复变函数与积分变换Fourier变换简介.ppt

Fourier变换简介1. Fourier级数一、 Fourier 积分以2π为周期的周期函数f (t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上f(t)可以展成Fourier级数，在f(t)的连续点处，级数的三角形成为以T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成Fourier级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为2.Fourier 级数的复指数形式其中，其中 称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n次谐波频率在fT(t)的间断点t0处，式(1.1)的左端代之为即3.Fourier积分任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周 期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的这个公式称为函数f (t)的Fourier积分公式【Fourier积分定理】 若f (t)在(-∞，+∞)上满足下列条件：2°则积发 存在,并且在f (t)的连续点处1°在任一有限区间满足狄利克雷条件；而在f (t)的间断点t0处，应以代替该式左端的f (t)。

注】 非周期函数满足Fourier积分定理的条件1°， 才能保证函数在任意有限区间上能展为Fourier级数 满足Fourier积分定理的第2°条,才能保证 存在 二、 Fourier变换定义 设f (t)和F(ω)分别是定义在R上的实值和复 值函数，称它们是一组Fourier变换对，如果成立并称F(ω)为f (t)的象函数或Fourier变换，记为 F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象原函数或Fourier逆变 换，记为F-1[F(ω)]2.1 Fourier变换的定义（2.1）这种频谱图称为离散频谱，也称为线状频谱2.2 Fourier变换的物理意义——频谱2.2.1 非正弦的周期函数的离散频谱2.2.2 连续频谱在频谱分析中, Fourier变换F(w)又称为f(t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数f (t)作Fourier变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱.【例1】 求矩形脉冲函数 的Fourier变换及其积分表达式。

tf (t)2.3 δ函数及其Fourier变换2.3.1 δ函数的定义(1)(狄拉克)满足下列两个条件的函数称为δ函数2)普通函数序列极限形式的定义其中(3)广义函数形式的定义若f (t)为无穷次可微函数，则2.3.2δ函数在积分变换中的作用(1)有了δ函数，对于点源和脉冲量的研究就能 够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待 2)尽管δ函数本身没有普通意义下的函数值， 但它与任何一个无穷次可微的函数的乘积在(- ∞,+∞)上的积分都有确定的值3)δ函数的Fourier变换是广义付氏变换，许 多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函 数、正弦函数、余弦函数等是不满足Fourier积分定 理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些函 数的广义Fourier变换都可以利用δ函数而得到2.3.3 筛选性质2.3.4δ函数的Fourier变换于是d (t)与常数1构成了一Fourier变换对.证法2：若F(w)=2pd (w), 由Fourier逆变换可得【例3】证明：1和2pd (w)构成Fourier变换对.证法1 ：由上面两个函数的变换可得【例5】 求正弦函数f (t)=sinw0t的Fourier变换。

tpp-w0w0Ow|F(w)| 【例6】 证明：证：3.1 常用函数Fourier变换公式 三、Fourier变换的公式和性质3.2 Euler公式及其推出的几个公式 3.3 Fourier变换的性质 3.3.1 线性性质 设F = ，F = ，和 为常数，则b3.3.2 位移性质 该性质在无线电技术中也称为时移性质 3.3.3 对称性质 若 ，则 3.3.4 相似性质 若，则3.3.5 象函数的位移性质 若 ，则 象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质 3.3.6 翻转性质 若 ，则 3.3.7 微分性质 若f 在 上连续或只有有限个可 去间断点,且当 时， ，则推论 若 （k=1,2,…,n）在 上连 续或只有有限个可去间断点，且 =0 ，k=0,1,2,…(n-1), 则有 3.3.8 象函数的微分性质 若 ，则一般地，有若当 时， = ,则如果 ，则 3.3.9 积分性质其中 3.3.10 象函数的积分性质若 ，则3.3.11 乘积定理 若 ， ，则 其中 ， 均为t的实函数， 、 分别 为、 的共轭函数。

3.3.12 能量积分 若 ，则 该等式又称为巴塞瓦等式 3.3.13 卷积定理 设 ， 都满足Fourier积分定理中的条件 ， 且 ， ，则 四、卷积与相关函数1.卷积的意义若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t) * f2(t)，即2.卷积的性质积分变换的作用本讲介绍拉氏变换的基本性质, 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c， 在证明性质时不再重述这些条件.8.2 拉普拉斯变换的基本性质例1 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换同理可得解：2.微分性质:此性质可以将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.特别当 时，有例2 求 的拉氏变换（m为正整数）象函数的微分性质:例3 求 (k为实数) 的拉氏变换.3. 积分性质:例4 求 的拉氏变换.象函数积分性质: 则例5 求函数的拉氏变换.例6 求 的拉氏变换.函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而 f(t-t)是从t=t开始才有非零数值.即延迟了时间t.从图象讲,f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t 而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)例7 求函数的拉氏变换.1u(t-t)ttO例8 +=+ò][]sin3[3ln0ttteLdtttL。