数学分析课件PPT之第四章函数的连续性.ppt

第四章第四章 函数的连续性函数的连续性4.1 连续性概念连续性概念 连续函数的性质连续函数的性质 4.3 初等函数的连续性初等函数的连续性 4.24.1连续性概念连续性概念一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性1.函数的增量函数的增量2.连续的定义连续的定义在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在例例1 1证证由定义由定义2知知3.单侧连续单侧连续定理定理例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,例例3 3证证例例4 证明证明 证证只须证明只须证明二、函数的间断点二、函数的间断点1.在x0 及其附近定义;2.极限存在1.跳跃间断点跳跃间断点例例5 5解解2.可去间断点可去间断点例例6 6解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例6中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点3.第二类间断点第二类间断点例例7 7解解第一类间断点第二类间断点•可去间断点可去间断点•跳跃间断点跳跃间断点•无穷间断点无穷间断点•震荡间断点震荡间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点无定义无定义、、值太高值太高、、值太低值太低跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点●●●哎呀哎呀, ,不好不好! !有个有个洞洞, , 还没有还没有支撑支撑，， 我我掉下去了掉下去了!!!!!!注意到：这种间断点称为可去间断点.●●●哎呀哎呀, ,不好不好! !有个有个洞洞, , 还没有还没有支撑支撑，， 我我掉下去了掉下去了!!!!!!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！●●●哎呀哎呀, ,太高太高了了! !够不够不着，又有个着，又有个洞洞, , 我我还是掉下去了还是掉下去了!!!!!!●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！●●●哎呀哎呀, ,太低太低了了! !跳不跳不上去，唉，只能上去，唉，只能在下面呆着了在下面呆着了!!!!!!● ●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！●●哎呀哎呀, ,前不着村，后不前不着村，后不着店的，就是能单边着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，撑着，也靠不住啊， 我还是掉下去了我还是掉下去了!!!!!!●注意到：这种间断点称为跳跃间断点. 这点放哪儿能接上呢？●●●哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点●：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？●：Hi, 小蓝点，你停不住，我也停不住啊。

还想连上，你可真逗！●●●●这种间断点称为震荡间断点例例8 8解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.★★狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.★★仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.★★在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例9 9解解例例10 讨论讨论若有若有间断点判别其类型，并作出图形间断点判别其类型，并作出图形解解三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;间断点间断点第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.(见下图见下图)第第一一类类间间断断点点oyx可去型可去型oyx跳跃型跳跃型第第二二类类间间断断点点oyx无穷型无穷型oyx振荡型振荡型思考题思考题思考题解答思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但4.2 连续函数的性质连续函数的性质一一 连续函数的局部性质连续函数的局部性质 三三 反函数的连续性反函数的连续性 函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。

二二 闭区间上连续函数的基本性质闭区间上连续函数的基本性质 四四 一致连续性一致连续性一一 连续函数的局部性质连续函数的局部性质Th4.2（局部有界性）若（局部有界性）若在连续则在某有界.Th4.3（局部保号性）若（局部保号性）若在连续，且则对任何正数，存在某有.注　注　①①在具体应用局部保号性时，若在具体应用局部保号性时，若 可取， ②与极限相应的性质做比较 这里只是把“极限存在”，改为改为其余一致连续”，把证明连续函数的局部有界性——若处连续，则 和，使得 ．[ 证 ] 据在连续的定义，满足．现取相应存在，就有 [ 证毕 ] 四则运算的连续性四则运算的连续性Th4.4Th4.4例如例如, 连续是用极限定义的，本定理是极限四则运算定理的直接结果，不证自明Th4.5证证将上两步合起来将上两步合起来:意义意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，接取在内层，注注1.定理的条件：定理的条件：内层函数有极限，外层函数内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续在极限值点处连续例例1 1解解例例2 2解解同理可得同理可得注意　注意　定理定理 是定理是定理4.5的特殊情况的特殊情况.例如例如,二、最大值和最小值定理二、最大值和最小值定理定义定义: :例如例如,一般而言， 在其定义域上不一定在Ｄ上有界.无最大（小）值；在［０，１］上也无最大（小）值。

有最大（小）值，即使例如：定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.定定理理2(2(有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界. .证证定义定义: :几何解释几何解释:证证由零点定理由零点定理,abABMmC几何解释几何解释:例例3 3证证由零点定理由零点定理,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例4 4证证由零点定理由零点定理,例例5 证证由由零点定理知零点定理知总之总之注注①①方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的的零点零点②②有关闭区间上连续函数命题的证明方法有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理再利用零点定理辅助函数的作法辅助函数的作法（（1）将结论中的）将结论中的ξ(或或x0或或c)改写成改写成x（（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即为所求即为所求 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证余下只须验证F(x)在在所讨论的区间上所讨论的区间上连续，连续，再比较再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于介于F(x)在所论在所论闭区间上的最大值与最小值之间。

闭区间上的最大值与最小值之间三三 反函数的连续性反函数的连续性定理定理4.8 4.8 严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数连续反函数. .例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.Th 4.8 若函数若函数上严格递增( 或减 )且在相应的定义域（或上连续. 连续, 则其反函数证明证明 不妨设不妨设上严格递增.此时此时的的值域即反函数值域即反函数任取任取＞＞0，，异于异于＜＜＜＜使它们与使它们与的距离的距离 设与对应的函数值分别为对应的函数值分别为由由的严格增的严格增性知性知＜＜＜＜令令则当则当时，对应的时，对应的的值都落在的值都落在 与与 之间，故有之间，故有＜＜这就证明了这就证明了 在点在点 连续，从而连续，从而 在在 内连续内连续.类似地可证类似地可证 在其定义区间的端点在其定义区间的端点 与与 分分别为右连续与左连续别为右连续与左连续.所以所以 在在 上连续上连续.四四 函数的整体连续性函数的整体连续性 ­—— 一致连续：一致连续： 设在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是在区间Ｉ内每一点都连续。

即对时，就有在一致连续定义中与无关，是在区间放在何处而皆准的普适常数{ { １．一致连续的定义１．一致连续的定义定义定义2　设　设为定义在区间Ｉ上的函数若对任给的，存在一个，使得对任何，只要，就有则称函数在区间Ｉ上一致连续在一致连续定义中与无关，是在区间放在何处而皆准的普适常数五、小结五、小结连续函数的局部性质连续函数的局部性质 反函数的连续性反函数的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.一致连续性一致连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.思考题思考题思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点4.3 初等函数的连续性初等函数的连续性 一一 初等函数的连续性初等函数的连续性★★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.★★★★★★(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )Th4.12 Th4.12 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .Th4.13 Th4.13 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .注意　注意　 1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意　注意　2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例1 求求解解它的一个定义区间是它的一个定义区间是例例2 2解解例例3 求求解解不能应用差的极限运算法则，须变形不能应用差的极限运算法则，须变形——先分子有理化，然后再求极限先分子有理化，然后再求极限习习 题题 课课一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念函函 数数的定义的定义函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数（（一）函数一）函数1.1.函数的定义函数的定义函数的分类函数的分类2.2.函数的性质函数的性质有界、单调、奇偶、周期有界、单调、奇偶、周期3.3.反函数反函数4.4.隐函数隐函数5.5.基本初等函数基本初等函数幂、指、反、对、三幂、指、反、对、三6.6.复合函数复合函数7.7.初等函数初等函数8.8.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数数列极限数列极限函函 数数 极极 限限左右极限左右极限极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷大无穷大两者的两者的关系关系无穷小无穷小的性质的性质极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小判定极限判定极限存在的准则存在的准则两个重要两个重要极限极限无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性（（二）极限二）极限1 1、极限的定义：、极限的定义：单侧极限单侧极限2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大无穷小；无穷小； 无穷大；无穷大； 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质无穷小的运算性质3 3、极限的性质、极限的性质四则运算、复合函数的极限四则运算、复合函数的极限极限存在的条件极限存在的条件4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理夹逼定理、单调有界原理6 6、两个重要极限、两个重要极限7 7、无穷小的比较、无穷小的比较8 8、等价无穷小的替换性质、等价无穷小的替换性质9 9、极限的唯一性、局部有界性、保号性、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续（三）连续左右连续左右连续连续的连续的充要条件充要条件间断点定义间断点定义 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类在区间在区间[a,b][a,b]上连续上连续连续函数的连续函数的运算性质运算性质初等函数初等函数的连续性的连续性非初等函数非初等函数的连续性的连续性连续函数连续函数的的 性性 质质1 1、连续的定义、连续的定义单侧连续单侧连续连续的充要条件连续的充要条件 闭区间的连续性闭区间的连续性2 2、间断点的定义、间断点的定义间断点的分类间断点的分类第一类、第二类第一类、第二类3 3、初等函数的连续性、初等函数的连续性连续性的运算性质连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性反函数、复合函数的连续性4 4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、典型例题二、典型例题例例1 1解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得解联立方程组解联立方程组例例2 求下列极限求下列极限①①②②③③④④⑤⑤例例3解一解一解二解二例例4 4解解解法讨论解法讨论例例5 证明证明①①②②证证①①（（整体和大于部分和）整体和大于部分和）由由夹逼定理知夹逼定理知②②由由夹逼定理知夹逼定理知例例6 求极限求极限[ [分析分析] ]要用要用夹逼定理，须进行放缩夹逼定理，须进行放缩不能这样用夹逼定理，不能这样用夹逼定理，解解注意到分子成等差数列注意到分子成等差数列例例7 证证即即xn单调减，有下界单调减，有下界故由故由单调有界原理得单调有界原理得例例8 8解解例例9 解解例例10 求下列极限求下列极限①①②②③③只只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质例例11解解因因f(x)在在x=0处为处为无穷间断，即无穷间断，即又又x=1为为可去间断，可去间断，例例12 ①①②②例例13解解从而由等价无穷小的代换性质得从而由等价无穷小的代换性质得例例1414解解例例15 证明若证明若f(x)和和g(x)连续，则函数连续，则函数证证由于由于f(x)和和g(x)连续，故连续，故f(x)+g(x)连续连续例例16利用介值定理证明，当利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程为奇数时，方程至少有一实根至少有一实根证证故由故由函数极限的保号性质可知函数极限的保号性质可知又又 n 是奇数，所以是奇数，所以故由故由零点定理知零点定理知例例17证证由由题设知题设知故在故在上上必存在最大值必存在最大值 M 和最小值和最小值 m由由介值定理可得介值定理可得。