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第第8章章正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析1正弦稳态电路的分析内内容容：：正正弦弦量量；；复复数数及及其其运运算算；；正正弦弦量量的的相相量量表表示示法法；；两两类类约约束束关关系系的的相相量量形形式式；；阻阻抗抗与与导导纳纳及及其其变变换换关关系系；；阻阻抗抗与与导导纳纳的的串串联联与与并并联；向量图；正弦稳态电路的分析；联；向量图；正弦稳态电路的分析；正弦电流电路的功率正弦电流电路的功率 学习目标学习目标:重点与难点重点与难点：：• 运用相量法分析计算正弦稳态响应；运用相量法分析计算正弦稳态响应；• 运用相量法分析计算正弦稳态电路中的功率运用相量法分析计算正弦稳态电路中的功率§ 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素，熟练计算同频正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素，熟练计算同频 正弦量的相位差正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值正弦量的相位差正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值§ 会对复数进行加减乘除运算会对复数进行加减乘除运算 § 深刻理解正弦量的相量表示法深刻理解正弦量的相量表示法§ 深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感元件上的电压、深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感元件上的电压、 电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。

电流之间的相位关系，并能进行相关的计算§ 能运用相量法计算分析正弦稳态响应能运用相量法计算分析正弦稳态响应§ 会计算正弦电流稳态电路中的功率会计算正弦电流稳态电路中的功率第第 8章章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析 2正弦稳态电路的分析第第 8章章 正弦交流电路导论正弦交流电路导论 8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式8.7 相量图相量图8.3 正弦量的相量表示正弦量的相量表示8.1 正弦量正弦量8.6 阻抗与导纳的串联与并联阻抗与导纳的串联与并联8.2 复数及其运算复数及其运算8.5 阻抗与导纳阻抗与导纳8.8 正弦电路稳态的分析正弦电路稳态的分析8.9 正弦电流电路的功率正弦电流电路的功率3正弦稳态电路的分析8.1 正弦量正弦量一、正弦量一、正弦量 时变电压和电流时变电压和电流————随时间变化的电压和电流随时间变化的电压和电流 瞬时值瞬时值————时变电压和电流在任一时刻的数值时变电压和电流在任一时刻的数值 周期周期————是波形（函数）再次重复出现所需的最短时是波形（函数）再次重复出现所需的最短时间间隔，单位为间间隔，单位为s s。

周周期期电电压压和和电电流流————若若时时变变电电压压和和电电流流的的每每个个值值在在经经过过相相等等的的时时间间后后重重复复出出现现，，称称其其为为周周期期电电压压和和电电流流. .f(t)=f(t+kT).kf(t)=f(t+kT).k为正整数，为正整数，T T为周期为周期. . 频率频率————单位时间内的周期数称为频率单位时间内的周期数称为频率f=1/T(HZ)f=1/T(HZ) 交交变变电电压压和和电电流流————周周期期电电压压( (电电流流) )的的大大小小、、方方向向均均随时间变化随时间变化4正弦稳态电路的分析正弦量的波形图： 正正弦弦电电压压和和电电流流————随随时时间间按按正正弦弦规规律律变变化化的的电电压压和和电流简称电流简称正弦量如 u(t)=UmCOS(u(t)=UmCOS(ωωt+t+φφu u ) )φuωωttTT/2Um8.1 正弦量正弦量5正弦稳态电路的分析二、正弦量的三要素：二、正弦量的三要素： 1 1、振幅：、振幅：UmUm 3 3、、初初相相：：φu=ωt+φu|t=0 一般在|φu|≤π的主值范围内取值。

判判断断：：离离坐坐标标原原点点最最近近的的正正弦弦量量之之正正最最大大值值出出现在时间起点之前则现在时间起点之前则φφu u>0>0，，反之反之φφu u<0<0 2 2、相位及频率：相位：、相位及频率：相位：ωt+φu ； 角频率：角频率：φφu uωtωtt tT TT/2T/2UmUmφφu u>0>08.1 正弦量正弦量6正弦稳态电路的分析例例1 1：电压波形如图所示电压波形如图所示 (1) (1) 试求试求T T、、f f及及ωω ; ; (2) (2) 写出写出u(t)u(t)的表达式；的表达式； (3) (3) 求求t=5mst=5ms及及1616msms时刻时刻 的电压大小及实际方向的电压大小及实际方向解：解：(1) T=22.5-2.5=20msF=1/T=50Hzω=2ω=2πf=314rad/sπf=314rad/s(2) (2) u(t)=100cos(100u(t)=100cos(100ππt-t-π/4π/4)V)V(3)(3)u(5ms)=100cos(100u(5ms)=100cos(100ππ×5×10×5×10-3-3- -π/4π/4)=70.7V )=70.7V 实际方向与参考方向一致实际方向与参考方向一致u(16ms)=100cos(100u(16ms)=100cos(100ππ×16×10×16×10-3-3- -π/4π/4)=-45.4V )=-45.4V 实际方向与参考方向相反实际方向与参考方向相反8.1 正弦量正弦量7正弦稳态电路的分析三、同频正弦量的相位差三、同频正弦量的相位差设设 u(t)=Um*cos(u(t)=Um*cos(ωωt+t+φφu u ) ) i(t)=Im*cos( i(t)=Im*cos(ωωt+t+φφi i ) )u与与i之相位差：之相位差：φφ=(ωωt+φφu)- - (ωωt+φφi )=φφu -φφi 8.1 正弦量正弦量8正弦稳态电路的分析φ>0,(φ<180º) φ>0,(φ<180º) 称称u u超前超前i φi φ角或角或i i滞后滞后u φu φ角；角；φ<0,(φ≥180º) φ<0,(φ≥180º) 称称i i超前超前u φu φ角或角或u u滞后滞后i φi φ角；角；φ=0φ=0，，称称u u与与i i同相同相 ；；φ=±п/2φ=±п/2，，称称u u与与i i正交；正交；φ=180ºφ=180º，，称二者反相称二者反相. .注意： 1. 1. 同频率才能比较相位同频率才能比较相位 2. 2. 同用同用coscos或或sinsin表示表示 3. 3. 同符号同符号8.1 正弦量正弦量9正弦稳态电路的分析 i1与与i2同相、超前、正交同相、超前、正交、、反相反相8.1 正弦量正弦量10正弦稳态电路的分析四、有效值四、有效值 则周期电流的有效值为： 周期电流有效值的定义：周期电流有效值的定义：与周期电流的平均值做功与周期电流的平均值做功能力等效的直流电流的值能力等效的直流电流的值，定义为周期电流的有效值。

令PDc =P， 8.1 正弦量正弦量11正弦稳态电路的分析对于正弦电流，设对于正弦电流，设 i(t)=Im*cos(ωt+φi ) 同理: 8.1 正弦量正弦量12正弦稳态电路的分析例例2 2：： 设有两同频正弦电流：设有两同频正弦电流： 试问哪一个电流滞后？滞后的角度是多少？试问哪一个电流滞后？滞后的角度是多少？解：解：i2滞后i1 5/4π;π;或：i1滞后i2 3/4π;π;i18.1 正弦量正弦量13正弦稳态电路的分析课堂练习：课堂练习：试计算下列各正弦波的相位差：试计算下列各正弦波的相位差：(1) (1) u(t)=10cos(314t+45u(t)=10cos(314t+45°°)V)V和和i(t)=20cos(314ti(t)=20cos(314t- -2020°°)A)A(2) u(2) u1 1(t)=4cos(60t+10(t)=4cos(60t+10°°)V)V和和u u2 2(t)=(t)=- -8cos(60t8cos(60t+95°+95°)V)V(3) u(t)=5cos(20t+5(3) u(t)=5cos(20t+5°°)V)V和和i(t)=7sin(30ti(t)=7sin(30t- -2020°°)A)A(4) u(t)=5sin(6(4) u(t)=5sin(6ππt+10t+10°°)V)V和和i(t)=4cos(6i(t)=4cos(6ππt t-15°-15°)A)A(5) i(5) i1 1(t)=(t)=- -6sin4t A6sin4t A和和i i2 2(t)=(t)=- -9cos(4t9cos(4t+ +3030°°)A)A8.1 正弦量正弦量14正弦稳态电路的分析(1) u(t)=10cos(314t+45(1) u(t)=10cos(314t+45°°)V)V和和i(t)=20cos(314ti(t)=20cos(314t- -2020°°)A)A8.1 正弦量正弦量(2) u(2) u1 1(t)=4cos(60t+10(t)=4cos(60t+10°°)V)V和和u u2 2(t)=(t)=- -8cos(60t8cos(60t+95°+95°)V)V解：解：φφu,iu,i=45=45°°-(-20-(-20°°)=65)=65°° u u超前超前i 65i 65°° (3) u(t)=5cos(20t+5(3) u(t)=5cos(20t+5°°)V)V和和i(t)=7sin(30ti(t)=7sin(30t- -2020°°)A)A不同频不能比较。

不同频不能比较 解：解：u u1 1=4cos(60t+10=4cos(60t+10°°) ) u u2 2= =- -8cos(60t8cos(60t+95°+95°) ) =8cos( =8cos(60t+95°-60t+95°-180°)=8cos(60t-85)=8cos(60t-85°°) ) ∴∴φφu1,u2 u1,u2 =10°-(-85°)=95° =10°-(-85°)=95° u u1 1超前超前u u2 295° 95° 15正弦稳态电路的分析(4) u(t)=5sin(6(4) u(t)=5sin(6ππt+10t+10°°)V)V和和i(t)=4cos(6i(t)=4cos(6ππt t-15°-15°)A)A(5) i(5) i1 1(t)=(t)=- -6sin4t A6sin4t A和和i i2 2(t)=(t)=- -9cos(4t9cos(4t+ +3030°°)A)A8.1 正弦量正弦量解：解： u=5sin(u=5sin(6 6ππt+10t+10°)°) =5cos(90°- =5cos(90°-6 6ππt-10t-10°)=5cos(°)=5cos(6 6ππt-80t-80°)°) φφu,i=-80°-(-15°)=-65° =-80°-(-15°)=-65° i i超前超前u 65°u 65° 解：解：i i1 1= = - -6sin4t=-6cos(906sin4t=-6cos(90°-4t)=-6cos(4t--4t)=-6cos(4t-90°) A ) A ∴ ∴φφi1,i2 = -90°-30°= -120° = -90°-30°= -120° i2超前超前i1 120°120° 16正弦稳态电路的分析第第1 14 4周作业周作业1 1：教材：教材P116 习题2。

8.1 正弦量正弦量17正弦稳态电路的分析 8.2 复数及其运算复数及其运算 1 1、复数及其表示、复数及其表示直角坐标形式：直角坐标形式：A=a+jbA=a+jb单位虚数单位虚数 a=Re[A]=Re[a+jb] a=Re[A]=Re[a+jb] 实部；实部；b=Im[A]=Im[a+jb] b=Im[A]=Im[a+jb] 虚部指数与极坐标形式：指数与极坐标形式：A=|A|eA=|A|ejθjθ=|=|A|∠θ A|∠θ 三角函数形式：三角函数形式：A=|A|cosθ+j|A|sinθ A=|A|cosθ+j|A|sinθ 复数在复平面上的表示：复数在复平面上的表示：不同表示方法间的关系：不同表示方法间的关系：a=|A|cosθ b=|A|sinθ a=|A|cosθ b=|A|sinθ tgθ=b/a tgθ=b/a18正弦稳态电路的分析 两两个个复复数数相相加加（（减减））时时，，实实部部与与实实部部相相加加（（减减）），，虚虚部与虚部相加（减）部与虚部相加（减） 如：如：A A1 1±A±A2 2= =（（a a1 1+jb+jb1 1））±(a±(a2 2+jb+jb2 2)=(a)=(a1 1±a±a2 2)+j(b)+j(b1 1±b±b2 2) )2 2、复数的四则运算：、复数的四则运算：（（1 1）相等：）相等： 设设A A1 1=a=a1 1+jb+jb1 1，，A A2 2=a=a2 2+jb+jb2 2；；若若A A1 1=A=A2 2，，则则a a1 1=a=a2 2，，b b1 1=b=b2 2 设设A A1 1=|A=|A1 1|∠θ|∠θ1 1，，A A2 2=|A=|A2 2|∠θ|∠θ2 2；； 若若A A1 1=A=A2 2，，则则| |A A1 1|=|A|=|A2 2| |，，θθ1 1=θ=θ2 2。

（（2 2）加减运算：）加减运算： 几何作图法几何作图法———— 平行四边形法：平行四边形法： 8.2 复数及其运算复数及其运算 19正弦稳态电路的分析（（4 4）共轭复数：）共轭复数： 设设A=a+jbA=a+jb，，则其共轭复数则其共轭复数A*=aA*=a－－jbjb，，两者互为共轭两者互为共轭 或或A=|A|∠θA=|A|∠θ，，则则A*=|A|∠-θ A*=|A|∠-θ 两个复数相乘，将模相乘，辐角相加；两个复数相乘，将模相乘，辐角相加；如：如：A1·A2=|A1|·|A2|∠θA1·A2=|A1|·|A2|∠θ1 1+θ+θ2 2 两个复数相除，将模相除，辐角相减两个复数相除，将模相除，辐角相减如：如：A1÷A2= ∠θA1÷A2= ∠θ1 1－－θθ2 2 （（3 3）乘除运算：）乘除运算： 8.2 复数及其运算复数及其运算 20正弦稳态电路的分析补充补充2: 2: 化下列复数化下列复数为极极坐坐标形式1) (1) A=4-j3A=4-j3；；(2) A=-20-j40(2) A=-20-j40；；(3) A=-j10(3) A=-j10补充补充1: 1: 化下列复数化下列复数为直角坐直角坐标形式。

形式 (1) (1) (2) (2) (3)(3)(4)(4) 8.2 复数及其运算复数及其运算 第第1414周作业周作业2 2：：补充补充3：已知：已知Z1=10+j10，，Z2=5-j5，，求求 ，， 21正弦稳态电路的分析8.3 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示由欧拉公式：由欧拉公式：e ejφ jφ =cosφ+jsinφ =cosφ+jsinφ ，，令令φ=ωtφ=ωt，， 推广为：推广为：e ejωtjωt=cosωt+jsinωt=cosωt+jsinωt 则则 cosωt=Recosωt=Re（（e ejωtjωt），），sinωt=Imsinωt=Im（（e ejωtjωt）） 正弦交流电路的特解是与输入同频率的正弦波，频率正弦交流电路的特解是与输入同频率的正弦波，频率是已知的，所以用是已知的，所以用 可以表示正弦电压可以表示正弦电压 任一正弦量可用任一正弦量可用上述方法得到的上述方法得到的对应复常数表示对应复常数表示。

为为了和一般复数区别，了和一般复数区别，称为称为相量相量相量相量 设设 u(t)=UmCOS(ωt+u(t)=UmCOS(ωt+φφu u) )则则称为称为u(t)u(t)的振幅相量的振幅相量22正弦稳态电路的分析例例1 1：写出下列正弦量之相量：写出下列正弦量之相量相量：相量： 相量：相量：8.3 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示有效值相量：有效值相量： , , 则则23正弦稳态电路的分析正弦量与相量之间是正弦量与相量之间是对应关系对应关系而不是相等关系而不是相等关系反之，根据相量的表达式，可以直接写出其瞬时值表达式反之，根据相量的表达式，可以直接写出其瞬时值表达式例例2 2：写出下列相量对应之瞬时值表达式：：写出下列相量对应之瞬时值表达式：(1) (1) ，，ωω＝＝1000rad/s1000rad/s，，则则(2) (2) f=50Hz，， ，，则则注意： 8.3 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示24正弦稳态电路的分析 三、相量图三、相量图如如相量图如图所示：相量图如图所示： 相量相量是用复数表示的，其是用复数表示的，其在复平面上的图形称为在复平面上的图形称为相量图。

相量图 8.3 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示25正弦稳态电路的分析例例3 3：：若若 ，， ，，求求 ，画出相量图，写出，画出相量图，写出i i3 3表达式，并说明表达式，并说明i i1 1(t)与与i i2 2(t)的相位关系的相位关系8.3 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示26正弦稳态电路的分析8.3 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示第第1 14 4周作业周作业3 3：教材：教材P115 P115 习题习题1,31,3画图法： 与 恰好夹角90°， ， ，∴θi3=60°+36.87°=96.87° 相量图：27正弦稳态电路的分析8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 一、一、KCLKCL相量形式相量形式 或或由于上式在任何时刻成立，因此有由于上式在任何时刻成立，因此有：：即即 在正弦交流电路中，由任一节点流出（或流入）的各在正弦交流电路中，由任一节点流出（或流入）的各支路电流的有效值相量（或振幅相量）的代数和恒等于零支路电流的有效值相量（或振幅相量）的代数和恒等于零. . 8.4.1 8.4.1 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式28正弦稳态电路的分析二、二、KVLKVL的相量形式的相量形式 同理，同理， 或或 在正弦交流电路中的任意回路中，沿着任意选在正弦交流电路中的任意回路中，沿着任意选定的回路参考方向，各支路电压有效值相量（或振定的回路参考方向，各支路电压有效值相量（或振幅相量）的代数和恒等于零。

幅相量）的代数和恒等于零8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 29正弦稳态电路的分析例例1 1：：电路中一个节点如图所示，已知 ， ，求i3(t)及I3 i3i1i2解：相量图：8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 ＝ 30正弦稳态电路的分析例例2 2：：已知已知 ，， ，求，求u uacac解：8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 相量图：31正弦稳态电路的分析8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 第第1 14 4周作业周作业4 4：：补充题：电路如图补充题：电路如图( (a)a)所示，所示， ，测得的，测得的波形如图波形如图( (b)b)所示1 1）求）求u uacac及其有效值及其有效值U Uacac；；（（2 2））求求u uacac与与i is s，，u uabab与与i is s以及以及u ubcbc与与i is s的相位关系；的相位关系；（（3 3）绘相量图（包括上述的所有电压及电流相量）。

绘相量图（包括上述的所有电压及电流相量） 32正弦稳态电路的分析8.4.8.4.2 2 电路元件伏安关系的相量形式电路元件伏安关系的相量形式 设元件电压、电流参考方向关联：设元件电压、电流参考方向关联： 线性电阻、电容及电感元件的伏安关系的时域形式线性电阻、电容及电感元件的伏安关系的时域形式和时域模型分别为：和时域模型分别为： 8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 33正弦稳态电路的分析一一一一 、、、、 电阻元件电阻元件电阻元件电阻元件得得电阻元件电压电流关系的相量形式：电阻元件电压电流关系的相量形式： 电阻相量模型：电阻相量模型： 有效值关系：有效值关系：U U = R*I= R*I 相位关系：相位关系： φφu u=φ=φi i 电压与电流同相电压与电流同相 代入代入 u(t)=Ri(t) u(t)=Ri(t) 设设 R+_1 1、电阻元件、电阻元件VARVAR相量形式：相量形式： 8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 34正弦稳态电路的分析相量图：相量图：波形图：波形图：t0uR(t)，iR(t)π2π3πiRuR8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 35正弦稳态电路的分析2 2、功率：、功率： (1)(1)瞬时功率：瞬时功率：设电压和电流分别为：设电压和电流分别为：u(t)=Um*cos(ωt+φu(t)=Um*cos(ωt+φu u ) ) i(t)=Im*cos(ωt+φ i(t)=Im*cos(ωt+φi i ) ) = =Um*Im*cos(ωt+φUm*Im*cos(ωt+φu u)*cos(ωt+φ)*cos(ωt+φi i) ) =UI+UIcos(2ωt+2φ =UI+UIcos(2ωt+2φu u) ) p(t)p(t)波形：波形：p(t)p(t)≥0 ≥0 P=UIP=UI(2) (2) 平均功率（有功功率平均功率（有功功率 ）：）： 8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 36正弦稳态电路的分析二、二、二、二、 电容元件电容元件电容元件电容元件电容电容VARVAR相量形式相量形式：：1 1、电容元件、电容元件VARVAR相量形式：相量形式： 或 电容的相量模型：电容的相量模型： 有效值关系：有效值关系：U = IU = I 相位关系为：相位关系为：φφu u=φ=φi i-90º -90º ；；电流超前电压电流超前电压90º 90º +_将将 代入代入8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 37正弦稳态电路的分析波形图：波形图：相量图：相量图：ωtuCiCuC, iC08.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 38正弦稳态电路的分析（（2 2）容抗与容纳）容抗与容纳 当当ωω＝＝0 0（（直流）时，直流）时，Xc→∞Xc→∞，，电容相当于开路；电容相当于开路；当当ω→∞ω→∞时，时，Xc→0Xc→0，，电容相当于短路。

电容相当于短路容纳：容纳：容抗的倒数称容纳容抗的倒数称容纳Bc=1/Xc(sBc=1/Xc(s) )，它表示电容对，它表示电容对正弦电流的导通能力正弦电流的导通能力 容抗：容抗：由由I=U/ I=U/ ：：定义电容的电抗，简称容抗定义电容的电抗，简称容抗: :8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 39正弦稳态电路的分析例例3:3:图示工示工频电容容电路，路， ，，求求i(t);i(t);画画u us s(t),i(t)(t),i(t)波形 + us(t)- -i(t)4uF解：解：ωtusi us, i0310 0.39π2π波形图：∴ ∴ i(t)=0.39cos(314t+90°)Ai(t)=0.39cos(314t+90°)A ∴∴8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 40正弦稳态电路的分析3 3、功率：、功率： ＝＝Um*Im* cos(Um*Im* cos(ωωt+t+φφu u )* cos()* cos(ωωt+t+φφi i ) ) = (Um*Im* cos( = (Um*Im* cos(φφu u - -φφi i )+ Um*Im*cos(2)+ Um*Im*cos(2ωωt+t+φφu u+ +φφi i ) ) =U I [cos(- -90∘)∘)+ cos(2ωωt+2φφu+90+90∘∘)] (1)   (1)   瞬时功率：瞬时功率：令φu＝0°　则p(t)=UI cos(2ωt+90∘)p(t)p(t) 波形：波形：pCωtuCiCuC, iC, pC0- -UIUI 8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 41正弦稳态电路的分析（（2 2）平均功率（有功功率）平均功率（有功功率 ）） ：： 电容元件不消耗有功功率。

(3) (3) 无功功率无功功率QcQc：： 定义为瞬时功率p(t)的最大值：QcQc＝＝UI=XcIUI=XcI2 2=U=U2 2/Xc(var)/Xc(var)Qc表示电容的电场能与电源的电能进行交换的最大速率8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 42正弦稳态电路的分析3 3 3 3、电感元件、电感元件、电感元件、电感元件（（1 1）电感元件）电感元件VARVAR相量形式：相量形式：电感电感VARVAR相量形式相量形式：：或 电感的相量模型：电感的相量模型： 有效值关系：有效值关系：U=ωLI U=ωLI 相位关系：相位关系： φφu u=φ=φi i+90º +90º 电感电压超前其上电流电感电压超前其上电流90º 90º j j L L_+将将 代入代入8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 43正弦稳态电路的分析相量图：相量图：波形图：波形图：ωtiLuLuL, iL08.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 44正弦稳态电路的分析（（2 2）感抗与感纳）感抗与感纳 X XL L= ωL = ωL ＝＝2 2πfLπfL（（ΩΩ））当当ωω＝＝∞∞时，时，X XL L →→∞∞，，电感相当于开路；电感相当于开路；当当ωω＝＝0 0（（直流）时，直流）时，X XL L＝＝0 0，，电感相当于短路。

电感相当于短路感纳：感纳：感抗的倒数称感纳感抗的倒数称感纳B BL L=1/X=1/XL L（（s s) )，它表示电感对，它表示电感对正弦电流的导通能力正弦电流的导通能力 感抗：感抗：由由I= U , I= U , 定义电感的电抗，简称感抗定义电感的电抗，简称感抗: :8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 45正弦稳态电路的分析例4：图示电感电路，(1)已知 ,求us(t),画i(t)、us(t)波形2)已知 ，求 ， 、画 相量图 + us(t)- -i(t)100mH解：8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 （1）（2） ∴ωtusi us, i021.2 0.675π2π波波形形图图相量图相量图46正弦稳态电路的分析3 3、功率：、功率：（1） 瞬时功率： =Um*Im*cos(ωt+φu)*cos(ωt+φi) = (Um*Im*cos(φu-φi)+ Um*Im*cos(2ωt+φu+φi) = UI[cos90∘+ cos(2ωt+2φi+90∘)] 令φi＝0∘ 则p(t)=UI cos(2ωt+90∘) p(t)p(t)波形波形：ωtiLuLuL, iL, pL0pL- -UIUI 8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 47正弦稳态电路的分析(2)(2)平均功率（有功功率）平均功率（有功功率） ：： 即电感元件不消耗有功功率。

3)(3)无功功率无功功率Q QL L：：QL表示电感的磁场能与电源的电能进行交换的最大速率定义为瞬时功率p(t)的最大值：Q QL L＝＝UI=XUI=XL LI I2 2=U=U2 2/X/XL L(var)(var)8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 48正弦稳态电路的分析R u(t) + _ i(t) u(t) L + i(t) - C u(t) + _ i(t) R + _ 1/jωC + _ 元件元件C C 内容内容R R L L 电电 路路时时 域域模模 型型        时时 域域伏伏 安安关关 系系 u(t)=Ri(t) 电电 路路相相 量量模模 型型 相相 量量伏伏 安安关关 系系 相量相量图图 平平 均均 功功 率率 P=UI=RIP=UI=RI2 2=U=U2 2/R/R P=0P=0 P=0P=0 jωL + _ R R、、L L、、C C相量伏安关系比较表：相量伏安关系比较表：49正弦稳态电路的分析8.4 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式 第第1515周作业周作业1 1：教材：教材P115 P115 习题习题6,7,96,7,9。

50正弦稳态电路的分析8.5 阻抗与导纳阻抗与导纳一、阻抗一、阻抗一、阻抗一、阻抗 定义：定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为记为 1 1、特例：、特例：电阻：电阻：Z ZR R=R=R；；电容：电容：Zc= Zc= ；；电感：电感：Z ZL L=jωL=jωL 2 2、、Z Z取决于网络结构、元件参数、电源频率取决于网络结构、元件参数、电源频率 3 3、、 为复数 R R：：实部，实部，电阻分量电阻分量，一般，一般R>0R>0X X：：虚部虚部, , 电抗分量电抗分量，可正可负，可正可负直角坐标形式：直角坐标形式：Z=R+jXZ=R+jX 与与 的参考方向向内关联的参考方向向内关联 N N0 0+-51正弦稳态电路的分析互换：互换：| |Z|Z|＝＝ R=|Z|cosφ R=|Z|cosφZ Z φ φZ Z =arctg X=|Z|sinφ=arctg X=|Z|sinφZ Z 阻抗三角形：阻抗三角形：X XR R | |Z|Z|φφZ Z 4.4.三种性质的电路：三种性质的电路： R R+ +_ _φφZ Z<0 <0 容性电路容性电路jωLjωLR R+ +_ _φφZ Z>0 >0 感性电路感性电路R RφφZ Z＝＝0 0电阻性电路电阻性电路 + +_ _极坐标形式：极坐标形式：Z=|Z|∠φZ=|Z|∠φZ Z= = ∠φ= = ∠φu u-φ-φi i 阻抗模阻抗模| |Z|=Z|=阻抗角阻抗角φφZ Z＝＝φφu u-φ-φi i8.5 阻抗与导纳阻抗与导纳52正弦稳态电路的分析二、导纳二、导纳二、导纳二、导纳 N0+_ 与 参考方向向内关联。

1 1、特例：电阻、特例：电阻: :Y YR R=G=G；；电容电容: :Yc=jωCYc=jωC；；电感电感: :Y YL L= =2 2、、Y Y取决于网络结构、元件参数、电源频率取决于网络结构、元件参数、电源频率 3 3、、Y Y为复数 直角坐标形式：直角坐标形式：Y=G+jB G:Y=G+jB G:电导分量电导分量; ; B:B:电纳分量电纳分量8.5 阻抗与导纳阻抗与导纳定义：定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网络的导纳，记为之比定义为该二端网络的导纳，记为极坐标形式：极坐标形式：Y=|Y|∠φY=|Y|∠φY Y |Y|:|Y|:导纳模；导纳模；φφY Y : :导纳角导纳角 53正弦稳态电路的分析例例1 1、已知：、已知： ，求，求i(t)i(t)8.5 阻抗与导纳阻抗与导纳解：解：∴ ∴ i(t)=1.97cos(ωt+20.17°)Ai(t)=1.97cos(ωt+20.17°)A54正弦稳态电路的分析例例2 2: :已已知知负载的的电压电流流相相量量为 ，，求求负载的的导纳、、电导和和电纳。

8.5 阻抗与导纳阻抗与导纳 ∴导纳为 S，电导G为0.144S，电纳B为0.083S解：55正弦稳态电路的分析8.5 阻抗与导纳阻抗与导纳1、、已知：已知： , ,求求u(t)u(t) 2 2、、已知负载电压、电流相量分别为已知负载电压、电流相量分别为 ，求负载导纳、电导、电纳求负载导纳、电导、电纳第第1 15 5周作业周作业2 ---- 2 ---- 补充题：补充题：56正弦稳态电路的分析一、阻抗的串联、并联一、阻抗的串联、并联一、阻抗的串联、并联一、阻抗的串联、并联与与与与混联混联混联混联 1 1、串联：、串联： 2 2、并联：、并联： 8.6 阻抗阻抗(导纳导纳)的串联与并联的串联与并联57正弦稳态电路的分析例例1：：如图电路，ω＝105rad/s求阻抗Zcd和Zab0.1uF解：电路相量模型如下图：解：电路相量模型如下图： -j100Ωj100ΩΩ8.6 阻抗阻抗(导纳导纳)的串联与并联的串联与并联则Zab=50+Zcd=150+j100Ω58正弦稳态电路的分析8.6 阻抗阻抗(导纳导纳)的串联与并联的串联与并联第第1 15 5周作业周作业3 3：：ch08 ch08 教材教材115115页页 习题习题4,12,134,12,13。

59正弦稳态电路的分析(2) (2) 列相量形式电路方程，用相量法求解；列相量形式电路方程，用相量法求解； (3) (3) 再对应出正弦量再对应出正弦量u(t)u(t)、、i(t)i(t) 步骤：步骤：步骤：步骤： （（1 1）画相量模型：）画相量模型： 时域模型相量模型8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法60正弦稳态电路的分析10Ω10Ω-j10ΩΩj12.56ΩΩ例例1 1: : 如如图RLCRLC串连串连电路，已知路，已知电流源流源电流流i(t)=2cos(ωt+30°)A, i(t)=2cos(ωt+30°)A, 频率率f=200Hzf=200Hz，，R=10ΩR=10Ω，，C C＝＝8uF8uF，，L L＝＝0.01H0.01H1)(1)求阻抗求阻抗Z,Z,并并说明明电路的性路的性质；；(2)(2)求求u uR R(t), u(t), uC C(t), u(t), uL L(t), u(t)(t), u(t)；；(3)(3)画相量画相量图 解：解：(1) 电路相量模型电路相量模型8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法61正弦稳态电路的分析10Ω10Ω-j10ΩΩj12.56ΩΩ解：解：(1) 电路相量模型电路相量模型8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法∵ ，∴电路呈现电感性。

(2)(2)(3) 向量图略 ∴ 62正弦稳态电路的分析例2: 已知 　　　　　，求电流　和电压　解：设电压相量　解：设电压相量　 如图：如图：8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法63正弦稳态电路的分析例例3 3：：如图电路，已知I=3A,求电流源电流 的有效值Is 8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法解：解：即即则由分流公式则由分流公式设设故故故 的有效值Is=5A 64正弦稳态电路的分析例例6 6：如图所示电路，用叠加定理求电流：如图所示电路，用叠加定理求电流 的值解：解：电压源单独作用时：8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法65正弦稳态电路的分析电流源单独作用时：8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法 由叠加定理： 66正弦稳态电路的分析例例7 7：：用节点法求如图所示电路中的电流 和 8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法解：设参考节点及各节点号如图，解得：解得： 节点方程相量形式如下：-123-67正弦稳态电路的分析8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法例例8 8：电路如图，用戴维南定理求：电路如图，用戴维南定理求支路电流支路电流 的值。

已知Z=4-j11(Ω)解；求Z左面之电路的开路端电压相量 ： 将戴维南等效电路接Z： 求Z左面之电路的端口输入电阻 ：+ +- -68正弦稳态电路的分析8.8 8.8 正弦稳态路的稳态分析正弦稳态路的稳态分析――相量法相量法第第1616周作业周作业1 1：：ch08 ch08 教材教材 115 115页页 习题习题10,14,17,2210,14,17,22 69正弦稳态电路的分析8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率一、瞬时功率：一、瞬时功率：N0i(t)u(t)+_u(t)u(t)=Um*cos(ωt+Um*cos(ωt+φφu ) )i(t)i(t)=Im*cos(ωt+Im*cos(ωt+φφi ) )＝＝Um*Im* cos(ωωt+φφu )* cos(ωωt+φφi ) 公式公式: : 2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β)2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β)=U I cosφφ+ U I cos(2ωωt+2φφu - -φφ)正弦量，角频率为正弦量，角频率为2ωω常量常量（式中：（式中：φφ＝＝φφu u ––φφi i））= Um*Im* cos(φφu-φφi )+ Um*Im*cos(2ωωt+φφu +φφi ) 70正弦稳态电路的分析 二端RLC电路的瞬时功率8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率71正弦稳态电路的分析二、平均功率（有功功率）二、平均功率（有功功率） P=UIcosφ P=UIcosφ表明二端网络吸收的平均功率等于它所表明二端网络吸收的平均功率等于它所吸收的瞬时功率的恒定分量。

吸收的瞬时功率的恒定分量 8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率72正弦稳态电路的分析三、视在功率与功率因数三、视在功率与功率因数 视在功率：视在功率：S=UI(VA)S=UI(VA) = UmIm(VA)= UmIm(VA)或（或（KVAKVA）） 0°≤|0°≤|φ|≤90°φ|≤90°，，1≥cosφ≥0 1≥cosφ≥0 当当φφ＝＝0°0°时，时，cosφ=1,cosφ=1,对应于纯电阻电路或对应于纯电阻电路或谐振电路，这类电路谐振电路，这类电路P=SP=S；； 当当| |φ|=90°φ|=90°时，时，cosφ=0,cosφ=0,对应于纯电抗电路，对应于纯电抗电路，这类电路这类电路P=0P=0功率因数：功率因数：λλ＝＝ =cos =cosφφ ( (φ=φφ=φZ Z 又称功率因数角又称功率因数角) ) 8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率73正弦稳态电路的分析四、无功功率四、无功功率 ＝＝UI[cosφ+cos(2ωt+2φUI[cosφ+cos(2ωt+2φu u-φ)]-φ)]＝＝UIcosφ[1+cos2(ωt+φUIcosφ[1+cos2(ωt+φu u )]+ )]+UIsinφsin[2(ωt+φUIsinφsin[2(ωt+φu u)])] = = p p1 1 + + p p2 2定义定义p p2 2分量的幅值为分量的幅值为无功功率：无功功率：Q=UIsinφ(Q=UIsinφ(VarVarVarVar) ) p p1 1 ≥0 ≥0 是瞬时功率的不可逆部分，平均值为是瞬时功率的不可逆部分，平均值为UIcosφ. UIcosφ. p p2 2 是瞬时功率的可逆部分，平均值为是瞬时功率的可逆部分，平均值为0 0。

当当sinφ>0, Q>0sinφ>0, Q>0时，称感性无功功率；时，称感性无功功率；当当sinφ<0, Q<0sinφ<0, Q<0时，称容性无功功率时，称容性无功功率 8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率74正弦稳态电路的分析P P、、Q Q、、S S之间的关系：之间的关系： tgφ= Q/Ptgφ= Q/PP=Scosφ=UIcosφ Q=Ssinφ=UIsinφ P=Scosφ=UIcosφ Q=Ssinφ=UIsinφ S SφφP PQ Q功率三角形功率三角形: :功率守恒：功率守恒： p(t)、、P、、Q符合功率守恒；符合功率守恒；S不符合功率守恒不符合功率守恒 8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率75正弦稳态电路的分析例例1 1：：如图所示电路，U=100V，求P,Q,S,cosφ 8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率解：解：P=UIcosφ=600WP=UIcosφ=600WZ=6+j8=10Z=6+j8=10|Z|=10Ω|Z|=10ΩQ=UIsinφ800var Q=UIsinφ800var S=UI=1000VAS=UI=1000VA76正弦稳态电路的分析例例2:2:如图所示电路， ,求电路吸收的有功功率P。

8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率解：解：P=UIcosφ=20*2.24cos( )=40W P=UIcosφ=20*2.24cos( )=40W Z Z1 1=6+j8=10=6+j8=10Z Z2 2=16-j12=20=10=16-j12=20=1077正弦稳态电路的分析例例3 3：：求图示电路中电源向电路提供的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数 解：电路相量模型： 8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率78正弦稳态电路的分析解：电路相量模型： 79正弦稳态电路的分析8.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率第第1616周作业周作业2 2：：ch08 ch08 教材教材 115 115页页 习题习题11,21,2411,21,2480正弦稳态电路的分析。