上海高考教学数学函数经典压轴题分析详解.docx

上海高考教课数学函数经典压轴题剖析详解上海高考数学压轴题系列训练含答案及剖析详解1.(本小题满分12分)已知常数a>0,n为正整数，fn(x)=xn–(x+a)n(x>0)是关于x的函数.(1)判断函数fn(x)的单调性，并证明你的结论.(2)对任意n?a,证明f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n)解:(1)fn`(x)=nxn–1–n(x+a)n–1=n[xn–1–(x+a)n–1],a>0,x>0,∴fn`(x)<0,∴fn(x)在（0，+∞）单调递减.4分2）由上知：当x>a>0时,fn(x)=xn–(x+a)n是关于x的减函数,∴当n?a时,有：(n+1)n–(n+1+a)n?nn–(n+a)分又∴f`n+1(x)=(n+1)[xn–(x+a)n],∴f`n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n–(n+1+a)n]<(n+1)[nn–(n+a)n]=(n+1)[nn–(n+a)(n+a)n–1]2分(n+1)fn`(n)=(n+1)n[nn–1–(n+a)n–1]=(n+1)[nn–n(n+a)n–1],2分∵(n+a)>n,∴ f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n).2分2.(本小题满分12分)已知：y=f(x)定义域为［–1，1］，且满足：f(–1)=f(1)=0，对任意u,v?[–1，1］，都有|f(u)–f(v)|≤|u–v|.判断函数p(x)=x2–1可否满足题设条件？(2)1x,x[1,0]，可否满足题设条件？判断函数g(x)=x,x[0,1]1解：(1)若u,v?[–1，1]，|p(u)–p(v)|=|u2–v2|=|(u+v)(u–v)|，取 u=3?[–1，1]，v=1?[–1，1],42则|p(u)–p(v)|=|(u+v)(u–v)|=5|u–v|>|u–v|，4因此p(x)不满足题设条件.（2）分三种情况谈论：10.若u,v?[–1，0]，则|g(u)–g(v)|=|(1+u)–(1+v)|=|u–v|，满足题设条件；20.若u,v?[0，1]，则|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1–v)|=|v–u|，满足题设条件；30.若u?[–1，0]，v?[0，1]，则：|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1+v)|=|–u–v|=|v+u|≤|v–u|=|u–v|，满足题设条件;40若u?[0，1]，v?[–1，0],同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3.(本小题满分14分)已知点P(t,y)在函数f(x)=x(x?–1)的图象上，且有t2–c2at+4c2=0(c?0).x1求证：|ac|?4;求证：在(–1，+∞）上f(x)单调递加.(3)(仅理科做)求证：f(|a|)+f(|c|)>1.证：(1)∵t?R,t?–1,∴⊿=(–c2a)2–16c2=c4a2–16c2?0，c?0,∴c2a2?16,∴|ac|?4.(2)由f(x)=1–1x,1法1.设–10,x2+1>0,∴f(x2)–f(x1)<0,即f(x2)0得x?–1,(x1)2x>–1时，f(x)单调递加.（3）（仅理科做）∵f(x)在x>–1时单调递加，|c|?4>0,|a|44)=|a|4∴f(|c|)?f(4=|a||a|41|a|f(|a|)+f(|c|)=|a|+4>|a|+4=1.|a|1|a|4|a|4|a|4即f(|a|)+f(|c|)>1.4．（本小题满分15分）设定义在R上的函数f(x)a0x4a1x3a2x2a3xa4（其中ai∈R，i=0,1,2,3,4），当x=－1时，f(x)获取极大值2，并且函数y=f(x+1)的图象关于点（－1，0）对称．31）求f(x)的表达式；2）在函数f(x)的象上求两点，使两点切点的切互相垂直，且切点的横坐都在区2,2上；（3）若xn2n1,yn2(13n)(nN+)，求：f(xn)f(yn)4.2n3n3解：（1）f(x)1x3x.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3（2）0,0,2,2或0,0,2,2.⋯⋯⋯⋯10分33f(xn)f(yn)f(4.⋯⋯15分（3）用数求最，可得1)f(1)35．（本小分13分）M是C:x2y21上的一点，P、Q、T分M关于y、原点、x的称点，N124C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点E，当M沿C运，求点E的迹方程．解：点的坐M(x1,y1),N(x2,y2)(x1y10),E(x,y),P(x1,y1),Q(x1,y1),T(x1,y1),⋯⋯1分x12y12(1)121,LLLL4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分x22y22(2)121.LLLL4由（1）－（2）可得kMN?kQN1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分3又MN⊥MQ，kMNkMQ1,kMNx1,因此kQNy1.y13x1直QN的方程yy1(xx1)y1，又直PT的方程yx1x.⋯⋯10分3x1y1从而得x1x1,y1y1.因此x12x,y12y.22代入（1）可得x2y21(xy0),此即所求的迹方程.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分36．（本小分12分）抛物x24y上不同样两点A、B分作抛物的切订交于P点，PAPB0.（1）求点P的迹方程；（2）已知点F（0，1），可否存在数使得FAFB(FP)20？若存在，求出的，若不存在，明原由.解法（一）：（1）A(x1,x12),B(x2,x22),(x1x2)44由x24y,得：y'x2PAPB0,PAPB,x1x24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分直PA的方程是：yx12x1(xx1)即yx1xx12①4224同理，直PB的方程是：yx2xx22②24xx1x22(x1,x2R)由①②得：yx1x21,4∴点P的迹方程是y1(xR).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）由（1）得：FA(x1,x121),FB(x2,x221),P(x1x2,1)442FAFBx1x2(x121)。