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45初中数学竞赛资料（17）奇数　偶数甲内容提要1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被 2 整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被 2 整除的整数是奇数，如－1，1，3如果 n 是整数，那么 2n 是偶数，2n－1 或 2n+1 是奇数如果 n 是正整数，那么 2n 是正偶数，2n-1 是正奇数2． 奇数、偶数是整数的一种分类可表示为： 整数 　　　　　　　或 整数集合 偶 数奇 数这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数3． 奇数偶数的运算性质：奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数奇数×奇数＝奇数　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数乙例题例 1 求证：任意奇数的平方减去 1 是 8 的倍数证明：设 k 为整数，那么 2k－1 是任意奇数，（2k－1） 2－1＝4k 2－4k＋1－1＝4k(k－1)∵k(k－1) 是两个連续整数的积，必是偶数　∴4k(k－1) 是 8 的倍数即任意奇数的平方减去 1 是 8 的倍数例 2 已知：有 n 个整数它们的积等于 n，和等于 0　求证：n 是 4 的倍数证明：设 n 个整数为 x1,x2,x3,…xn 根据题意得 ②① 0321nnx如果 n 为正奇数，由方程（1）可知 x1,x2,x3,…xn 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的 0，所以 n 一定是偶数；当 n 为正偶数时，方程（1）左边的 x1,x2,x3,…xn 中，至少有一个是偶żÊý¼¯ÆæÊý¼¯46数，而要满足方程（2）右边的 0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2 个。

所以 n 是 4 的倍数例 3 己知：a,b,c 都是奇数求证：方程 ax2+bx+c=0 没有整数解证明：设方程的有整数解 x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c 都是奇数，而右边 0 是偶数，故不能成立；若方程的整数解 x 是偶数，那么 ax2,bx,都是偶数，c 是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于 0既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，∴方程 ax2+bx+c=0 没有整数解 (以上的证明方法是反证法)例 4 求方程 x2－y 2＝60 的正整数解解：(x+y)(x －y)=60，60 可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10左边两个因式(x+y)，(x－y) 至少有一个是偶数因此 x, y 必湏是同奇数或同偶数，且 x>y>0,适合条件的只有两组20x610yx解得 　　　　146y28∴方程 x2－y 2＝60 的正整数解是 　 　146yx28丙练习 171． 选择题①设 n 是正整数，那么 n2+n-1 的值是（　　）（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数②求方程 85x－324y=101 的整数解，下列哪一个解是错误的？（　　）（A） （B） （C） （D）15yx8639yx17653yx256978yx2． 填空：①能被 3，5，7 都整除的最小正偶数是＿＿＿②能被 9 和 15 整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿47③1＋2＋3＋…＋2001＋2002 的和是奇数或偶数？答＿＿④正整数 1234…20012002 是奇位数或偶位数？答＿＿⑤ 能被 11 整除，那么 n 是正奇数或正偶数？答＿＿位n013． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？4． 试说明方程 2x+10y=77 没有整数解的理由5． 求证：两个連续奇数的平方差能被 8 整除6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数7． 求方程（2x－y－2） 2＋（x+y+2） 2=5 的整数解8． 方程 19x+78y=8637 的解是( )(A) (B) (C) (D)91x8493yx18yx9. 十进制中，六位数 能被 33 整除，求 a,b 的值 7ab返回 目录　　 参考 答案。