周期信号的分解与合成.ppt

第第3 3章章 连续信号与系统的频域分连续信号与系统的频域分析析本章重点和要点本章重点和要点•利用傅里叶级数分析周期信号的离散频谱利用傅里叶级数分析周期信号的离散频谱•利用傅里叶积分分析非周期信号的连续频谱利用傅里叶积分分析非周期信号的连续频谱•理解信号的时域与频域间的关系理解信号的时域与频域间的关系•掌握傅里叶变换定义、性质、应用掌握傅里叶变换定义、性质、应用•掌握系统的频域分析方法掌握系统的频域分析方法•掌握取样定理及其应用掌握取样定理及其应用•理解频谱分析在通信系统中的应用理解频谱分析在通信系统中的应用引言引言•回顾时域分析中利用卷积回顾时域分析中利用卷积对信号进行分解继而求出对信号进行分解继而求出响应的思路响应的思路信号的分解信号的分解 求响应求响应 再迭加再迭加时域时域分析分析: :卷积积分卷积积分频域频域分析分析: :傅立叶变换傅立叶变换复频域复频域分析分析: :拉普拉斯拉普拉斯变换变换自变量为自变量为 S =   +自变量为自变量为自变量为自变量为 t结论结论•LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。

3.1 信号的正交分解信号的正交分解 3.1.1 矢量的正交分解矢量的正交分解 1. 正交矢量正交矢量 图 3.1-1 两个矢量正交 2. 矢量的分解矢量的分解 图 3.1-3 平面矢量的分解 图 3.1-4 三维空间矢量的分解  上述矢量分解的概念可以推广到n维空间由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1, V2, …，Vn}为n维空间的完备正交矢量集n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合， 即 式中，Vi·Vj=0(i≠j) 第r个分量的系数 3.1.2 信号的正交分解信号的正交分解 1. 正交函数正交函数 设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为 2. 信号的正交展开信号的正交展开 设有一函数集｛g1(t), g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1, t2)上，如果对于所有的i、 j(可取1, 2, …，N)都有 则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。

如果 则称该函数集为归一化正交函数集归一化正交函数集  用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即 这种近似表示所产生的平方误差为  定定理理 设｛gi(t)｝在(t1, t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合， 即 式中，ci为加权系数，且有 式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数 (3.1-14)(3.1-15) 定定理理 3.1-2 在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有 式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和， 即能量守恒定理3.1-2 有时也称为帕塞瓦尔定理 (3.1-16)3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数 3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数 3.2.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数 三角函数集｛cosnΩt, sinnΩt|n=0,1,2,…｝是一个正交函数集，正交区间为(t0, t0+T)。

这里T=2π/Ω是各个函数cosnΩt，sinnΩt的周期三角函数集正交性的证明可利用如下公式： 上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0°=1, sin 0°=0，而0不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为 式中，Ω=2π/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数 式(3.2 - 5)就是周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-∞, ∞)区间也是成立的 可得加权系数：可得加权系数： 狄利赫利条件：狄利赫利条件： •.在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点；•.在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点；•.在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可积，即 •一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件. 周期信号的分解与合成周期信号的分解与合成•周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示 {cosn 1t, ……sinn 1t}•周期信号的复指数表示周期信号的复指数表示 { e j n  1t }周期信号的分解与合成周期信号的分解与合成•将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义1.1.从信号分析的角度从信号分析的角度将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。

为不同信号之间进行比较提供了途径2.2.从系统分析角度从系统分析角度已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应；的总响应；而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然强一目了然傅里叶生平傅里叶生平•17681768年生于法国年生于法国•18071807年提出年提出““任何周期任何周期信号都可用正弦函数级信号都可用正弦函数级数表示数表示””•18291829年狄里赫利第一个年狄里赫利第一个给出收敛条件给出收敛条件•拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表•18221822年首次发表在年首次发表在““热热的分析理论的分析理论””一书中一书中傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献•“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点•“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示示”——傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示•任何正常的周期为任何正常的周期为 T 的函数的函数 f (t) 都可分解为无限都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。

个正弦和余弦函数的代数和直流直流分量分量基波分量基波分量n =1 谐波分量谐波分量n>1基波角频率基波角频率周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示•傅立叶系数傅立叶系数直流系数直流系数余弦分量系数余弦分量系数正弦分量系数正弦分量系数可取可取 t0=0，t0=－T/2周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示•周期信号的另一种三角级数表示周期信号的另一种三角级数表示周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示•几个系数的关系几个系数的关系周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示•几种系数的特点几种系数的特点是是 n 的偶函数的偶函数是是 n 的奇函数的奇函数是是 n 的偶函数的偶函数是是 n 的奇函数的奇函数周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示• f (t) 为偶函数时的傅立叶级数为偶函数时的傅立叶级数取取 t0=－T/2• f ( t ) = f ( －－t )，，偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，无正弦分量无正弦分量周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示• f (t) 为奇函数时的傅立叶级数为奇函数时的傅立叶级数取取 t0=－T/2• f ( t ) = －－ f ( －－t )，，奇函数的傅立叶级数只有正弦分量，奇函数的傅立叶级数只有正弦分量，无直流分量和余弦分量。

无直流分量和余弦分量周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示•f (t) 为奇谐函数时的傅立叶级数为奇谐函数时的傅立叶级数f (t) 沿时间轴平移半个周期，沿时间轴平移半个周期，并关于时间轴对称，并关于时间轴对称，此时波形不变，此时波形不变，这样的这样的 f (t) 称为半波函数或奇谐函数称为半波函数或奇谐函数当当 n 为偶数时：为偶数时：奇谐函数的傅立叶级数中只含有基波和奇次谐波奇谐函数的傅立叶级数中只含有基波和奇次谐波的正、余弦分量，无偶次谐波分量的正、余弦分量，无偶次谐波分量周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示•f (t) 为偶谐函数时的傅立叶级数为偶谐函数时的傅立叶级数f (t) 沿时间轴平移半个周期，沿时间轴平移半个周期，此时波形不变，此时波形不变，这样的这样的 f (t) 称为半波函数或奇谐函数称为半波函数或奇谐函数当当 n 为奇数时：为奇数时：偶谐函数的傅立叶级数中只含有偶次谐波的正、偶谐函数的傅立叶级数中只含有偶次谐波的正、余弦分量，无基波和奇次谐波分量余弦分量，无基波和奇次谐波分量周期信号的三角级数表示周期信号的三角级数表示•P94/例例－－1：：求周期矩形波的傅里叶级数展开式。

求周期矩形波的傅里叶级数展开式奇函数：奇函数：且也是奇谐函数：且也是奇谐函数：n 为奇数：为奇数：3.2.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 式中，T=2π/Ω为指数函数公共周期，m、n为整数任意函数f(t)可在区间(t0, t0+T)内用此函数集表示为 式中，相关系数式中，相关系数Fn 周期信号的复指数表示周期信号的复指数表示•由知：由知：由欧拉公式：由欧拉公式：则：则：令：令：引入了负频率引入了负频率两种展开式的系数间的关系两种展开式的系数间的关系•由于由于所以：所以：两种展开式的系数间的关系两种展开式的系数间的关系•复系数还可表示为：复系数还可表示为：两种展开式的系数间的关系两种展开式的系数间的关系•类类P94/例例－－1：：求周期矩形波的复指数展开式求周期矩形波的复指数展开式两种展开式的系数间的关系两种展开式的系数间的关系。