最短路问题及最速下降问题.pdf

1 § 1 变分法简介作为数学的一个分支， 变分法的诞生， 是现实世界许多现象不断探索的结果， 人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（ Johann Bernoulli ， 1667－ 1748） 1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题： “设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（ The Brachistochrone Problem ） 它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线） ，来满足所给的条件这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（ Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704 ） 、 雅可比· 伯努利 （ Jacob Bernoulli 1654-1705 ） 、 莱布尼茨 （ Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716 ）和牛顿（ Isaac Newton1642 — 1727）都得到了解答约翰的解法比较漂亮， 而雅可布的解法虽然麻烦与费劲， 却更为一般化。

后来欧拉 （ Euler Lonhard ， 1707～1783）和拉格朗日 (Lagrange, Joseph Louis ， 1736-1813) 发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学有趣的是，在 1690 年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem) 向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么 在大自然中， 除了悬垂的项链外， 我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索， 挂着水珠的蜘蛛网， 以及两根电线杆之间所架设的电线， 这些都是悬链线（ catenary） 伽利略（ Galileo, 1564 ～ 1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是惠更斯（ Huygens, 1629～ 1695）在 1646 年（当时 17 岁） ，经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案到 1691 年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以 62 岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案， 所用方法是诞生不久的微积分， 具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程解此方程并适当选取参数，得)(21 axax eeay （ 1）即为悬链线。

悬链线问题本身和变分法并没有关系， 然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、 不断争吵的导火索， 虽然雅可比· 贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的 “悬挂于两个固定点之间的同一条项链， 在所有可能的形状中， 以悬链线的重心最低，具有最小势能” ，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑， 其一， 这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻， 而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族， 其二， 有关悬链线的得几个结论， 可以用变0)0()0()(10222yyydxdyadxyd2 分法来证明！现实中很多现象可以表达为泛函极小问题， 我们称之为变分问题 求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴1.1 变分法的基本概念1.1.1 泛函的概念设 S 为一函数集合， 若对于每一个函数 Stx )( 有一个实数 J 与之对应， 则称 J 是定义在 S 上的泛函，记作 ))(( txJ S 称为 J 的容许函数集例如，在 ],[ 10 xx 上光滑曲线 y(x) 的长度可定义为1021xx dxyJ （ 2）考虑几个具体曲线，取 1,0 10 xx ，若 xxy )( ，则10 211)())(( dxxJxyJ若 y(x) 为悬链线，则101012224)(1)2(eedxeedxeeeeJ xxxxxx对应 ],[ 101 xxC 中不同的函数 y(x) ，有不同曲线长度值 J，即 J 依赖于 y(x) ，是定义在函数集合 ],[ 101 xxC 上的一个泛函，此时我们可以写成))(( xyJJ我们称如下形式的泛函为最简泛函ftt dttxtxtFtxJ 0 ))(),(,())(( （ 3）被积函数 F 包含自变量 t ，未知函数 x (t)及导数 x (t)。

上述曲线长度泛函即为一最简泛函1.1.2 泛函极值问题考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：在所有连接定点 ),(),( 1100 yxByxA 和 的平面曲线中，试求长度最小的曲线即，求 1100101 )(,)(],,[)()()( yxyyxyxxCxyxyxy ，使1021))(( xxdxyxyJ取最小值 此即为泛函极值问题的一个例子 以极小值为例， 一般的泛函极值问题可表述为，称泛函 ))(( txJ 在 Stx )(0 取得极小值，如果对于任意一个与 )(0 tx 接近的 Stx )( ，都有 ))(())(( 0 txJtxJ 所谓接近，可以用距离 ))(),(( 0 txtxd 来度量，而距离可以定义为|})()(||,)()({|max))(),(( 0000txtxtxtxtxtxdfttt3 泛函的极大值可以类似地定义其中 )(0 tx 称为泛函的极值函数或极值曲线1.1.3 泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样， 泛函的变分是泛函增量的线性主部 作为泛函的自变量，函数 )(tx 在 )(0 tx 的增量记为)()()( 0 txtxtx也称函数的变分。

由它引起的泛函的增量记作))(())()(( 00 txJtxtxJJ如果 J 可以表为))(),(())(),(( 00 txtxrtxtxLJ其中 L 为 x 的线性项，而 r 是 x 的高阶项，则称 L 为泛函在 )(0 tx 的变分，记作))(( 0 txJ 用变动的 )(tx 代替 )(0 tx ，就有 ))(( txJ 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数：0))()(())(( txtxJtxJ （ 4）这是因为当变分存在时，增量)),(()),(())(())(( xtxrxtxLtxJxtxJJ根据 L 和 r 的性质有)),(()),(( xtxLxtxL0)),((lim)),((lim 00 xx xtxrxtxr所以)()(lim)(00xJxxJxxJ)(),(),(),(lim0 xJxxLxxrxxL1.2 泛函极值的相关结论1.2.1 泛函极值的变分表示利用变分的表达式（ 4） ，可以得到有关泛函极值的重要结论泛函极值的变分表示：若 ))(( txJ 在 )(0 tx 达到极值（极大或极小） ，则0))(( 0 txJ （ 5）证明：对任意给定的 x ， )( 0 xxJ 是变量 的函数，该函数在 0 处达到极值。

根据函数极值的必要条件知4 0)( 00 xxJ再由（ 4）式，便可得到（ 5）式变分法的基本引理： ],[)( 21 xxCx ， ],[)( 211 xxCx ， 0)()( 21 xx ，有210)()(xx dxxx ，则 ],[,0)( 21 xxxx 1.2.2 泛函极值的必要条件考虑最简泛函（ 3） ，其中 F 具有二阶连续偏导数，容许函数类 S 取为满足端点条件为固定端点（ 6）的二阶可微函数00 )( xtx ， ff xtx )( （ 6）泛函极值的必要条件：设泛函（ 3）在 x(t)∈ S 取得极值，则 x(t) 满足欧拉方程0xx FdtdF （ 7）欧拉方程推导：首先计算（ 3）式的变分：0))()(( txtxJJftt dttxtxtxtxtF0 0))()(),()(,(ftt xxdtxxxtFxxxtF0]),,(),,([对上式右端第二项做分布积分，并利用 0)()( 0 ftxtx ，有ff tt xtt x xdtxxtFdtddtxxxtF00),,(),,( ，所以ftt xx xdtFdtdFJ0][利用泛函极值的变分表示，得0][0ftt xx x d tFdtdF因为 x 的任意性，及 0)()( 0 ftxtx ，由基本引理，即得（ 7） 。

7）式也可写成0xFxFFF xxxxxtx （ 8）通常这是关于 x(t) 的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（ 6）确定1.2.3几 种特殊形式最简泛函的欧拉方程(i) F 不依赖于 x ，即 ),( xtFF5 这时 0xF ，欧拉方程为 0),( xtFx ，这个方程以隐函数形式给出 )(tx ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解ii) F 不依赖 x ，即 ),( xtFF欧拉方程为0),( xtFdtd x将上式积分一次， 便得首次积分 1),( cxtFx ， 由此可求出 ),( 1ctx ， 积分后得到可能的极值曲线族dtctx 1,(iii) F 只依赖于 x ，即 )(xFF这时 0,0,0 xxxtx FFF ，欧拉方程为0xxFx由此可设 0x 或 0xxF ，如果 0x ，则得到含有两个参数的直线族 21 ctcx 另外若 0xxF 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数 c 的直线族cktx ，它包含于上面含有两个参数的直线族 21 ctcx 中，于是，在 )(xFF 情况下，极值曲线必然是直线族 iv ） F 只依赖于 x 和 x ，即 ),( xxFF这时有 0xtF ，故欧拉方程为0xxxxx FxFxF此方程具有首次积分为1cFxF x事实上，注意到 F 不依赖于 t ，于是有0)()( xxxxxxx FdtdFxFdtdxFxxFxFFxFdtd 。

1.3 几个经典的例子1.3.1 最速降线问题最速降线问题 设 A 和 B 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B的平面曲线中， 求一曲线， 使质点仅受重力作用， 初速度为零时， 沿此曲线从 A 滑行至 B 的时间最短解 将 A 点取为坐标原点， B 点取为 B(x 1,y1)，如图 1根据能量守恒定律，质点在曲6 线 )( xy 上任一点处的速度dtds 满足（ s 为弧长） A(0, 0) x mgydtdsm221将 dxxyds )('1 2 代入上式得 B(x 1,y1) dxgyydt 2 '12y 图 1 最速降线问题于是质点滑行时间应表为 )(xy 的泛函dxgyyxyJx2022'1))((端点条件为11 )(,0)0( yxyy最速降线满足欧拉方程，因为yyyyF 2'1)',(不含自变量 x ，所以方程（ 8）可写作0''' ''' yFyFF yyyyy等价于0)'( 'yFyFdxd作一次积分得12 )'1( cyy令 ,2' ctgy 则方程化为)cos1(22sin'1 12121 ccycy又因dcctgdcydydx )cos1(222cos2sin'11积分之，得2)sin(2 ccx7 由边界条件 0)0(y ，可知 02c ，故得).cos1(2)sin(211cycx这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数 1c 可利用另一边界条件 11( yxy ） 来确定。

1.3.2 最小旋转面问题最小旋转面问题 对于 xy 平面上过定点 ),( 11 yxA 和 ),( 22 yxB 的每一条光滑曲线)( xy ，绕 x 轴旋转得一旋转体旋转体的侧面积是曲线 )( xy 的泛函 ))(( xyJ ，易得dxxyxyxyJxx )('1)(2))((212容许函数集可表示为2211211 )()(][)()( yx, yyx,y,xxCx|yxyS解 因 "1 yyF 。