实数完备性定理地证明及应用.doc

word实数完备性定理的证明与应用学生某某：xxx学号：20085031072数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师：xxx 职称：副教授摘 要：实数集的完备性是实数集的一个根本特征，他是微积分学的坚实的理论根底，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性根本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的根本特征的进一步的认识和理解.并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的假如干性质．关键词：完备性；根本定理；等价性Testification and application about Real Number pletenessAbstract: pletenessof the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of pleteness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval.Key Words:sigmapleteness; fundamental theorem; equivalence引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论根底，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个根本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的假如干性质.1. 根本定义[1]定义1 设是中的一个数集．假如数满足：(1) 对一切，有，即是的上界；(2) 对任何，存在，使得，即又是的最小上界，如此称数为数集的上确界，记作=．定义2 设是中的一个数集．假如满足：(1) 对一切，有，即是的下界；(2) 对任何，存在，使得，即又是的最大下界，如此称数为数集的下确界，记作．定义3 设闭区间列具有如下性质:(1) ，；(2) ，如此称为闭区间套，或简称区间套．定义4[2]设为数轴上的点集，定点(它可以属于，也可以不属于)．假如的任何邻域内都含有中无穷多个点，如此称为点集的一个聚点． 其等价定义：对于点集，假如点的任何邻域内都含有中异于的点，即，如此称为的一个聚点．定义5 设为数轴上的点集，为开区间的集合(即的一个元素都是形如的开区间)．假如中任何一点都含在中至少一个开区间内，如此称为的一个开覆盖，或称覆盖．假如中开区间的个数是无限(有限)的，如此称为的一个无限(有限)开覆盖．2. 六个定理与证明定理1 维尔斯特拉斯聚点定理(Weierstrass聚点定理)直线上的有界无限点集至少有一个聚点．定理2 柯西收敛准如此(又叫实数完备性定理)数列收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某一个自然数，使得时，都有．定理3 确界原理有上(下)界的数集必有上(下)确界．定理4单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限．定理5 区间套定理假如是一列闭区间，，又设(1) ，；(2) ，如此存在唯一的，．定理6 有限覆盖定理(也叫海涅-波莱尔定理)设是闭区间，为的一个开覆盖，如此在中必存在有限个开区间，它构成的开覆盖．以上定理，虽然表述各异，其实质都是描述实数集完备性的定理，下面将以循环证明方式，证明其等价性．维尔斯特拉斯聚点定理柯西收敛准如此确界原理单调有界定理区间套定理有限覆盖定理维尔斯特拉斯聚点定理．3.1 维尔斯特拉斯聚点定理柯西收敛准如此证明 假如对0，0，当时，．取=1．如此0，当时，有1，如此1+．令=，如此对，都有．从而数列有界．(1)　假如看作点集，是一个有限点集，至少有一项重复出现无穷屡次，就以为项构成子列，如此是常数列，必收敛．记，如此．即　　　　　　　　　　　　　　　．(2)　假如构成无穷点集，由聚点定理必有一个聚点．由聚点定义2，必存在，且如此 ．即　　　　　　　　　　　　　　　．3.2 柯西收敛准如此 确界原理 证明 设S为非空有上界实数集，由实数的阿基米德性，对任何正数，在整数，使得，为的上界，而不是的上界，即在，使得． 分别取．如此对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界，而不是的上界，故存在使得． (1)又对正整数，是的上界．故有结合(1)式得．同理有 　　　　　　　　，从而得∣－∣＜．于是对任给，存在，使得当时，有由柯西收敛准如此，数列｛｝收敛，记 (2)现在证明就是的上确界．首先，对任何S和正整数，有，由(2)式得．即是的一个上界．其次，对任给的，由→0〔→∞〕与(2)式，对充分大的同时有，＞．又因为不是的上界，故存在，使＞结合上式 　所以为的上确界．同理可证S为非空下界数集，如此必存在下确界．3.3 确界原理单调有界定理证明 不妨设为有上界的递增数列．由确界原理，数列有上确界．=．下面证明就是的极限．事实上，任给0，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得．又由的递增性，当时有．另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有，所以，时有．这就证得．同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界．区间套定理[7]证明 由闭区间列的性质知，．如此为递增有界数列．依单调有界定理，有极限，且有，．同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件有，且，；综上　　　　　　　　　　　．最后证明是唯一的．设数也满足，；如此由，可知，故有．3.5 区间套定理有限覆盖定理证明 用反证法．假设有限覆盖定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖，将等分为两个子区间，如此其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖，记这个区间为，如此，且．再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖，记这个区间为，如此，且 ．重复上述步骤并不断地进展下去，如此得到一个闭区间列．它满足，；，即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖．由区间套定理，存在唯一的一点，；由于是的一个开覆盖，故存在开区间，使．于是，由区间套定理的推论，当充分大时有．这明确只须用中的一个开区间来覆盖，与挑选时的假设“不能用中有限个开区间来覆盖〞相矛盾．以而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖．3.6 有限覆盖定理聚点定理证明 假如为上的有界无穷点集，如此存在，使．对任意，任意0，记，显然覆盖了．由有限覆盖定理，存在也覆盖了．即．由于是无穷点集，至少有一个，使得含有中无穷多个点．如此是的聚点．4. 实数完备性定理的应用以上我们对实数完备性定理进展了循环证明，下面我们将对其在闭区间上连续函数性质的应用做一些举例证明．例1 证明有界性定理．证明〔应用有限覆盖定理〕 由连续函数的局部有界性，对没一点，都存在领域与正数，使得考虑开区间集显然是的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在的一个有限子集覆盖了，且存在正整数使得对一切有．令如此对任何必属于某这就证得在上有界．例2 证明最大最小值定理最大值最小值定理 假如函数在上连续，如此在上有最大值与最小值．证明 〔应用确界原理〕 由于已证得在上有界，故由确界原理，的值域有上确界，记为．以下我们证明：存在，使．倘假如不然，对一切都有．令易见函数在上连续，故在是的一个上界，如此从而推得但这与为的上确界〔最小上界〕相矛盾．所以必存在，使，即在上有最大值．同理可证在上有最小值．总结 本文围绕着解决极限存在性之一中心问题，以聚点定理理为出发点，讨论了实数完备性的六个根本定理，着重讨论了以下几个方面：1、根本定理的等价性 各定理虽然形式不同，但从本质上讲，都是从不同侧面反映了实数的完备性，且它们相互等价．2、根本定理的特征确界原理——分析、函数论中的重要角色，量变到质变的转折点，客观事物性质的数学表达；单调有界定理——几何意义十清楚显；区间套定理——将“整体〞局部化，“化整为零〞 ；聚点定理——“化整为邻〞的另一途径，整体性态—收敛子列—局部性态；有限覆盖定理——闭集的本质属性，局部到整体；柯西准如此——从运算上讲，极限在实数集合内是封闭的．3、根本定理的意义实数完备性的六个根本定理，深刻剖析了实数域的完备结构，突出了存在性问题的研究，克制了极限方法上的局限性．参考文献[1]强文久．数学分析的根本概念与方法[M]．：高等教育，1989．[2] 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中.数学分析上册[M]．：人民教育．[3] 华东师X大学数学系. 数学分析(第三版)上册[M]．：高等教育，2003．[4] 江泽坚，吴智泉．实变函数论[M]．人民教育，1961．[5]王建午．实数的构造理论[M]．：人民教育，1981．[6]G.波利亚等著．X奠宙等译．数学分析中的问题和定理第一卷[M]．某某：某某科学技术，1981．[7]沈燮昌．数学分析第二册[M]．：高等教育，1986．[8] 某某大学数学系．数学分析[M]．：人民教育，1978． / 。