高等数学习题精讲之3导数与微分.doc

第3章 导数与微分§3.1 导 数1. 导数的概念（1）设在有定义，若在处当时，的极限存在，则称为在处的导数，记为，，，即，或几何意义：表示曲线在点处切线的斜率2）若在内处处可导，则其导数记为，，，即 定义的拓展 （3）单侧导数定义左导数 右导数 （4）可导的充要条件 ，则2. 导数的运算法则（1）设，在处可导，则； ； （2）基本求导公式 （3）复合函数求导法：设在处可导，则 一般地，若，则（4）隐含数求导法（设是方程确定的隐含数）直接法：方程两边对求导，其中是的复合函数；微分法：利用微分形式不变性，两边微分后解出；公式法：（5）取对数求导法：特别地，，（6）反函数求导法：设的反函数为 ，，，（7）参数方程求导法：设，则 ，，，（8）分段函数求导法：一般分段点处要用定义和充分必要条件求导数。

9）高阶导数：若导函数在处可导，则称为的二阶导数，记为，，，类似有 高阶求导公式 莱布尼兹公式：，§3.2 微 分1. 微分的概念 （1）设在有定义，若点取时，可表为其中，是微分系数与无关，是比的高阶无穷小，则称在处可微称为在处的微分，记为或（2）几何意义：在点取时，为在点沿切线的纵坐标的改变量；为在点分别沿曲线和切线纵坐标的改变量的差（3）在处可微的充分必要条件是：在处可导2. 导数、微分与连续的关系可导等价于可微，且可导必连续，连续未必可导，即可导 可微 连续 3. 一阶微分形式不变形设，，其复合函数为，则无论对中间变量还是自变量，函数微分形式一致即§3.3 典型例题解析1．利用导数的定义求极限解题思路 若所求极限能化为的形式，则无论极限过程，只要方框内是相同的无穷小量，所求极限是例1 设存在，解 原式例2 已知存在，且，求解 原式例3 设存在，求解 原式 例4 已知，，，求解 ，，故2．利用导数的定义求导数解题思路（1）用定义求复杂函数的定点导数较方便；（2）抽象函数仅知连续条件求其定点导数时须用定义求解；（3）判断函数定点的可导性须用定义和可导的充分必要条件求解；（4）由已知条件和定义求导函数，有时要先求定点的导数或函数值，再求导函数。

例6 设，求解法1 由于，则解法2 设，显然在可导，则例7 设，其中在的邻域内连续，在点可导，且，，求解 例9 设在上有定义，满足，且，求解 令，，得，则 3．分段函数、含绝对值函数的求导及其反问题解题思路 （1）分段函数在分段点的导数须用定义和可导的充分必要条件求解；（2）函数由参数式或含绝对值给出时，应先求函数的分段表达式，再求解；（3）由函数连续的三条件及可导的充要条件对各分支列方程，联立求解常数例11 ，处处可导，求的导数解 当时，当时，例13 设，求并讨论的连续性与可导性解 当时，在处连续，从而在连续；；当，时，在处可导，从而在可导例15 设，若在可导，求的值解 在可导必连续，则， 又，则由可导的充要条件得， 例16 设二阶可导，求解 由函数连续三条件得，， 由函数可导的充要条件得 由函数二阶可导的充要条件得 4．复合函数和反函数求导法解题思路 （1）复合函数的求导：无论函数是几层复合，从最外层开始按基本初等函数逐层求导，即；（2）若函数由中间变量的形式给出，则需经变量代换求解；（3）函数是反函数解析式时，可先求反函数的导数，则例17 设，求，解 令，则，，例18 设，，求解 设，则，例19 设在内可导，且，，求在内的表达式。

解 由于，则 由于在连续，且，则， ，令，， ； 例21 记，，，求，解 由反函数求导法得，再由复合函数求导法得 5．隐函数、幂指函数与取对数求导法解题思路（1）直接法求隐含数导数注意，是中间变量，含的函数求导后要乘上，即；（2）当所给函数是由幂指函数或较多乘除因子构成时，可取对数化为隐函数求导，或直接用公式求导例22 已知，求 解法1 取对数求导得 解法2 由公式得 例23 设，其中二阶导数，且，求，解 例25 设，，且，均可导，求分析 这是复合函数求导与隐函数求导的综合题，中的由方程确定解 6．参数方程和极坐标方程求导解题思路： 微商的概念：一阶导数是函数的微分与自变量微分微分之商；二阶导数是导数的微分与自变量微分之商；；阶导数是阶导数的微分与自变量微分之商，则；；；例26 设函数，求 解 ；，，例27 求极坐标下的曲线在点处的切线在直角坐标系下的方程解 将化为参数方程，则 切点为 ，，故切线方程为7．利用变量替换化简常微分方程例29 （令）解 令，，，则 代入方程得 8．函数高阶导数的求法解题思路1 直接法：（1）对函数逐阶求导，分析其规律并归纳出阶导数的表达式；（2）利用莱布尼兹法则求乘积的阶导数；（3）利用已知条件和数学归纳法求解例31 求下列函数的阶导数（1）解 ；；；；（2）解 （）例32 设函数具有任意阶导数，且，证明：证法1 ，设，则 证法2 求解微分方程，得，则解题思路2 间接法：（1）分式函数求高阶导数拆项法：有理假分式 整式+有理真分式 整式+部分分式 仿写出有理函数的阶导数。

2）三角函数的高阶导数：利用三角积化和差与倍角公式降低函数的次数，再用，的公式求解例33 求下列函数的阶导数（1） 解 用多项式除法得由公式，得 （2）解 9．杂例例34 已知与在处垂直相交（即两曲线交点处的切线垂直），求的值解 两曲线交点处，函数值相等，且，则 ； 例35 设曲线在点处的切线与轴交点为，求解 ，切线的斜率，切线方程为令代入得，则 此题的几何意义：曲线，随着的增大，过点处的切线与轴交点就越来越靠近点，当时，切线的极限位置将是一条过点垂直轴的直线，此时切线的斜率例36 设函数在上连续，，且，证明在内必有一个零点分析：利用导数的定义确定端点函数值的符号，验证满足零点定理条件证 由极限的局部保号性 ， ，由零点定理至少存在一点，使得。