分块矩阵的初等变换及应用.doc

分块矩阵的初等变换及应用钱拓宽（绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000）摘要：矩阵的初等变换与初等矩阵是矩阵理论的重要方法.在处理一些矩阵问题有着重要的作用，将分块矩阵的初等变换到分块矩阵上，使分块矩阵也有类似的初等变换和初等矩阵，从而在处理分块矩阵时起到事半功倍的效果.关于分块矩阵和初等矩阵有不少文章有所涉及，但是他们都不够全面本文做了一些总结性的工作.关键词：分块矩阵；初等变换；应用1、分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1　分块矩阵的行(列)初等变换是指:（1）交换两行(列)的位置;（2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个阶左(右)保秩因子Ｈ;（3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行.定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指:（1）=或=（2） =或=其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子； (1) = (2) 或=初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:定理1　(1)交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i)阶单位矩阵, 为ｈ(j)阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, 为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i)阶单位矩阵, 为ｌ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, 为ｌ(ｒ)阶单位矩阵；(2) 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵；(3) 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘.定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 ,其中h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-l)],l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)],施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.证明: ,显然成立.下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行ｈ(ｉ)[ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ)[ｈ(ｉ)+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ),故;同理.所以有==(-1)或==（-1）==或=====定理3　分块矩阵进行初等变换后,秩不变.证明: 对于(1),相当于对进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对于(2),根据定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立.定理4　(1)设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当(Ａ)= (Ａ,Ｂ)=ｍ时有唯一解,当(Ａ)= (Ａ,Ｂ)<ｍ时有无穷多解,当(Ａ)< (Ａ,Ｂ)时无解;(2)设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当(Ａ)= =ｎ时有唯一解,当(Ａ)= <ｎ有无穷多解,当(Ａ)< 时无解.证明: (1)设(Ａ)= (Ａ,Ｂ)<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，其中为ｒ阶单位矩阵, 为ｒ阶方阵,设,则有: = = =B所以为ＡＸ=Ｂ的解,其中, 是任意的.当(Ａ)= (Ａ,Ｂ)=ｍ时,Ａ=Ｐ(　Ｏ)Ｑ,Ｂ=( 　 ),显然,ＡＸ=Ｂ有唯一解: ;当(Ａ)< (Ａ,Ｂ)时,ＡＸ=Ｂ无解.同理可证(2)成立(当(Ａ)= ( , )<ｎ时,X=P )定义3 对于任意的ｕ,ｖ,如果( )= ( ,)= (,),则称为极大元.定理5　分块矩阵可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是:它有一个极大元.证明: 充分性.不妨设为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，,令Ｋ=-Ｐ,其中, 为适当阶数的任意矩阵.则K+ =， 所以第一行左乘Ｋ加到第二行,得.同理,令Ｋ＇=-,则Ｋ′+ =0,所以的第一列右乘Ｋ′后加到第二列,得. (如先进行列变换,再进行行变换,得,因为=+=+,故两种运算顺序结果相同)必要性.反证法,不妨设()≠(,)或(,)(),则由定理4, =-或=-无解,从而不存在Ｋ,使对角化.同理,当()≠(,)或(,)≠()时,不存在使-AK=A或-=成立.定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化.定理6　矩阵的一种分块方法可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在ｓ-1行且存在ｔ-1列有极大元.证明: 用数学归纳法.当ｓ=ｔ=1时,只有一块,命题成立;设ｓ ≤ｅ,ｔ≤ ｆ时命题成立.当ｓ=ｅ+1,ｔ=ｆ时,存在ｅ行且存在ｆ-1列有极大元,显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使的前ｅ行与前ｆ-1列都有极大元,再把前ｅ行,前ｆ-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩阵,记为.显然为极大元,根据定理4, 可以化成对角形: ,又,它的每行、列都有极大,故由假设可以对角化,从而可以对角化.同理可证当ｓ=ｅ,ｔ=ｆ+1时, 可以对角化.由此命题成立.下面讨论对角化后的非零块进一步化简的方法.设,与.根据定理1, ,为的左(右)保秩因子,显然也是所在行(列)的左(右)保秩因子,故对角化后的分块矩阵第ｉ行、第ｉ列分别左乘,右乘后, 可以化成讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式.设I为S×S分块单位阵:I=其中I r为r阶单位阵(1≤i≤S),对I施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式.引理　分块初等阵的行列式有以下性质:(1)|I(i,j)|= ,其中τ=r (r+1+…+r)+ r (r+1+…+ r-1)(i