《数术记遗》之九宫算法研究.pdf

目皇 《数术记遗 之九宫算法研究 ◆杨晓清 《数术记遗》记载了我国古代14种算法，除第14种 “计数”为心算，无须算具外，其余13种均有计算工具， 分别是：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、 才算、五行 算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、 龟算和珠算唐宋以后，《数术记遗》中所述13种算具， 除珠算沿用至今外，所有算具均相继失传而此书以 “记遗”的形式，内容比较简单，只有文字介绍，更无算 具图样，其历史原貌，已经无人知晓成为我国古算史 上的千古之谜后世中外学者作了大量研究，并试图还 原其本来面目惜无定论 笔者通过《数术记遗》所述内容并结合对幻方的研 究，提出了算盘起源于“九宫算”的观点(注1)，那么， “九宫算”又是一种什么算法?它是以什么为计算目的 和内容的?它具体的运算方法是什么?如果不能说明这 一问题，那么算盘起源于“九宫算”的观点就依据不足 了下面根据《数术记遗》的记载，通过本文作一研究探 讨以求证于同道 一、九宫算是以九宫图为基础的一种运算方法运 算的目是排列更大的奇数阶幻方 《周易·系辞上》载：“河出图，洛出书，圣人则之 传说伏羲氏时有龙马从黄河出现，背负河图；有神龟从 洛水出现，背负洛书。

九宫图本源自洛书，古又称之为 “纵横图”，即现代的三阶幻方(图1) 图1： 4 9 2 3 5 7 8 1 6 珠算与珠心算2013．5 《数术记遗》记载：“九宫算：五行参数，犹如循环 甄鸾注称：“九宫者，即二、四为肩，六、八为足，左三、右 七，戴九履一，五居中央五行参数者，设位之法依五 行，已注于上是也注于上：……此等诸法，随须更位， 唯有九宫，守一不移位依行色，并应无穷……言位依 行色者，一位第一用玄珠，十位第二用赤珠，百位第三 用青珠，千位第四用白珠，万位第五用黄珠，十万位以 赤线系黄珠，百万位以青线系黄珠，千万位以白线系黄 珠，万万位日亿，以黄线系黄珠，自余诸位唯兼之，故曰 并应无穷也 以上内容从词面上理解，有几层意思一是说什么 是九宫图，因为没有图，所以用口诀的形式来描述，既 形象又易记，即使从来没见过九宫图或不懂排列的人． 也可以轻易地画出来这也为九宫图后世的流传发挥 了很大的作用二是说什么是九宫算．就是以九宫为基 础，将各自然数字按照五行参数的方法，循环进行排列 组合，排列出各种大小不同的幻方三是说九宫算的一 个要点，是所有的数字在排列的过程中都可能根据需 要变更位置，只有位居九宫中心的那一个数字，“守一 不移”，不可移动。

从这一句可以说明九宫算研究的是 奇数阶幻方(后来杨辉等科学家运算偶数阶幻方，那是 对九宫算法的发展)四是运用九宫算，可以有无穷的 变化，也可以理解为可以运算到极大的方阵，事实上文 中也已经举例到亿了五是运算中所用的工具是珠子． 这一算法被称之为珠算虽然九宫算和珠算被《数术记 遗》同时列为14种算法之一，但用珠算的方法来运算九 宫却是其特点这也为后世算盘的诞生开启了大门(注 2) ■皇 以上论述表明，“九宫算”是一种以九宫图为依据 的推演算法，其运算的目是排列各种更大的奇数阶幻 方 二、九宫算的具体运算方法就在《数术记遗》记载 之中 自从发现九宫图后，古代人民就被那神奇的数字 组合迷住了人们孜孜不倦地对其探索研究，以其找 到比三阶更大的幻方组合从而涌现出许多这方面的 研究专家我国古代数学家杨辉在这方面取得了伟大 成果．在公元l3世纪已经编制出3—1O阶幻方后来国 外著名的幻方排列有Merzirac法，loubere法，horse法 等幻方研究发展到今天，尤其是计算机技术的飞速 发展，对普通幻方的排列组合已经不再是难题其排 列方法也是数不胜数．排列的内容和难度等级更是极 大的提高，平方幻方，立方幻方，完美幻方等等，数 学爱好者和科学家仍在不断地向更深层次研究和探 索。

那么《数术记遗》中的“九宫算”用的是哪一种算法 呢?经笔者仔细研究发现了其中的一个奥秘，奇数阶 幻方九宫算的具体运算方法就在《数术记遗》“九宫算： 五行参数，犹如循环”寥寥的l1个字之中我认为这是 一个深藏了一千多年的谜，就如一把钥匙，放在那里一 千多年了，不是没有人看见，只是没有被想到，她被忽 略了!她是一种完全不同于后世的算法，她是奇数阶幻 方之解的鼻祖，她是奇数阶幻方解的方程式!其关键就 在甄鸾对徐岳这句话的注解上 自古以来，人们一直把甄鸾所注的：“九宫者，即 二、四为肩，六、八为足，左三、右七，戴九履一，五居中 央认为是仅仅对九宫图的描述，没有去深入研究其 中的奥秘殊不知以上口诀实质是九宫算法的解!甄鸾 在注述中紧接一段：“五行参数者设位之法依五行已 注于上是也注于上：……此等诸法，随须更位，唯有九 宫，守一不移位依行色，并应无穷”这个“注于上”包 含了上述口诀，非常重要我理解为：九宫算法．按照口 诀的方法，将数字进行组合排列，根据需要随时变换位 置，但只有九宫居中央的这一个数字，是定下来唯一不 动的各个位置的数字，用不同颜色的珠子及不同颜色 的丝线系不同颜色的珠子来定位表示，以此类推。

可以 直至无穷大 三、九宫算法的具体步骤 以下运算方法完全按照《数术记遗》：“九宫算：五 行参数，犹如循环”、“九宫者，二、四为肩，六、八为足， 左三、右七，戴九履一，五居中央”、“唯有九宫，守一不 移，位依行色，并应无穷此等诸法的记载这一算法 笔者称其为“中心扩散法”仿照《数术记遗》之意，将算 法口诀通俗地概括为：“中心定位，由内而外；分段取 值，层层扩散；先放斜角，圈差易算；位依法行，逐次展 开；九宫参数，无穷循环 运用这一算法，所排列的幻方阵，各数字从中心开 始，犹如‘太极生两仪”般分两个方向往数列两端，依一 定的规则，层层展开，循环而出构成中心对称的“完美 幻方”下面用5阶和11阶为例进行运算解说(为了表达 清楚，在此将步骤说明得比较详细，看似繁复，实则运 算非常简单)： (一)5阶幻方的运算： 1．先定中心数13． 2．按照九宫图规律从中心数13向两端取值12，11 和14，15，依次排出左上至右下为11，12，13，14，l5(图 2) 图2： 11 12 13 14 15 3．如果把幻方图看成一圈圈由中心向外扩散的．那 么13这个数就是第一圈，第二圈有8个数字已经排了 12，14，还有6个，由中间向两边取，依次为10，9，8，和 16，17，18。

6个数里，最小是8，最大是18，按戴九履一， l8在上，8在下定位；其次是9和17，按二、四为肩，六、八 为足(9仅t：l~8大，相当于2的位置；17仅比18小，相当于8 的位置)由于左肩和右足已经有了，那么便在右肩放9 在其相对的左足上放17；最后按左三、右七，放置10和 兰趔 霉参 16，第二圈完成(图3) 图3： ll 12 18 9 10 13 16 17 8 14 15 目皇 4．第三圈有16个数字，已经排了l1，15，还有l4个， 由中间向两边取，依次为7，6，5，4，3，2，1和 19，20，21，22，23，24，25仍按戴九履一法放置25和1， 二、四为肩，六、八为足法放置2和24，左三、右七法放置 3和23(图4) 图4： 11 25 2 12 18 9 3 10 13 16 23 17 8 14 24 1 15 5．随着圈数(阶数)的增加，在按口诀放置完相应的 数字后，剩余的中间数会越来越多，则按照“二、四为 肩，六、八为足”的口诀和设位之法依五行，随须更位， 位依行色，并应无穷等要旨，依照对称的原则循环排列 而出顺序为：4，5，6，7(图5) 图5： 11 25 7 2 5 12 18 9 3 10 13 16 23 17 8 14 4 24 6 1 15 珠算与珠心算2013．5 6．在对称的位置放置22，21，20，19。

五阶幻方运算 完成(图6) 图6： 1l 20 25 7 2 5 12 18 9 21 3 10 13 16 23 22 17 8 14 4 24 6 1 19 15 (二)l1阶幻方的运算： 1．11阶幻方由1一l2l数字组成 2．定中心数为6l 3．由中心向两端分段取值： 1) 取左上至右下：6O，59，58，57，56和 62，63，64，65，66 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 2)取第2圈6个数值依次为：55，54，53和67，68，69 按戴九履一，二、四为肩，六、八为足，左三、右七法放置 (见图) 56 57 58 59 60 69 54 55 6l 67 68 53 62 63 64 65 66 56 57 58 78 82 87 41 45 36 43 59 71 76 52 47 79 39 50 60 69 54 72 83 37 48 55 61 67 74 85 84 73 68 53 62 49 38 80 75 51 46 70 63 42 86 44 40 35 81 77 64 65 66 3)取第3圈l4个数值依次为：52—46和70—76。

排 5)取第5圈30个数值依次为：34—20和88—102 列方法与5阶例同 56 57 58 59 71 76 52 47 50 60 69 54 72 48 55 61 67 74 73 68 53 62 49 75 51 46 70 63 64 65 66 4)取第4圈22个数值依次为：45—35和77—87其 中间数依5阶(图5、6)之法反复循环放置，直至完成，其 余各圈一并如此 56 57 89 93 97 102 26 30 34 2l 32 58 78 82 87 41 45 36 90 28 43 59 71 76 52 47 79 94 24 39 50 60 69 54 72 83 98 22 37 48 55 61 67 74 85 100 99 84 73 68 53 62 49 38 23 95 80 75 51 46 70 63 42 27 91 86 44 40 35 81 77 64 31 101 33 29 25 20 96 92 88 65 66 6)取第6圈38个数值依次为：19—1和103—1211l 阶幻方运算完成 目皇 56 1O4 108 112 116 121 7 11 15 19 2 17 57 89 93 97 102 26 30 34 21 105 13 32 58 78 82 87 41 45 36 90 109 9 28 43 59 71 76 52 47 79 94 113 5 24 39 50 60 69 54 72 83 98 117 3 22 37 48 55 61 67 74 85 10O 119 118 99 84 73 68 53 62 49 38 23 4 l14 95 80 75 51 46 70 63 42 27 8 110 91 86 44 40 35 81 77 64 3l 12 106 101 33 29 25 20 96 92 88 65 16 12O 18 14 10 6 1 115 1l1 107 103 66 (三)更大阶奇数幻方的运算，限于篇幅，不能一一 列举。

笔者在2013年第3期《珠算与珠心算》杂志上《算 盘起源于“九宫算”之演变探讨》一文中已经列出过201 阶和2013阶幻方图的中心部分所有各奇数阶幻方，按 照《数术记遗》之法均可运算得出由三阶而上，乃至无 穷 四、关于圈差 笔者在运算口诀中曾提到“圈差易算”圈差是我 在推算九宫图过程中总结出的一个排列规律，可以使 运算更加简便幻方中通过中心点的数字线有四条，除 了左上至右下这条斜线为顺序排列外，还有一横一竖 及右上至左下三条将整个幻方分割成“米”字形这三 条线的数字排列规律可以用公式计算即第3圈与第2 圈相邻两数之差均为7，从第四圈起，向外延。