2023年指数函数与对数函数的关系精品讲义.pdf

学习必备 欢迎下载 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即 y＝f(x) 的反函数通常用 y＝f－1(x) 表示. 2.对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数 ,它们的图象关于 直线 y＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当 a>1 时,在区间[1,＋∞) 内,指数函数 y＝ax随着 x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数 y＝logax 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设 a 为大于 0 且不为 1 的常数,对于等式 at＝s,若以 t 为自变量可得指数函数 y＝ax,若以 s 为自变量可得对数函数 y＝logax.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数 y＝2x及 y＝log2x 的图象. 问题 1 函数 y＝2x及 y＝log2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数 y＝2x的定义域为 R,值域为(0,＋∞);函数 y＝log2x 的定义域为(0,＋∞), 值域为 R.函数 y＝2x的定义域和值域分别是函数 y＝log2x 的值域和定义域. 问题 2 在列表画函数 y＝2x的图象时,当 x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3 这 6 个数值时,对应的 y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 12, 1, 2, 4, 8. 问题 3 在列表画函数 y＝log2x 的图象时,当 x 分别取18,14,12,1,2,4,8 时,对应的 y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题 4 综合问题 2、问题 3 的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画 y＝log2x 的图象时,可以把 y＝2x的对应值表里的 x 和 y 的数值对换,就得到 y＝log2x 的对应值表. 问题 5 观察画出的函数 y＝2x及 y＝log2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数 y＝2x与 y＝log2x 的图象关于直线 y＝x 对称. 问题 6 我们说函数 y＝2x与 y＝log2x 互为反函数,它们的图象关于直线 y＝x 对称,那么对于一般的指数函数 y＝ax与对数函数 y＝logax 又如何？ 答：对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线 y＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题 1 对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax是一一映射吗？为什么？ 答： 是一一映射,因为对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax都是单调函数,所以不同的 x 值总有不同的 y 值与之对应,不同的 y 值也总有不同的 x 值与之对应. 问题 2 对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数 y＝f(x) 的反函数通常用 y＝f－1(x)表示. 问题 3 如何求函数 y＝5x (x∈R)的反函数？ 答：把 y 作为自变量,x 作为 y 的函数,则 x＝y5,y∈R.通常自变量用 x 表示,函数用 y 表示,则反函数为 y＝x5,x∈R. 例 1 写出下列函数的反函数: (1)y＝lg x; (2)y＝log13x; (3)y＝23x. 解：(1)y＝lg x(x>0) 的底数为 10,它的反函数为指数函数 y＝10x (x∈R). (2)y＝log13x (x>0) 的底数为13,它的反函数为指数函数 y＝13x (x∈R). (3)y＝23x (x∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数 y＝log23x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从 y＝f(x) 中解出 x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练 1 求下列函数的反函数:(1)y＝3x－1; (2)y＝x3＋1 (x∈R); (3)y＝ x＋1 (x≥0); (4)y＝2x＋3x－1 (x∈R,x≠1). 学习必备 欢迎下载 解：(1)由 y＝3x－1,得 x＝13(y＋1), 即所求反函数为 y＝13(x＋1); (2)函数 y＝x3＋1 的值域为 R, x3＝y－1,x＝3y－1, 所以反函数为 y＝3x－1 (x∈R); (3)函数 y＝ x＋1 (x≥0) 的值域为 y≥1, 由 x＝y－1,得 x＝(y－1)2, 所以反函数为 y＝(x－1)2 (x≥1). (4)因y＝2x＋3x－1＝2x－2＋5x－1＝2＋5x－1, 所以y≠2, 由5x－1＝y－2, 得x＝1＋5y－2＝y＋3y－2, 所以反函数为y＝x＋3x－2 (x≠2). 例 2 已知函数 f(x) ＝ax－k 的图象过点(1,3),其反函数 y＝f－1(x)的图象过(2,0)点,则 f(x) 的表达式为_______ f(x) ＝2x＋1_________. 解析： ∵y＝f－1(x)的图象过点(2,0), ∴y＝f(x) 的图象过点(0,2). ∴2＝a0－k,∴k＝－1.∴f(x) ＝ax＋1. 又∵y＝f(x) 的图象过点(1,3),∴3＝a1＋1, ∴a＝2.∴f(x) ＝2x＋1. 小结：由互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称可知:若点(a,b) 在 y＝f(x) 的图象上,则点(b,a) 必在 y＝f－1(x)的图象上. 跟踪训练 2 函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1) 的反函数的图象经过点(1,4),求 a 的值. 解:根据反函数的概念,知函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1) 的图象经过点(4,1),∴1＝loga3,∴a＝3. 探究点三 指数函数与对数函数的增长差异 问题 1 观察函数 y＝2x与 y＝log2x 的图象,指出两个函数的增长有怎样的差异？ 答:根据图象,可以看到,在区间[1,＋∞) 内,指数函数 y＝2x随着 x 的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数 y＝log2x 的增长的速度逐渐变得很缓慢. 问题 2 你能列表对底数大于 1 的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？ 答 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) 图象 定义域 R (0,＋∞) 值域 (0,＋∞) R 性质 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,01 时,y>0; 当 00,a≠1, 函数f(x) ＝ax,g(x) ＝bx的反函数分别是f－1(x)和g－1(x).若lg a＋lg b＝0,则f－1(x)和g－1(x)的图象 ( A ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于 y＝x 对称 解析:由 lg a＋lg b＝0,得 a＝1b,所以函数 f(x) ＝ax与 g(x) ＝bx的图象关于 y 轴对称,它们的反函数的图象关于 x 轴对称. 课堂小结： 1.对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线 y＝x 对称. 2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从 y＝f(x) 中解出 x; (3)x、y 互换并注明反函数定义域. 3.反函数的定义域是原函数的值域,并不一定是使反函数有意义的所有 x 的集合. 与对数函数图象的关系总结出互为反函数的图象间的关系体会从特殊到的因变量我们称这两个函数互为反函数即的反函数通常用表示对数函数度逐渐加快而对数函数增长的速度逐渐变得很缓慢研一研问题探究课堂。