B.58 C.35 D.23(3)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得在△MF1F2中,sin∠MF1F2a=sin∠MF2F1c,则该椭圆离心率的取值范围为(　　)A.(0,2-1) B.22,1 C.0,22 D.(2-1,1)思考求离心率的方法有哪些?解题心得求离心率常见的三种方法①求出a,c,代入公式e=ca;②由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2求解;③只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).对点训练3(1)(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211-m+y2m-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于(　　)A.5 B.6C.9 D.10(2)设F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,A是椭圆E的左顶点,P为直线x=3a2上一点,△APF是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E的离心率为(　　)A.34 B.23 C.12 D.13(3)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上运动,|PF1|·|PF2|的最大值为m,PF1·PF2的最小值为n,且m≥2n,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　　. 考点直线与椭圆的综合问题(多考向探究)考向1　与弦长有关的问题【例4】已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设点P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若点C,D和点Q-74,14共线,求k的值.思考利用哪种弦长公式能使求直线和椭圆相交所得的弦长变简单?如何设直线的方程能减少计算量?解题心得与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB。