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    逻辑学导论2第二章习题参考答案    《逻辑学导论（2）》第二章习题解答一、请将下述命题符号化，如果是复合命题，请根据其中所含的主联结词，指出是何种复合命题：1．阳光和红霞是好朋友解】：p这是一个简单命题，应作为一个整体看待2．贝多芬和莫扎特是伟大的作曲家解】：设p表示“贝多芬是伟大的作曲家”，q表示“莫扎特是伟大的作曲家”，则上述命题可表示为：p∧q这是一个联言命题3．说西红柿是蔬菜是假的解】：设p表示“西红柿是蔬菜”，则上述命题可表示为：?p这是一个负命题4．大连队将获得今年的甲A冠军，否则，冠军就是国安队解】：设p表示“大连队将获得今年的甲A冠军”，q表示“国安队将获得今年的甲A冠军”，则上述命题可表示为：p∨ q这是一个选言命题5．尽管并非所有的人都是自私的，但仍然有不少人很自私解】：设p表示“所有的人都是自私的”，q表示“有不少人很自私”，则上述命题可表示为：?p∧q这是一个联言命题6．如果我们再不降低生育率，那我们就会连坐下来的空间都没有了解】：设p表示“我们再不降低生育率”，q表示“我们连坐下来的空间都没有了”，则上述命题可表示为：p→q这是一个假言命题7．即使我们提高税收，财政赤字仍不会减少，除非我们削减政府开支。

解】：设p表示“我们提高税收”，q表示“财政赤字会减少”，r表示“我们削减政府开支”，则上述命题可表示为：?r→?(p→q)这是一个假言命题8．钱不是万能的，但没有钱是万万不行的解】：设p表示“钱不是万能的”，q表示“没有钱是万万不行的”，则上述命题可表示为：p∧q这是一个联言命题9．如果你是草，羊会站在你的身上，践踏你，啃食你，不管你是它的亲人还是朋友；如果你是参天大树，羊会仰望你，赞美你，无论你是残疾还是孩子解】：设p1表示“你是草”，q1表示“羊会站在你的身上践踏你”，r1表示“羊会站在你的身上啃食你”，s1表示“你是它的亲人”，t1表示“你是它的朋友”，则上述命题的前半部分可表示为：p1→?(s1∨t1→?q1∨?r1)设p2表示“你是参天大树”，q2表示“羊会仰望你”，r2表示“羊会赞美你”，s2表示“你是残疾”，t2表示“你是孩子”，则上述命题的后半部分可表示为：p2→?(s2∨t2→?q2∨?r2)整个命题可表示为：（p1→?(s1∨t1→?q1∨?r1)）∧（p2→?(s2∨t2→?q2∨?r2)）这是一个联言命题10．某液体是酸类，当且仅当，它让石蕊试纸变红解】：设p表示“某液体是酸类”，q表示“该液体让石蕊试纸变红”，则上述命题可表示为：q?p。

这是一个充分必要条件假言命题11．既然不存在完美无缺的事情，我就不应该因我的过失而受到责备解】：设p表示“不存在完美无缺的事情”，q表示“我不应该因我的过失而受到责备”，则上述命题可表示为：p→q这是一个充分条件假言命题12．恐龙无法被克隆，除非科学家能够获悉恐龙的完整基因解】：设p表示“科学家能够获悉恐龙的完整基因”，q表示“恐龙能被克隆”，则上述命题可表示为：p←q这是一个必要条件假言命题13．如果你没有失约，老板仍然不高兴，那么或者是因为你没有做成那笔买卖，或者是因为我的错解】：设p表示“你没有失约”，q表示“老板不高兴”，r表示“因为你没有做成那笔买卖”，s表示“因为我的错”，则上述命题可表示为：p∧q→r∨s这是一个充分条件假言命题14．所有可靠的论证都是有效的，并且它们有真的前提解】：设p表示“所有可靠的论证都是有效的”，q表示“所有可靠的论证都有真的前提”，则上述命题可表示为：p∧q这是一个联言命题15．如果我们提高税收并且削减政府开支，那么，除非发生大的自然灾害，财政赤字将会减少解】：设p表示“我们提高税收”，q表示“我们削减政府开支”，r表示“发生大的自然灾害”，s表示“财政赤字将会减少”，则上述命题可表示为：p∧q→(?r→s)。

这是一个充分条件假言命题16．雨、雪、风、霜都不会阻止那位邮递员按时投送邮件解】：设p表示“雨不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，q表示“雪不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，r表示“风不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，s表示“霜不会阻止那位邮递员按时投送邮件”，则上述命题可表示为：p∧q∧r∧s这是一个联言命题17．甲、乙、丙、丁至少有一人将来会成为杰出人士解】：设p表示“甲将来会成为杰出人士”，q表示“乙将来会成为杰出人士”，r表示“丙将来会成为杰出人士”，s表示“丁将来会成为杰出人士”，则上述命题可表示为：p ∨q∨r∨s这是一个相容选言命题18．聪明的人总是用别人的智慧填补自己的大脑，愚蠢的人总是用别人的智慧干扰自己的情绪解】：设p表示“聪明的人总是用别人的智慧填补自己的大脑”，q表示“愚蠢的人总是用别人的智慧干扰自己的情绪”，则上述命题可表示为：p∧q这是一个联言命题二、用真值表方法去验证下述公式是不是重言式：1．?(A∧?A)【解】：列真值表进行真值运算如下：最后一列真值均为1，故原公式为重言式2．(A→?A)→?A【解】：列真值表进行真值运算如下：3．?A→(A→(B→C))【解】：列真值表进行真值运算如下：4．(A→(B→C))→((A→B)→(?C→?A∨D))【解】：列真值表进行真值运算如下：5．A?A∨(A→C)【解】：列真值表进行真值运算如下：最后一列第三、四行真值均为0，故原公式不是重言式。

6．(A?B)→((C?D)→((A?C)→(B?D))) 【解】：列真值表进行真值运算如下：三、用归谬赋值法判定下述公式是否重言式：1．(?A→A)→A【解】变元A2．(A→B)→((A∨C)→(B∨C))【解】：用归谬赋值法判定如下：3．(A→B)→((C→D)→(A∧C→B∧D)) 【解】：用归谬赋值法判定如下：变元D的取值出现矛盾，故原公式为重言式4．(A→(A→C))→(A→C)【解】：用归谬赋值法判定如下：变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式5．(A∧(B∨C))→((A∧B)∨(A∧C))变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式6．((A∨B)∧(A∨C))→(A∨(B∧C))【解】：用归谬赋值法判定如下：变元C的取值出现矛盾，故原公式为重言式四．用树形图方法判定下述公式是否重言式：1．A∧?A→(A∧B)∨C【解】：依画图规则构造树形图如下：由于该树形图只有一个闭枝，故原公式为重言式 2．((A →B)→A)→A【解】：依画图规则构造树形图如下： 该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式 3．(A →B)→(A ∧C →B) 【解】：依画图规则构造树形图如下： 该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式。

4．(A →B)→((A ∧C)?(B ∨C)) 【解】：依画图规则构造树形图如下：?（（A ∧?A ）→（A ∧B ）∨C ）︱A ∧?A ?（（A ∧B ）∨C ））︱A ?A ※√该树形图有不能关闭的枝，故原公式不是重言式 5．(A ∧B →C)?(A →(B →C)) 【解】：依画图规则构造树形图如下：该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式 6．(A ?(B ∧C))→(A ?B)∨(A ?C) 【解】：依画图规则构造树形图如下：?（（B →C ））） A ∧B ?（A →（︱A ?（B →C ） ︱B A ∧B →C ） B →C ） ︱A ∧B ?C ︱ A BC ※?A ※B →?B ※※ ※※√√ √√ ?（（A →B ）→（（A ∧C ）?（B ∨C ）））︱A →B ?（（A ∧C ）?A ∧?（B ︱ A C ︱ ?B ?C ※?BCBC ※?A?A ?AB BB该树形图已经终结，并且各个枝都是闭枝，故原公式为重言式 五．在PN 中证明，下述公式是PN 定理： 1．A ∨?A 【证明】：（1） 〇?( A ∨?A) 假设 （2） | 〇A假设（3） | |A ∨?A （2）∨+（4） | |?( A ∨?A) （1）∈（假设引用） （5） | ?A （2）（3）（4）?+ （6） | A ∨?A （5）∨+（7） | ?( A ∨?A) （1）∈（假设引用） （8）A ∨?A（1）（6）（7）?-2．??A ?A 【证明】：（1） 〇A假设（2） | 〇?A假设（3） | | A （1）∈（假设引用） （4） | | A ∧?A（2）（3）∧+ （5） | ??A （2）（4）?+ （6） A →??A （1）（5）→+ （7） 〇??A 假设 （8） | 〇?A假设（9） | | ??A （7）∈（假设引用） （10）| | ?A ∧??A （8）（9）∧+ （11）| A（8）（10）?-?((A ?(B ∧C))→(A ?B)∨(A ?C))︱A ?(B ∧C) ?((A ?B)∨(A ?C)) ︱?(A ??(A ??A ?(B ∧C) ?C?BB ∧C ︱ B CA ?B ※ ?A B ※ A ?B ※?A B A ?B ※ ?A B※ A ?C ※ ?A C ※√√ √ √（12）??A→A （7）（11）→+（13）??A?A （6）（12）?+ 3．?(A∧?A)【证明】：（1）〇A∧?A 假设（2） | A （1）∧-（3） | ?A （1）∧-（4）?（A∧?A）（1）（2）（3）?+ 4．(A→B)→(?B→?A)【证明】：（1）〇A→B 假设（2） | 〇?B 假设（3） | | 〇A 假设（4） | | | B （1）（3）→-（5） | | | ?B （2）∈（假设引用）（6） | | | B∧?B （4）（5）∧+（7） | | ?A （3）（6）?+（8） | ?B→?A （2）（7）→+（9）（A→B）→（?B→?A）（1）（7）→+ 5．(A→(B→C))→(?C→(B→?A))【证明】：（1）〇A→（B→C) 假设（2） | 〇?C 假设（3） | | 〇 B 假设（4） | | | 〇A 假设（5） | | | | B→C （1）（4）→-（6） | | | | B （3）∈（假设引用）（7） | | | | C （5）（6）→-（8） | | | | ?C （2）∈（假设引用）（9） | | | | C∧?C （7）（8）∧+（10）| | | ?A （4）（9）?+（11）| | B→?A （3）（10）→+（12）| ?C→(B→?A) （2）（11）→+（13）(A→(B→C))→(?C→(B→?A))(1）(12）→+ 6．(A→B)→((B→C)→(A→C))【证明】：（1）〇A→B 假设（2） | 〇B→C 假设（3） | | 〇A 假设（4） | | | B （1）（3）→-（5） | | | C （2）（4）→-（6） | | A→C （3）（5）→+（7） |（B→C）→（A→C）（2）（6）→+（8）（A→B）→（（B→C）→（。